ТЕМА III. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Предел последовательности

Определение 1. Если натуральному числу n сопоставлено в соответствие вещественное число хn, тогда говорят, что задана последовательность x1, x2, …, xn, …. Обозначение: {хn}.

Примеры последоватедбностей: Геометрическая последова-

тельность {qn} (q≠0), последовательность Фибоначчи x1=1, x2=1,…,

xn= xn–1+ xn–2, … (n≥3).

Определение 2. Пусть, а, ε – вещественные числа, причем ε>0.

ε-окрестностью точки а называется интервал (а – ε, а+ε). Обозначение: νε(a)

Определение 3. Число а называется пределом последовательности {хn}, если для любой νε(a) все точки хn начиная с номера Nε по-

падут в эту окрестность. Обозначение: lim xn = a. n→∞

Предел функции

Определение 4. Число а называется пределом функции f(x) в точке x0, если для любого положительного числа ε существует положительное число δε такое, что f(x) – a < ε, если 0< x – x0 < δε.

Обозначение: lim f(x) = a. x→x0

Определение 5. Число а называется левосторонним (правосто-

ронним) пределом функции f(x) в точке x0, если для любого поло-

жительного числа ε существует положительное число δε такое, чтоf(x) – a < ε, если – δε < x – x0 < 0 (0< x – x0 < δε). Обозначение:

lim f(x) = a( lim f(x) = a). x→x0− x→x0+

Теорема 1. lim f(x) = a тогда и только тогда, когда	lim f(x) =
x→x	x→x−
0	0
= lim f(x) = a.
x→x+
0

Определение 6. Число а называется пределом функции f(x) при x→∞, если для любого положительного числа ε существует положительное число Mε такое, что f(x) – a < ε, если x > Mε. Обозначение:

lim f(x) = a. Если x принимает лишь положительные (отрицатель- x→∞

ные) значения, то lim		lim
	f(x)		f(x) .
x→+∞	x→−∞

9

Определение7.Функцияf(x)называетсябесконечномалой(беско-

нечнобольшой)функциейприx→x0,если lim f(x) =0( lim f(x) = ∞).
x→x0	x→x0
1

Если lim f(x) =0, то функция f(x) есть бесконечно большая функ- x→x0

ция при x→x0 и наоборот.

Свойства пределов

Пусть функции f(x) и g(x) имеют в точке x0 конечные пределы, тогда:

1.  lim (c f(x)) = c lim f(x),c /R; x→x0 x→x0

	2.  lim (f(x) + g(x)) = lim f(x) + lim g(x);
		x→x0				x→x0		x→x0
	3.	lim (f(x) g(x)) =				lim f(x) lim g(x);
		x→x0				x→x0		x→x0
			f(x)		lim f(x)
	4.  lim			=	x→x0		, lim g(x) ≠ 0.
			g(x)		lim g(x)
		x→x0					x→x0
					x→x0

Замечательные пределы

Теорема 2. (Первый замечательный предел). lim sin x =1. x→0 x

Следствие. lim arcsin x

=1; lim tgx

=1; lim arctgx

=1.

x→0

x

x→0

x

x→0

x

+

1 x

Теорема 3. (Второй замечательный предел). lim 1

= e,

õ→∞

x

1 n

ãäå lim 1+

= e, e≈2,718281....

n→∞

n

1

ln(1+ x)

Следствие. lim

(1+ x)x = e, lim

=1,

x

x→0

x→0

lim

ex −1

=1, lim (1+ x)p −1

= p, p /R.

x→0

x

x→0

x

10

Сравнение функций

Определение 8. Если lim f(x) = k (k≠ 0), то говорят, что функ- x→x0 g(x)

ции f(x) и kg(x) называют эквивалентными при x→x0. Обозначение:

f(x)~kg(x) при x→x0.

Эквивалентные функци: При x→ 0: sin x ~ x; tg x ~ x; arcsin x ~ x; arctg x ~ x; ln(1+x) ~ x; ex – 1 ~ x; (1+x)p – 1 px.

Теорема 4. (о замене эквивалентных функций). Пусть f(x) ~ f1(x)

и g(x) ~ g1(x) при x→x0, тогда

lim

f(x)

= lim

f1(x)

.

g(x)

x→x0

x→x0

g1(x)

Видынеопределенностей:

0

,

∞

[ ∞], [∞−∞], ∞ ,

0 ,

0

10,

0

∞

0

∞

.

Асимптоты функции

Определение 9. Прямая х=х0 называется вертикальной асимпто-

той кривой y=f(x), если хотя бы один из lim f(x) èëè lim f(x)

ра-

вен +∞ или – ∞.

x→x0−

x→x0+

Теорема 5. Прямая y=kx+b является наклонной асимптотой

кривой y=f(x) при x→+∞, тогда и только тогда, когда lim f(x) = k, x→+∞ x

lim (f(x) −kx) = b. Аналогично при x→–∞. x→+∞

Непрерывность функции

Определение 10. Функция f(x) называется непрерывной в точке

x0, если lim f(x) = f(x0), непрерывной на интервале (a,b), если она x→x0

непрерывна в любой его точке. Каждая элементарная функция непрерывна в любой точке из своей области определения.

Точки разрыва функции и их классификация

Определение 11. Если функция f(x) определена в некоторой окрестности точки x0 за исключением возможно самой точки x0. Точка x0 называется точкой разрыва функции f(x), если в этой точке функция либо не определена, либо не является непрерывной.

11

Определение 12. Если x0 есть точка разрыва f(x) и существуют

конечные односторонние пределы lim f(x),	lim f(x), то x0 называ-
x→x−	x→x+
0	0
ется точкой разрыва первого рода. Если же	lim f(x) = lim f(x), то
	x→x−	x→x+
	0	0

x0 называют точкой устранимого разрыва. Иначе точкой неустра-

нимого разрыва со скачком h =	lim		f(x) − lim f(x)	.
	x→x	+	x→x−
	0		0
Задачи

1. Доказать, что lim 2x =2. x→1

Решение: Рассмотрим положительное число ε. Неравенство 2x – 2 < ε равносильно неравенству x – 1 < ε/2. Положим δε=ε/2, тогда

если 0< x – 1 < δε, то 2x – 2 < ε, следовательно, lim 2x =2.

x→1

1, ïðè x >0

в 0?

2. Существут ли предел функции sn(x) =

ïðè x<

−1,

0

Решение: Имеем

lim sn(x) = −1, lim

(x)sn= , следовательно,1

пре-

x→0−

x→0+

дела в 0 не существует.

3. Найти а) lim

x2 −3x+1

; б) lim

sin6x

; в) lim

1−cos x

;

4x

x→2 2x3 +4x

x→0

x→0arctg2x

)

2

2

1+ x −1

1+ x

x2

г) lim

; д)  lim

+2x)

.

x→0

(

x→0ln(1

Решение:

lim (x2 −3x+1)

x

2

−3x+1

а) lim

=

x→2

=

lim (2x3

+4x)

x→2 2x3 +4x

x→2

(lim x)2 −3lim x+lim1

2

1

=

x→2

x→2 x→2

=

2 −3

2+1 = −

;

2(lim x)3 +4lim x

2 23 +4 2

24

x→2

x→2

б)  lim

sin6x

0

= lim

sin6x 6x

= lim

sin6x

lim

6x

=

4x

=

0

6x 4x

6x

4x

x→0

x→0

x→0

x→0

=lim sin y 3 = 3, ãäå ó = 6õ; y→0 y 2 2

12

1−cos x

0

2sin

2 x

sin

2 x

x2

2x

в)  lim

=

= lim

2

=2lim

2

4

=

0

x→0arctg2x

x→0arctg2x

x→0 x2

4

2x arctg2x

2

sin

x

x2

2

4

2x

=2 12

x

1 lim x =0;

=2 lim

lim

lim

lim

1=

x

2x

x→0

x→0

x→0arctg2x

x→0 8

4x→0

2

2

1

2

1

2

г)  xlim→0(1+ x2)

= 1∞

(1+ x2)

= xlim→0

(1+ x2)

= e2;

x2

= xlim→0

x2

x2

1

(1

+ x)

2 −1

2x

1+ x −1

0

д)  lim

=

= lim

=

0

ln(1+2x)

x→0ln(1+2x)

x→0 2x

(1+ x)

1

= 1 lim

2 −1 lim

2x

= 1

1

1=

1.

x

2x→0

x→0ln(1+2x)

2 2

4

4. Вычислить а) lim

tg(x3 −x)

;

б) lim

ex−1

−1

;

x→0 arcsin4x

x→1(x−1)2

1

−

1

x

2

−2

в)  lim

; г)

lim arctg

;

x→

+

arctg7x

ln(1+3x)

x→1

x

0

1

ln(1+ x)

д)  lim (1+ x)arcsin x; е) lim

.

x→0

x→0arcsin2x

Решение: а) Так как x3 – x→ 0, при x→ 0, то имеем tg(x3 – x) x3 – x при x→ 0. Аналогично arcsin(4x) ~ 4x при x→ 0. Заменяя числитель и знаменатель дроби под знаком предела эквивалентными функциями, получим

	tg(x3	−x)		0			x3 −x		1	lim (x2 −1) =
lim				=		= lim		=
							4x
x→0 arcsin4x				0		x→0			4x→0
		=	1 lim x2 − 1 lim1= −						1	;
			4x→0			4x→1			4

13

б) Если x→ 1, то (х – 1)→ 0, значит, (ex–1 – 1) (x – 1) при x→ 1, от-

куда lim

ex−1

−1

=

0

=lim

x−1

= lim

1

= ∞;

0

x→1(x−1)2

x→1(x−1)2

x→1x−1

1

1

в) Имеем arctg 7x ~ 7x, ln(1+3x) ~ 3x

при x→

+

,

0 , то

arctg7x

7x

1

1

при

x→

0+.

Тогда,

1

−

1

1

−

1

=

arctg7x

ln(1+3x)

7x

3x

ln(1+

3x)

3x

= −

4

при x→ 0+.

21x

1

1

4

Поэтому,

lim

−

=[∞−∞]= lim

−

= −∞;

ln(1+3x)

x→0+

arctg7x

x→0+

21x

г)

lim arctg

x2 −2

= arctg12 −2 = arctg(−1) = −p;

x→1

x

1

4

1

1

lim (1+ x)

=

∞

ln(1+x)arcsin2x

=

д)

arcsin x

1

= lim e

x→0

x→0

ln(1+x)

lim

ln(1+x)

lim earcsin2x = ex→0arcsin2x.

x→0

Вычислим предел показателя степени, используя эквивалент-

ные замены: lim

ln(1+ x)

=

0

= lim

x

=

1

.

2x

2

x→0arcsin

0

x→02x

1

1

Таким образом, lim (1+ x)arcsin2x = e2 =

e

;

x→0

ln(1+ x)

0

x

1

е)

lim

=

= lim

=

.

2x

2

x→0arcsin2x

0

x→0

Доказать, что многочлен эквивалентен своему старшему члену

при x→∞, то есть Pn(x)=anxn+an–1xn–1+…+a1x+a0 anxn при x→∞.

Решение

lim anxn +an−1xn−1 +... +a1x+a0 =

x→∞ anxn

14

a xn

a

xn−1

a x

a

n

+

n−1

+... +

1

+

0

= lim

anx

n

n

anx

n

anx

n

= lim

+

an−1

anx

1

a xn

an

x→∞

x→∞

n

a xn

n

a

1

a

1

a

1

a

+

1

+

0

= lim 1

+

n−1

lim

+... +

1

lim

a

n−1

a

n

n

x

x

x→∞

a

x→∞ x

a

x→∞

n

n

n

a

1

n

+

0

lim

=1+0+... +0+0=1.

an

x

1x +... +

1 n−1 + x

Таким образом, a xn+a xn–1+…+ a x+a

a xn

при x→∞.

n

n–1

1

0

n

1. Найти вертикальные асимптоты кривой y =

1

.

x−2

Решение: Будем

искать

односторонние

пределы функции

y =

1

в точке х0=2, то есть в той точке, в которой эта функция

x−2

lim

1

= −∞, lim

1

= +∞, следовательно,

не определена. Имеем

−2

x→2− x

x→2+ x−2

х=2 – вертикальная асимптота кривой y =

1

.

x−

2

Как видно из рис. 3.1, график исходной функции неограниченно

приближается к вертикальной асимптоте х=2 при х→2.

2. Найти наклонные асимптоты кривой y=2x+arctgx.

Решение: Пусть x→+∞.

k= lim

2x+arctgx =2

lim 1+

lim

arctgx

=2 1+0=

x→+∞

x

x→+∞

x→+∞

x

p

=2 arctgx~

2

ïðè x→ +∞ ,

b = lim (2x+arctgx−2x) = lim

arctgx = p.

x→+∞

x→+∞

2

Тогда, прямая y = 2x + p

является наклонной асимптотой ис-

2

ходной кривой при x→+∞. При x→–∞.

k= lim 2x+arctgx

=2,b = lim (2x+arctgx−2x) =

x→−∞

x

x→−∞

= lim arctgx = −p.

x→−∞ 2

15

у					у
								y =2x−π/ 2
0	2	х			O			х
				y =2x+π/ 2
				y =2x+arctgx
Рис. 3.1					Рис. 3.2

Прямая y = 2x − 2p является наклонной асимптотой исходной кривой при x→ – ∞ (рис. 3.2).

1. Исследовать функцию f(x) = x2 −1 на непрерывность. x−1

Решение: Функция f(x) = x2 −1 определена и непрерывна во всх x−1

точках кроме х0=1, где она не определена, следовательно, х0=1 – точка разрыва.

	Имеем lim_	x2 −1		=lim_ (x+1) =2,	lim+	x2 −1		=lim+ (x+1) =2, от-
		x−1				x−1
	x→1			x→1	x→1			x→1

куда х0=1 – точка устранимого разрыва.

График рассматриваемой функции приведен на рис. 3.3. 2. Исследовать функцию f(x)=21/x на непрерывность.

у

у

y = f(x)

2
			1
0	1	х	0	х

Рис. 3.3 Рис. 3.4

16