ТЕМА II. ФУНКЦИЯ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Определение 1. Правило f, по которому каждому элементу х Х сопоставляется единственный элемент у Y, называется функцией и обозначается f или f(x). Где Х называется областью определения функции f и обозначается D(f), а Y называется областью значений функции f и обозначается E(f).

Определение 2. Множество точек плоскости {(x, y): x D(f), y=f(x)} называется графиком функции f(x). Обозначение: Г(f).

Определение 3. Пусть f: X→Y, и для любого элемента у Y существует элемент х Х такой, что y=f(x), тогда правило, по которому элементу у Y сопоставляется тот самый элемент х Х, на-

зывается обратной функцией для функции f(x) и обозначается f–1 или f–1(y).

Свойства функции

Определение 4. Функция f(х) называется возрастающей (убывающей) на множестве Х, если из того, что x1 < x2 следует, что f(x1) – f(x2) (f(x1) > f(x2)) для любых x1, x2 Х. Такие функции называются монотонными.

Определение 5. Функция f(х) называется четной (нечетной) на множестве Х – симметричном относительно нуля, если f(– x)=f(x) (f(– x)=– f(x)), где {х, – х} Х. График четной функции симметричен относительно оси ОY, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат (точки О).

Определение 6. Функция f(х) называется периодической на множестве Х, если существует число Т > 0 такое, что f(x+T)=f(x), где х, х+Т Х. Число Т называется периодом функции f(x).

Элементарные функции

Определение 7. Основными элементарными функциями называются: постоянная функция f(x)=C; степенная функция f(x)=xp(p   /R \{0}); показательная функция f(x)=аx (а (0, +∞) \{1}); логарифмическая функция f(x)=loga x (a (0, +∞) \{1}); тригонометрические функции f(x)=sin(х), f(x)=cos(х), f(x)=tg(x), f(x)=ctg(x); обратные тригонометрические функции f(x)=arcsinх, f(x)=arccosх, f(x)=arctgx, f(x)=arcctgx и получившиеся из них с помощью четырех арифметических действий и суперпозиций.

Определение 8. Если функция u=g(x) определена на множестве Х, а функция у=f(u) определена на множестве U (Е(g) U), тогда

6

функция y=f(g(x)), называется сложной функцией или суперпозицией функций f и g. Обозначение: f ◦ g.

Задачи

1. Рассмотрим функцию f(x) =		x	x,x≥0		,	функция называ-
			=
			−x,x<	0

ется модулем или абсолютной величиной числа. Найти D(f), E(f). Построить график, исследовать на ограниченность, монотонность и четность.

Решение: D(f)=/R, E(f)=[0, +∞).

График такой функции имеет вид (рис. 2.1).

По графику очевидно, что функция f(х)=/x/ не является ограниченной и монотонной на D(f), но при этом обладает свойством четности.

1, x >

2. Функция f(x) =sn(x) = называется знаком числа.

−1, x<

Найти D(f), E(f). Построить график, исследовать на ограниченность, монотонность и четность.

Решение: D(f)=/R \{0}, E(f)={–1; 1}. График этой функции имеет вид (рис. 2.2).

По графику очевидно, что функция f(x)=sn(x) ограниченна, монотонна и нечетна на D(f).

3. Будут ли элементарными функциями – функции

f(x) = P (x) = a xn +a

xn−1 +... +a x

+a

;

n

n

n−1

1

0

f(x) =

Pn(x)

(P

(x),Q

(x) −

многочлены);

Q

(x)

n

m

m

1+ x2 +

f(x) =

x

−4

; f(x)=log

(arcsin(2x +

));

3

x

3

tgx

1

+2x

x

f(x)=/x/, f(x)= (x).sn

Решение:

f(x) = Pn(x) = anxn +an−1xn−1 +... +a1x+a0 – многочлен степени n является элементарной функцией.

f(x) = Pn(x) – дробно-рациональная функция является элемен-

Qm(x)

тарной функцией.

7

	у		у
			1
45°	45°		х
		х	0
			–1
	Рис. 2.1		Рис. 2.2

		1+ x2 +			−4
f(x) =				x
	3					x	– иррациональная функция является
		1	+2x
		x

элементарной функцией.

f(x)=log3(arcsin(2x +tgx)) – трансцендентная функция не яв-

ляется элементарной функцией.

Функции f(x)=/x/, f(x)=sn(x) не являются элементарными функциям.

Упражнения

1. Найти область определения для заданных функций

	y = tg(N + x) −	1			; y = arccos(ln x(M +1));
		5x− M

y =log(M+x) (3x− N).

2. Для функции f(x)= x – M +N найти D(f), E(f). Построить график, исследовать на ограниченность, монотонность и четность.

3. Найти коэффициенты и построить график для функции заданной формулой: f(x)=αx2+βx+4, если f(M)=2, f(N)=3.

8