2x3 −5x2 +6x−	5	2		dx		dx
∫	(x−1)2 (x2 +1)	dx = ∫		dx− ∫		−2∫		=
			x−1		(x−1)2		x2 +1

=2ln x−1 + x1−1−2arctgx+C.

2. Найдите интеграл ∫

dx

.

(x−1)

x2

Решение:

−2

∫

dx

=

1

=t x =1+

1

dx = −

1

dt; x2 −2=

(x

−1)

t

2

x2 −2

t

x−1

1

2

2t+1−t

2

−1/ t

2

dt t

dt

= 1+

−2

=

=

= −

=

t

t2

∫

∫

2

2

1+2t−t

1+2t−t

t−1

t

2x

= −∫

dt

=−arcsin

+C = −arcsin

+C.

2−(t−1)2

2

2(x−1)

3. Найдите интеграл ∫

sin xdx

.

2

(1−cos x)

Решение: Сделаем подстановку: cosx=t, sinxdx= –dt.

∫

sin xdx

= −∫

dt

=

1

+C =

1

+C.

2

(1

2

t−1

cosx−1

(1−cosx)

−t)

4. Найдите интеграл ∫sin

x

cos

2xdx.

Решение:

3

3

∫

x

2x

1

x

1

x

sin

cos

dx

=

sin

−

+sin x dx =

3cos

−cos x +C.

3

3

2

3

∫

3

2

Упражнения

1. Непосредственным интегрированием найдите интегралы: а) ∫(N+dx4) xM ; б) ∫((M+2)õeõ + N)dx; в) ∫M +23− Nx2 dx.

37

2. Методом подведения под знак дифференциала найдите инте-

грал: а) ∫		Mdx	; б) ∫Msin xcos	N	xdx; в) ∫	(M +	1)dx		.
						xln	N	x
		5x− N

3. Найдите интеграл методом замены переменной: а) ∫(N +1)xdx									;
	(M	+3)ex	dx					5x2 − M
б) ∫				.
		ex − N
4. Найдите интегралы методом интегрирования по частям.
а) ∫Mxe3x+Ndx; б) ∫(1+ M)xN+1ln xdx; в) ∫(M +5)sin(N + x)dx.
5. Найдите интеграл ∫					(2x3 − Nx2 + Mx−5)dx		.
					(x− N)2 (x2 + M)
6. Найдите интеграл ∫					Mcos xdx	.
					(N −sin x)

7. Найдите интеграл ∫cos(M −2x)sin(N + x)dx.

38