ТЕМА VI. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Первообразная и неопределённый интеграл

Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если F′(x)= f(x) для всех x X.

Теорема 1. Если Ф(х) и F(x) – две первообразные одной функции, то Ф(х)=F(x)+C, где С – константа.

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f(x), выражаемая формулой F(x)+C, называется неопределённым инте-

гралом функции f(x). Обозначение: ∫f(x)dx = F(x) +C.

Основные свойства неопределенного интеграла

1.  (∫f(x)dx)′ = f(x).

2.  d(∫f(x)dx)= f(x)dx.

3.  ∫dF(x)dx = F(x) +C.

4.  ∫αf(x)dx =α∫f(x)dx.

5.  ∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx± ∫g(x)dx.

Таблица основных неопределённых интегралов

xα+1

1.  ∫xαdx = α +1 +C,α ≠ −1.

	2.  ∫	dx	=ln			x		+C,x ≠ 0.
		x
				ax
	3.  ∫axdx =								+C,a >0,a ≠1.
				lna

4.  ∫exdx = ex +C.

5.  ∫sin xdx = −cos x+C.

6.  ∫cos xdx =sin x+C.

7.  ∫tgxdx = −ln cos x +C,x ≠ 2p + pn,n Z.

32

8.  ∫ctgxdx =ln sin x +C,x ≠ pn,n Z.

9.  ∫sindx2 x = ctgx+C,x ≠ pn,n Z. 10.  ∫cosdx2 x = tgx+C,x ≠ 2p + pn,n Z.

11.  ∫sindxx =ln tgx2 +C,x ≠ pn,n Z.

dx

=ln

x

+

p

+C,x ≠

p

+ pn,n

Z.

12.

tg

∫cosx

2

2

4

13.  ∫

dx

= 1arctg

x

+C,a ≠ 0.

a

2

2

a

+ x

a

14.  ∫

dx

= arcsin

x

+C,−a<u< a,a >0.

a

a2 −x2

15.  ∫

dx

=

1ln

a+ x

+C,a ≠ 0,a ≠ ±a.

a

2

2

a−x

−x

2

dx

+C,x2 > −a.

16.  ∫

=ln

x+

x2 +a

x2 +a

Основные методы интегрирования

1. Метод непосредственного интегрирования. При данном методе неопределенный интеграл находится с помощью свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и тождественных преобразований.

1. Метод подведения под знак дифференциала. При данном ме-

тоде используется представление: adx=d(ax+b) или –sinxdx=dcosx, или nxn–1dx=dxn, …, u′(x)dx=du.

2. Метод замены переменной., если при замене переменной x=ϕ(t), где функция ϕ(t) непрерывна вместе со своей производной ϕ′(t) и имеет обратную функцию ϕ––1(t), то интеграл вычисляется

по формуле: ∫f(x)dx = ∫f(j(t))j′(t)dt ãäå t=j−1(x).

3. Метод интегрирования по частям. При данном методе применяется формула ∫u(x)v′(x)dx =u(x)v(x) − ∫u′(x)v(x)dx, причем:

В интегралах ∫xkeαxdx; ∫xk sinαxdx; ∫xk cosαxdx, k /N, за u(x) берется xk, а за dv – eαxdx, sinαxdx, cosαxdx;

33

В интегралах ∫xk ln xdx; ∫xk arcsin xdx; ∫xkarctgxdx, k /N, за

u(x) берутся lnx, arcsinx, arctgx, а за dv – xkdx.

Эти интегралы ∫eαx sinbxdx; ∫eαx cosbxdx берутся по частям

дважды. В процессе решения приходим к уравнению относительно искомого интеграла.

4. Метод непределенных коэффициентов

Pm (x)

В разложении

на элементарные дроби сомножителю в зна-

Q (x)

n

A1

A2

Ak

менателе(x–a)k будетсоответствовать

+

+... +

,

(x−a)

(x−a)2

(x−a)k

а (x2 + px+q)l –

M1x+ N1

+

M2x+ N2

+... +

Mlx+ Nl

.

2

2 2

2

l

(x + px+q) (x + px+q)

(x + px+q)

Коэффициенты Ai, Mi, Ni можно найти, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x многочленов, стоящих в равенстве слева и справа.

Задачи

1. Непосредственным интегрированием найдите интегралы:

а) ∫

dx

; б) ∫2õeõdx; в)

∫

x2 −9

dx.

4

2

x

x −8

dx

= ∫x−

1

x3/4

34

Решение: a)

∫

4dx =

+C =

x3

+C (п. 1. таблицы

4

x

3/ 4

4

2õeõ

интегралов, где α= –1/4): б) ∫2õeõdx = ∫(2e)õdx =

+C (п. 3. та-

блицы интегралов, где α=2е);

ln2+1

x2 −9

∫(x2 2−8) −1dx = ∫dx−∫

1

1

+ x

+C

в)  ∫

dx =

dx =x+

ln

2

2

2

x

2

8

x −8

x −8

−

4 2

2 2 −x

(п.15. таблицы интегралов, где α2=8 и свойства интегралов). 2. Методом подведения под знак дифференциала найдите инте-

грал: а) ∫

dx

; б)

∫sin xcos2 xdx; в) ∫x2eõ3dx.

5x−2

Решение:

1

а) ∫

dx

1

∫(5x−2)−

1 (5x−2)1/2

2

=

2d(5x−2) =

+C =

5x−2

+C;

5

5 1/ 2

5

5x−2

34

2

2

1

3

б)  ∫sin xcos xdx = −∫cos

xdcosx = −

cos

x+C (здесь u(x)=cosx,

3

du=(cosx)′dx= –sinxdx);

в)  ∫x

2

e

õ3

dx =

1

∫e

õ3

dx

3

=

1

e

õ3

+C

(здесь u(õ) = õ

3

, du =(õ

3

′

3

3

) dõ =

=3õ2dõ).

dx

3. Найдите интеграл методом замены переменной: а)  ∫

;

dx

5x−

2

б) ∫

.

ex −1

Решение: а) Сделаем подстановку: t =

, то x=t2 – 1, dx=2tdt.

x+1

∫

xdx

∫

(t2 −1)2tdt

∫

(t2

t3

x+1

То

=

=

2

−1)dt =2

−t

+C =2

x+1

−1

+

x+1

t

3

3

+C = 23x+1(x−1) +C.

2tdt

x

x

2

2

б) Заменим

e

−1

=t, или e

=t +1, откуда x=ln(t +1), dx =

.

t2 +1

Получим

dx

2tdt

dt

∫

=

∫

=2∫

=2arctgt+C =2arctg

ex −1+C.

2

t

2

ex −1

(t +1)t

+1

1. Найдите интегралы методом интегрирования по частям.

а) ∫x2e3xdx; б) ∫xln xdx; в) ∫e2õ sin xdx.

Решение:

u = x2 du =2xdx

1

2

x2e3õ

∫e3õxdx =

а) ∫x2e3õdx =

3õ

dx v =

1 3õ

=

3

−

3

dv = e

3

e

u = x du =dx

1

2

õ3

=

3õ

1

=

x

2 3õ

−

xe

+

dx

v =

e

3õ

3

e

9

dv

= e

3

2

3õ

1

2 3õ

2

õ3

2

3õ

+

∫e

dx =

x

e

−

xe

+

e

+C;

9

3

9

27

35

dx

б) ∫xln xdx =

u =ln x du =

1

x2 ln x− ∫

xdx

1

x2 ln x−

x

=

=

2

2

2

2

1

dv = xdx v = x

/ 2

−

x

2

+C.

4

∫

2õ

u = e2õ du =2e2õdx

2õ

∫

2õ

в)

e

sin xdx

=−e

cos x+

2

e cos xdx =

=

dv =sin xdx v

= −cos x

u = e2õ du =2e2õdx

2õ

2õ

∫

2õ

=

= −e

cos x+2e

sin x−4

e

sin xdx

dv

= cos xdx v

=sin x

Получили уравнение относительно ∫e2õ sin xdx. Решив его, по-

лучим: ∫e2õ sin xdx =

e2õ(2sin x−cos x)

+C.

5

1. Найдите интеграл ∫

(2x3 −5x2 +6x−5)dx

.

(x−1)2 (x2 +1)

Решение: Под интегралом – правильная рациональная дробь.

Разложение на элементарные дроби имеет вид:

2x3 −5x2 +6x−

5

A

B

Cx+ D

(x−1)2 (x2 +1)

=

+

+

,

(x−1)

(x−1)2

(x2 +1)

2x3 −5x2 +6x−5= A(x−1)(x2 +1)+ B(x2 +1)+Cx(x−1)2 + D(x2 +1).

Коэффициенты A, B, C, D можно найти, приравнивая коэффици-

енты при одинаковых степенях x многочленов, стоящих в равенстве слева и справа:

x3		2= A +C
x2		−5= −A + B+ D−2C
x1		6= A +C−2D
x0		−5= −A + B+ D

Решив систему уравнений, получим A=2; B=–1; C=0; D=–2, откуда

36