ТЕМА IV. ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Производная функции
Определение 1. Если конечный предел lim	f(x0 +	x) −f(x0)	су-
		x
x→0

ществует, то он называется производной функции f(x) в точке х0.

Обозначение: f′(x0 ), ó′(õ0 ), df(x0), dy(x0). dx dx

Определение 2. Функция f(x) – дифференцируема в точке х0, если f′(x0) сущестует.

Функция f(x) дифференцируема на интервале (a, b), если она дифференцируема в каждой точке (a, b).

Механический смысл производной

Уранение прямолинейного движения имеет вид: s=s(t), если s′(t0) существует, тогда моментальная скорость определяется как

v(t0) = lim	S	′
	t	= s (t0).
t→0
		Геометрический смысл производной

Геометрический смысл производной: f′(x0)=tgα, где α – угол наклона к оси Ох касательной, проведенной в точке М0(х0, у0) к графику функции y=f(x). Уравнение этой касательной записывается в виде y=f′(x0)(x – x0)+y0. При этом f′(x0) называется угловым коэффициентом касательной (рис. 4.1).

у

lкас

у0 М0

α

0	х0	х

Рис. 4.1

18

Правила дифференцирования функций

Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы, тогда: 1. (сf(x))′=с f′(x), где с – некоторая константа; 2. (f(x) +g(x))′=f′(x) +g′(x);

3. (f(x) g(x))′=f′(x) g(x)+f(x) g′(x);

			′		′	′
4.		f(x)		=	f (x)g(x) −f(x)g (x)		(g(x) ≠	).
	g(x)					(g(x))2

5. Для взамнообратных функций у=f(x) и х=g(y) производная об-

ратной функции g′(x) = f′1(x).

1. Производная сложной функции (f(g(x))′=f′(g(x))g′(x). 2. Производная параметрически заданной функции

	x =j(t)	равна ó′(õ0 )	=	′
				ψ (t0).
y =ψ(t), t T				j′(t0)

Таблица производных

1. (с)′= 0, с – константа.

2. (хp)′=pxp–1, если имеют смысл как хp, так и xp–1.

3. Частные случаи: (õ)′ =1; (õ2)′ = õ; (

1

;

x2)′=

4. (ах)′=ахlna, при а> 0, a≠1.

2

x

5. Частный случай: (ех)′=ех.

6.  (loga x)′=

1

, ïðèa >0, a ≠

,01< x< +∞.

xlna

7. Частный случай: (lnx)′=1/x, при 0 < x–+∞

8. (sin x)′=cos x.

9. (cos x)′= – sin x.

p

′

1

= cos2 x,ïðè x ≠ 2 + pk,k Z.

10.  (tgx)

′

1

= −sin2 x,ïðè x ≠ pk,k Z.

11.  (ctgx)

12.  (arcsinx)′ =

1

, ïðè −

<1

<0 .

1−x2

′

=

1

, ïðè −

<1

<01.

13.  (arccosx)

1−x2

	1	′	= −	1	.
				x2
	x

19

14.  (arctgx)′ = 1+1x2 . 15.  (arcctgx)′= −1+1x2 .

Дифференциал функции

Определение 3. Дифференциалом функции f(x) в точке х0 называется линейная функция f′(x0) x относительно аргумента x. Обозначение: df(x0)= f′(x0) x; dy=f′(x0)dx.

Производные и дифференциалы высших порядков Определение 4. Производная от f′(x) называется производной вто-

рого порядка функции f(x) в точке х. Обозначение: f′′(x) =(f′(x))′,

ó′′, d2f(x). dx2

Определение 5. Производная n-го порядка в точке х – производная от производной (n – 1)-го порядка, то есть f(n)(x)=(f(n–1)(x))′. Обозначение: f″(x), f′′′(x), f(4)(x), f(5)(x), …, f(n)(x), … или у″, у′′′, у(4), у(5), …, у(n), …

Определение 6. Дифференциал от f′(x) x называется дифференциалом второго порядка функции f(x) в точке х. Обозначение: d2f(x)=d(df(x)), d2y, dnf(x)=f(n)(x)( x)n, dnf(x)=f(n)(x)(dx)n=f(n)(x)dxn.

Задачи

1. Найдите по определению производную функции f(x)=sinx.

Решение:

lim

sin(x0 +

x) −sin x0

=

x→0

x

(x + x−x

)

(x + x+ x

)

2sin

0

0

cos

0

0

= lim

2

2

=

x

x→0

2sin

x cos x

+

x

2

0

2

lim

=

x

x→0

x

sin

x

x =

= lim

2

lim cos

+

1

cos x

= cos x .

x→0

x

x→0

0

0

0

2

2

20

Таким образом, sin′(x0)=cosx0. 2. Найти дифференциал функции y=x

Решение: Имеем dx=(x)′ x= x. p

3. Найти уравнение касательной для y=sin x в точке õ0 = 3.

Решение: (sinx)′ = cosx, sin p = cos p = 1.

3 3 2

Найдем ó0 =sinõ0 =sin3p = 23. Уравнение искомой касательной

имеет вид ó =

1

õ −

p

+

3

.

2

3

2

3x

4. Найти производную функции y =sin x arctgx+

.

x5

Решение:

−4x

ó′=(sin x)′arctgx+sin x(arctgx)′ +

+(3

x

′

5

−4x) −

3

x

(x

5

−4x)

′

=cos x arctgx+

) (x

(x5 −4x)2

sin x

x

′

5

−4x) −

3

x

(x

5

−4x)

′

+

+ (3

) (x

=

1+ x

2

(x

5

2

−4x)

= cos x arctgx+

sin x

+

3x ln3(x5 −4x) −3x(5x4 −4)

.

1

+ x

2

(x

5

2

−4x)

5. Найти производную сложной функции у=tg3x.

Решение: Так как f′=3u2, u′=1/cos2x, то имеем·

ó′=3tg2x

1

=

3sin2 x

.

cos

2

cos

4

x

x

1. Найдите производную сложной функции у=(arcsinx)x. Решение: Сначала прологарифмируем обе части данного равен-

ства: lny=xln(arcsinx). Далее, используя правила дифференцирования сложной функции и произведения функций, получим:

1	y′=x( )'ln arcsinx		x+	(ln arcsinx )′=
y
=ln arcsin x+ x			1	1				, тогда
		arcsin x
					1−x2

21

′

x

= ó

+

=

ó

ln arcsin x

arcsinx

x

1−

2

x

x

(arcsin x)

lnarcsin x+

x 1−

2

.

arcsix

n

Такой способ нахождения производной называется логарифмическим дифференцированием.

2. Вычислить приближенно е–0,08.

Решение:Возьмемчислох0=0,близкоекх=–0,08итакое,чтозна- чение функции ex0 легко вычисляется, при этом х= –0,08. Кроме

того, заметим, что (ex0 )′ = ex0 , следовательно, ex0+Δx ≈ ex0 +ex0 x, откуда e−0,08 ≈ e0 +e0(−0,08) =0,92.

1. Вычислите в точке õ0 = 2 производную функции у=у(х), па-

					x =2cost		.
	раметрически заданной уравнениями:
					y =3sint,t [0,p]				x0
	Решение: Из первого уравнения получим arccost					= arccos					=
					0			2
				= p	, j′(t)=(2cost)′= –2sint, откуда j′(t0) = −2sinp
	= arccos		2					= −				,
										2
	2			4			4

ψ′(t)=(3sint)′=3cost, откуда ψ′(t0) =3cos4p = 322.

32

Таким образом, ó′(õ0 )= (−22) = −23.

2. Найти производные первых трех порядков для у=4х3 – 3х2 +

+ 2х – 5.

Решение: Имеем у′=12х2 – 6х+2, у″=24х – 6, у′′′=24. 3. Найдите производную n-го порядка функции y=sin x.

Решение: Имеем

p

p

=

p

ó′= cosx =sin x+

, ó′′=

cosx+

2

sinx+

2

2,

2

ó′′′= cos

p

p

(4)

=

x+2

2

=sin x+3

,ó

2

p

=sin

p

= cos x+3

x+4

2

,

2

22