Приближённое вычисление определённых интегралов

Рассмотрим задачу о приближённом нахождении значения определённого интеграла

Относительно подынтегральной функции f(x) мы будем предполагать, что она непрерывна на отрезке интегрирования, а также, когда это понадобится, что она имеет на этом отрезке производные до некоторого порядка. Вычислять значение интеграла мы будем по значениям функцииf(x) в некоторых точках отрезка x_i. Эти значения y_i=f(x_i.) мы будем предполагать известными, то есть предполагать, что у нас есть некоторый эффективный способ вычисления значений функции с любой требуемой точностью. Формулы, позволяющие по известным значениям y_i приближённо определить значение , называютсяквадратурными формулами.

Для наглядности мы будем прибегать к геометрической интерпретации смысла определённого интеграла, как площади некоторой криволинейной трапеции, в случае функции f(x). Следует, однако, иметь в виду, что квадратурные формулы, которые мы будем получать, имеют смысл для функций, принимающих значения произвольного знака.

При f(x)вычислить интегралзначит найти площадь под графикомy=f(x), расположенную над отрезком .. Естественной идеей является следующее построение: разобьём отрезок на части точками деленияx₁, x₂, … x_n-1 и положим x₀=a и x_n=b (см. определение значения определённого интеграла). Тогда разбиение отрезка .состоит из отрезковприi=1,2…n. Вместо площади под графиком, равной , будем приближённо находить суммарную площадь узких полосок, лежащих над отрезками разбиения(см. рис.1).

Рис.1.

Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников

Самый простой метод приближённого вычисления площадей узких полосок — заменить их площадями S_i прямоугольников, основанием которых служит отрезок на оси, а высотой — отрезок, задающий значение функции в одном из концов основания, то есть либо в точкеx_i-1, либо в точке x_i. Тогда в первом случае площадь Si равняется f(x_i-1)( x_i- x_i-1), а во втором

S_i= f(x_i)( x_i- x_i-1).

Суммируя по всем отрезкам разбиения, то есть по отдо, получаем в первом случаеквадратурную формулу левых прямоугольников:

а во втором случае квадратурную формулу левых прямоугольников:

Рис.2.

Из приведённого чертежа ясно, что ошибкии, которые возникают при замене точного значения интегралана его приближённое значениеI_l или I_r соответственно, обладают такими свойствами:

если функция f(x) возрастает на ., то, посколькуI>I_l;

если функция f(x) убывает на ., то, посколькуI<I_l;

если функция f(x) возрастает на ., то, посколькуI<I_r ;

если функция f(x) убывает на ., то, посколькуI>I_r.

Таким образом, в случае монотонной функции f ошибки иимеют разные знаки. Возникает желание взаимно скомпенсировать эти ошибки (хотя бы частично), взяв полусумму чиселI_l и I_r за приближённое значение интеграла. Получаем при этом такую квадратурную формулу:

Как мы впоследствии увидим, полученная квадратурная формула в точности совпадает с формулой трапеций. Она часто применяется на практике для вычисления интеграла благодаря своей простоте. Сами же формулы для I_l и I_r , из которых она возникла, на практике применяются чрезвычайно редко ввиду своей малой точности: ошибки ислишком значительны даже при достаточно мелких разбиениях. Большую точность обеспечивает следующий метод, применение которого ничуть не сложнее.