ТЕМА V. АНАЛИТИЧЕСКИЕ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ

Основные теоремы дифференциального исчисления

		f(x)	0				∞
	Теорема 1. (Правило Лопиталя). При lim		=			èëè		и
		g(x)		0
	x→x0						∞

если существует предел lim f′(x) (конечный или бесконечный), то x→x0 g′(x)

существует предел lim f(x) и справедливо следующее равенство x→x0 g(x)

	f(x)		′
lim		= lim	f (x)	.
	g(x)		′
x→x0		x→x0	g (x)

Возрастание и убывание функции

Теорема 2. (необходимое условиe). Если дифференцируемая на промежутке Х функция f(x) возрастает (убывает) на этом промежутке, то f′(x)≥ 0 (f′(x)≤ 0) при всех х Х.

Теорема 3. (достаточное условии). Если функция f(x) дифференцируема на промежутке Х и f′(x)>0 (f′(x)<0), то эта функция возрастает (убывает) на Х.

Экстремумы функции

Определение 1. Пусть функция f(x) определена на промежутке Х. Точка х0 Х называется точкой минимума (точкой максимума)

функции f(x), если в окрестности Оδ(х0) Х выполняется f(x) > f(x0) (f(x)–f(x0)). Минимум или максимум функции называется экстремумом функции, а точка называется точкой экстремума функции.

Теорема 4. (необходимое условие). Если точка х0 является точкой экстремума функции f(x), то либо f′(x0)=0, либо f′(x0) не существует.

Теорема 5. (достаточное условие). Если при переходе через точку x0 производная f′(x) меняет знак с «–» на «+», то точка x0 является точкой минимума функции f(x), если наоборот, то точкой максимума.

Направление выпуклости кривой

Определение 2. Непрерывна кривая у=f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на (a, b), если для любых двух точек M и N на этой кри-

24

y		N	y=f(x)			y			y=f(x)
		M
									N
									M
O		a	b	x		O		a	b x

Рис. 5.1 Рис. 5.2

вой, абсциссы которых принадлежат интервалу (a, b), соединяющая их хорда лежит ниже (выше) кривой. На рис. 5.1 кривая у=f(x) выпукла вверх, а на рис. 5.2 – вниз.

Теорема 6. (необходимое условие). Если кривая y=f(x) выпукла вверх (вниз) на (a, b), то f″(x) ≤ 0 (f″(x) ≥ 0) при всех х (a, b).

Теорема 7 (достаточное условие). Если f″(x)– 0 (f″(x) > 0) при всех х (a, b), кроме возможно конечного числа точек, в которых f″(x)=0, то кривая y=f(x) выпукла вверх (вниз) на (a, b).

Точки перегиба кривой

Определение 3. Точка М0 (х0, f(x0)) называется точкой перегиба кривой y=f(x), если при переходе через эту точку кривая y=f(x) меняет направление выпуклости.

Теорема 8. (необходимое условие). Если точка М0(х0, f(x0)) есть точка перегиба кривой y=f(x), то либо f″(x0)=0, либо f″(x0) не существует.

Теорема 9. (достаточное условие). Если f′(x) меняет знак при переходе через x0, то точка М0(х0, f(x0)) является точкой перегиба кривой y=f(x).

Схема построение графика функции

1. Найти область определения функции D(f); б) Определить точки пересечения графика с осями Ох и Оу; в) Проверить, является ли функция четной, нечетной или периодической; г) Выяснить вопрос о существовании вертикальных и наклонных асимптот.

2. Исследование функции с помощью первой производной: а) Найти точки, подозрительные на экстремум; б) Заполнить таблицу интервалов постоянной монотонности и точек экстремума.

25

3. Исследование функции с помощью второй производной: а) Найти абсциссы точек, подозрительных на перегиб; б) Заполнить таблицу интервалов постоянной выпуклости и точек перегиба.

4. Построение графика функции в целом.

Задачи

1. Используя правило Лопиталя, доказать, что а)  lim

xp

=0

и

б)  lim ln x =0, åñëè à >1, p > 0.

x→+∞ ax

x→+∞ xp

Решение: Применяя правило Лопиталя, получим:

ln x

∞

(ln x)′

1

x

а)

lim

=

=

lim

= lim

=

x→+∞ ax

∞

x→+∞ (ax)′

x→+∞ lna×ax

=

1

lim

1

=0.

lnax→+∞ xax

ln x

∞

(ln x)′

1

1

1

x

б)

lim

=

=

lim

= lim

=

lim

=0.

x→+∞ xp

∞

x→+∞ (xp)′

x→+∞ pxp−1

px→+∞ xp

2. Найти предел lim

x−tgx

.

x→0

x3

Решение: Раскроем неопределённость 0

с помощью правила

Лопиталя.

0

x−tgx lim 3 x→0 x

=−1 lim

3x→0

1−

1

cos2 x−1

0

cos2 x

1

= 0

= lim→

=

3 lim→

2

2

=

3x

2

x

x

0

x 0 x

cos

sin2 x

= −

1

lim

sin2 x

lim

1

=

x2 cos2 x

x2

3x→0

x→0cos2 x

= −

1

1 1= −

1.

3

3

1

3. Найти предел lim (x+ex )x . x→+∞

Решение: В данном случае имеем неопределённость ∞0 .

26

1

1

(x+e

x

)

=

0

ln(x+ex )x

=

lim

x

∞

= lim e

x→+∞

x→+∞

1 ln(x+ex )

lim

ln(x+ex )

= lim

x .

ex

= ex→+∞

x→+∞

Трижды воспользуемся правилом Лопиталя:

ln(x+ex )

∞

1+ex

1+ex

∞

x+e

x

lim

=

∞

=

lim

=

lim

=

=

x

+ex

x→+∞

x→+∞

1

x→+∞ x

∞

ex

∞

ex

= lim

=

= lim

=1.

x→+∞1+ex

∞

x→+∞ ex

(

x+ex

)

1

= e1 = e.

Таким образом,

lim

x

x→+∞

4. Найти интервалы монотонности функции f(x)=ех – х. Решение: Вычислив производную f′(x)=ех – 1, получим, что

f′(x)> 0 при х> 0 и f′(x) <0 при х <0, и только в единственной точке х=0 f′(x)=0. По теореме 3. функция f(x)= ех – х возрастает на (0, +∞) и убывает на (– ∞, 0).

5. Найдите экстремум функции f(x) = x

x,x≥0

Решение: Функция f(x) = x =

−x,x<0

точке х0.

x,x≥0

=−x,x<0.

не имеет производной в

Но, при переходе через эту точку производная меняет знак с « – » на «+», следовательно, точка х0=0 является точкой минимума данной функции (рис. 5.3).

6. Найти точки экстремума функции f(x) =2õ+33x2.

′		2				2(3				)
							x+1
Решение: Вычислим производную f (x) =2	+				=	3					. Про-
		3
			x					x

изводная обращается в нуль в точке х1= –1 и не существует в точке х2=0. Следовательно, две точки подозрительные на экстремум: х1= –1, х2=0.

27

у

y = x

O

х

Рис. 5.3

Составим следующую таблицу:

x	(–∞,–1)	–1	(–1,0)	0	(0,+∞)
Знак f″(x)	+	0	–	не существует	+

Производная f′(x) меняет знак при переходе через точки х1= –1 и х2=0. Точка х1= –1 является точкой максимума, а точка х2=0 есть точка минимума.

7. Определим интервалы выпуклости кривой ó = f(x) =2õ+33 x2. Решение: Вычислим вторую производную:

′		2			′′	2 1
f (x) =2	+	3	x		, f (x) = −	3 3		x4		. Очевидно, что f″(x)–0 при х (–∞, 0)

(0, +∞). Следовательно, по теореме 7. исходная кривая является выпуклой вверх на промежутках (–∞, 0) и (0, +∞).

8. Определите точки перегиба кривой y = f(x) =ln(1+ x2). Решение: Вычислим вторую производную:

f′(x) =		2x		, f′′(x) =	2(1−x2)		. Вторая производная равна 0 при x1=
		+ x	2		(1+ x	2 2
1						)

–1 и x2=1. Точки М1(–1, ln2), М2(1, ln2) являются точками, подозрительными на перегиб.

Составим следующую таблицу:

X	(–∞,–1)	–1	(–1,1)	1	(1,+∞)
Знак f″(x)	–	0	+	0	–

f″(x) меняет знак при переходе через точки x1= –1 и x2=1. Тогда точки М1(–1, ln2) и М2(1, ln2) есть точки перегиба исходной кривой.

28

	9. Постройте график функции f(x) =	3	−x2	.
		x+2
	Решение:

1. D(f)=(–∞, –2) (–2, +∞).

Точки пересечения графика с осями Ох, Оу: À(30, ); Â(−03, );

Ñ0,3 .2

Функция не является ни четной, ни нечетной и не является пе-

	риодической.				õ = −2: lim−	3−x2	= +∞,
	Односторонние пределы в точке
						x+2
	lim+	3−x	2	= −∞.	x→2
		x+2
	x→2

Следовательно, прямая х= –2 является вертикальной асимптотой.

Исследуем наличие наклонных асимптот. Пусть х→+∞, тогда

f(x)

3−x2

3−x2

k=

lim

= lim

=

lim

=

+2)x

x→+∞

x

x→+∞ (x

x→+∞ x2

+2x

=

∞

= lim

−x2

= −1,

∞

x→+∞ x2

b = lim (f(x) −kx)=

3−x

2

lim

+ x

=

x→+∞

x+2

x→+∞

= lim

3+2x

=2.

x→+∞

x+2

Следовательно, прямая у= –х+2 есть наклонная асимптота при

х→ +∞.

Аналогично прямая у= –х+2 является наклонной асимптотой при х→ –∞.

2. Для определения точек, подозрительных на экстремум, вы-

числим производную	′	(x+1)(x+3)	и приравняем к 0, тогда
	f (x) = −	(x+2)2

х1=3 и х2= –1. Заполним таблицу интервалов постоянной монотонности и точек экстремума:

х	(–∞, –3)	–3	(–3, –2)	(–2, –1)	–1	(–1, +∞)
знак f′(x)	–	0	+	+	0	–
Возрастание, убыва-		min			max
ние; вид экстремума

29