ТЕМА VII. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Формула Ньютона–Лейбница

Пусть f(x) непрерывна на [a, b], F(x) – какая-либо её первообраз-

b

ная, тогда ∫f(x)dx =F(x) ba= F(b) − F(a).

a

Свойства определённого интеграла

b	b	b
1.  ∫(f(x)± g(x))dx = ∫f(x)dx± ∫g(x)dx.
a	a	a
b	b
2.  ∫kf(x)dx =k∫f(x)dx.

aa

b	a	a
3.  ∫f(x)dx = −∫f(x)dx; ∫f(x)dx = .
a	b	a
b	c	b
4.  ∫f(x)dx =∫f		(x)dx =∫f(x)dx.
a	a	c

Основные методы вычисления определённого интеграла

1. Замена переменной в определённом интеграле. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и x=j(t) – функция, непрерывная вместе со своей производной j′(t) на отрезке α≤ t ≤β, причем

b β

a ≤ j(t) ≤ b и j(α)=a, j(β)=b, тогда ∫f(x)dx =∫f(j(t)) j′(t)dt.

a α

2. Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Пусть функции u(x), v(x) – непрерывны вместе со своими произ-

b	b	b
′		′
водными на [a, b], тогда ∫u(x)v (x)dx =u(x)v(x)	a − ∫v(x) u (x)dx.
a		a

Геометрические приложения определенного интеграла

Геометрический смысл интеграла – алгебраическая сумма площадей фигур, составляющих так называемую криволинейную тра-

39

у					у		у = f1(x)
		у = f(x)
		D					D
			0				a	b	x
0	a	b	x				у = f2(x)

Рис. 5.5 Рис. 5.6

пецию, ограниченную указанной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Ох. Причем, площади частей, расположенных выше оси Ох берутся со знаком «+», а площади частей, расположенных ниже оси Ох – со знаком «–».

Площадь плоской фигуры – площадь криволинейной трапеции D, a) ограниченной непрерывной кривой заданой уравнением y=f(x) (f(x)>0) и двумя вертикальными прямыми x=a, x=b и осью

b

Ox (рис. 5.5), определяется формулой SD = ∫f(x)dx.

a

б) ограничена двумя непрерывными кривыми y=f1(x) и y=f2(x) и двумя вертикальными прямыми x=a, x=b, где f1(x) ≤ f2(x) при

a ≤ x≤ b (рис. 5.6), будем иметь SD = b∫(f2 (x)−f1(x))dx.

a

Объём тела вращения – а) образованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной уравнением y=y(x), осью Ох и прямыми x=a,x=b вычисляется по форму-

b

ле VD = p∫y2 (x)dx; a

б) образованного вращением вокруг оси Оу криволинейной трапеции, ограниченной кривой, заданной уравнением x=x(y), где х(у) – однозначная непрерывная функция на [c,d], осью Oy и пря-

d

мыми y=c, y=d, вычисляется по формуле VD = p∫x2 (y)dx.

c

40

Длина дуги плоской кривой l, заданной уравнением y=y(x), содержащейся между двумя точками с абсциссами x=a, x=b (а – b),

b

равна l= p∫1+ y2(x)dx.

a

Задачи

1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной: а) параболой y=4x3, прямыми x=1, x=2 и осью Ох; б) кривой x=3y – y2 и осью Oy; в) кривыми y=3x – x2 и y=x2 – x.

Решение:

a) Искомая площадь выражается интегралом

2

S = ∫4x3dx = x4 12=16−1=15 (êâ. åä.);

1

б) Изменены роли х и у, тогда площадь считаем по формуле

S = 3∫(3ó−ó2)dó =1,5ó2 − 13ó3 30=13,5−9=4,5 (êâ. åä.),

0

где пределы интегрирования y1 =0 и y1 =3 найдены как точки пересечения данной кривой с осью Оу;

y =3õ−x2,

в) Найдем абсциссы точек пересечения: получим,

x1=0 и x1=2. Тогда,

y = x2 −õ,

2

S = ∫(3õ−x2 −õ2 + õ)dx =

	0
2		2õ2		2	õ3			20=8−	16		8	(êâ. åä.).
= ∫			−							=
	(4õ−2x2)dx =			3					3		3
0

1. Вычислите объём тела, полученного вращением фигуры, огра-

	p
ниченной линиями y = cos x, x 0;	2	, y =0, вокруг оси Ox.
Решение:

V	= pp/2cos2 xdx = pp/2			(1	+cos2x)dx = p2	(êóá. åä.).
x	∫	2	∫		4
	0		0

41

2. Найдите длину дуги астроиды x2/3 + ó2/3 =4.

8

2/3

8

2

Решение: l=4∫

1+

y

dx =4∫

dx =12

(ед. длины).

2/3

1/3

0

x

0 x

Упражнения

1/2

M +1

1. Вычислите определенные интегралы: а)

∫

dx;

1−(N +5)x2

0

e

M +1

e

M −4

б) ∫

dx; в) ∫

dx.

(N +5)xln x

1

1 N +53 xM+4

2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной: а) параболой y = Mx2 −nx+2, прямыми x = N −9 и x = M+2 и осью Ох; б) кри-

вой x = Ny−y2 и осью Oy; в) кривыми ó = Nõ−õ2 è ó = õ2 − Mõ. 3. Вычислите объём тела, полученного вращением фигуры, ограни-

	p		, y0= , вокруг оси Ox.
ченной линиями y =(M +1)cos x+ N, x 0 ;
	2

4. Найдите длину дуги астроиды x2/3 + ó2/3 =(N + M +2)2/3.

42