- •Методическое пособие
- •Введение
- •Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование
- •Метод введения новой переменной
- •Метод интегрирования по частям.
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и экономический смысл
- •Свойства определенного интеграла
- •Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление определенных интегралов
- •Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление длины дуги
- •Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Вычисление объемов тел вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
- •Использование понятия определенного интеграла в экономике
- •Приближённое вычисление определённых интегралов
- •Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников
- •Квадратурная формула центральных прямоугольников
- •Квадратурная формула трапеций
- •Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников
- •Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)
- •Квадратурные формулы более высокого порядка точности
- •Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Найти
- •Набор заданий для выполнения расчетно-графической работы
- •Теоретические упражнения
- •Расчетные задания
- •Формулы. Справочный материал. Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Несобственные интегралы
- •Литература
Формулы. Справочный материал. Неопределенный интеграл
Первообразная
(1) F(x) называется первообразной для f(x) на заданном промежутке, если и
Неопределенный интеграл
(2) С – произвольная постоянная
Свойства неопределенного интеграла
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
Таблица интегралов
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
(31)
(32)
Метод интегрирования с помощью замены переменной
(33) Метод подведения под знак дифференциала:
(34)
(35)
Метод интегрирования по частям
(36)
(37)
Интегрирование рациональных дробей
(38)
- многочлены.
Сводится к сумме интегралов от простейших рациональных дробей методом неопределенных коэффициентов
Интегрирование простейших рациональных дробей
(39) Простейшая дробь 1-го типа:
(40) Простейшая дробь 2-го типа:
(41) Простейшая дробь 3-го типа:
(42) Простейшая дробь 4-го типа:
(43)
(44)
Интегралы от некоторых рациональных дробей
(45)
(46)
(47)
(48)
(49)
(50)
(51)
(52)
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
(59)
(60)
(61)
(62)
(63)
(64)
Интегралы от некоторых иррациональных функций
(65)
(66)
(67)
(68)
(69)
(70)
(71)
(72)
Интегралы от некоторых показательных и логарифмических функции
(73)
(74)
(75)
(76)
(77)
(78)
(79)
(80) ;
(81)
(82)
Интеграл от некоторых тригонометрических функций
(83)
(84)
(85)
(86)
(87)
(88)
(89)
(90)
(91)
(92)
(93)
(94)
(95)
(96)
(97)
(98)
(99)
(100)
(101)
(102)
Определенный интеграл
Связь определенного и неопределенного интеграла
Если непрерывна на отрезке, то функция
- одна из первообразных для , то есть
(2) - произвольная постоянная
Формула Ньютона-Лейбница
(3)
Свойства определенного интеграла
(4)
(5)
(6)
(7) (аддитивность)
(8) - постоянная
(9)
(10) Если - четная, то
(11) Если - нечетная, то
Оценки значения определенного интеграла (a<b)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16) Если непрерывна на отрезке , то
(теорема о среднем)
Метод интегрирования с помощью замены переменной
(17)
(18)
Метод интегрирования по частям
(19)
(20)
Вычисление площадей, длин дуг и объемов с помощью определенного интеграла
(21) Вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной функции ,и прямыми
(22) Вычисление площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции, заданной в параметрической форме
(23) Вычисление площади криволинейного сектора, ограниченного графиком непрерывной функции и лучами(в полярных координатах):
(24) Вычисление длины дуги кривой, заданной непрерывной функцией , имеющей непрерывную производную,:
(25) Вычисление длины дуги кривой, заданной функцией в параметрической форме
(26) Вычисление длины дуги кривой, заданной функцией , имеющей непрерывную производную в области определения
(27) Вычисление объема тела вращения, образованного криволинейной трапецией, ограниченной графиком непрерывной неотрицательной функции и прямымипри вращении вокруг оси ОХ:
(28) Вычисление объема тела через площадь поперечного сечения , перпендикулярного оси ОХ:
(29) Вычисление площади поверхности тела вращения, образованного графиком непрерывной, имеющей непрерывную производную, неотрицательной функции при вращении вокруг оси ОХ в области определения:
(30) Вычисление площади поверхности тела вращения, образованного графиком функции, заданной в параметрической форме
(31) вычисление площади поверхности тела вращения, образованного графиком непрерывной, имеющей непрерывную производную, функции в области определения, при вращении вокруг оси ОХ: