- •Методическое пособие
- •Введение
- •Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование
- •Метод введения новой переменной
- •Метод интегрирования по частям.
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и экономический смысл
- •Свойства определенного интеграла
- •Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление определенных интегралов
- •Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление длины дуги
- •Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Вычисление объемов тел вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
- •Использование понятия определенного интеграла в экономике
- •Приближённое вычисление определённых интегралов
- •Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников
- •Квадратурная формула центральных прямоугольников
- •Квадратурная формула трапеций
- •Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников
- •Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)
- •Квадратурные формулы более высокого порядка точности
- •Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Найти
- •Набор заданий для выполнения расчетно-графической работы
- •Теоретические упражнения
- •Расчетные задания
- •Формулы. Справочный материал. Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Несобственные интегралы
- •Литература
Задания для самостоятельного решения
Вычислить интеграл по формуле Ньютона — Лейбница и по приближенным формулам прямоугольников, трапеций и Симпсона, разбивая интервал на 8 (для вариантов 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30) и 10 (для вариантов 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29) равных частей. Оценить в процентах погрешность результатов, полученных по приближенным формулам.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
Тест 1
При каких а и b функция является первообразной для
При каких целых а, b, c функция является первообразной для функции
При каких целых а, b, c функции иявляется первообразными для одной и той же функции f(x)?
Найти
Ответ: где а,b, d – целые числа: а = …, b = …, d = … .
Найти
Ответ: где а,b, d – целые числа: а = …, b = …, d = … .
Найти
Ответ: где а,b, d – целые числа, дробь несократима,а = …,b = …, d = … .
Найти
Ответ: где а,b, d – целые числа, дробь а/b - несократима, а = …,b = …, d = … .
Найти
Ответ: где а,b, d – целые числа: а = …, b = …, d = … .
9. Найти
Ответ: где а,b, d – целые числа, а = …,b = …, d = … .
10. Найти
Ответ: где а,b, d – целые числа, а = …,b = …, d = … .
Тест 2
1. Найти максимальное значение интегральной суммы функции у = на отрезке [0, 1],если число отрезков разбиения равно 4.
Ответ: a/b, где a = … , b = … (a и b – положительные целые числа, дробь a/b – несократима).
2. При каких целых значениях параметров a и b справедливо равенство ?
3. Найти такие целые значения a и b, при которых справедливо равенство: .
4. Вычислить определённый интеграл .
Ответ: , где а = … ,b = …(a и b – целые числа).
5. При каком значении параметра а интеграл dx равен площади S фигуры, ограниченной линиями .Найти эту площадь S.
Ответ: а = … , S = 9 – ln b, где b = … (a и b - целые числа).
6. Найти длину дуги кривой на отрезке [1,4].
Ответ: a/b, где a = … , b = … (a и b – положительные целые числа, дробь a/b – несократима).
7. Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс плоской фигуры, ограниченной линиями .
Ответ: аπ/3, где а = ….
8. При каком минимальном значении n формула трапеций обеспечивает вычисление определенного нтеграла с точностью до 0,001 ?
9. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой и ее горизонтальной асимптотой на промежутке [0; +∞).
10. Вычислить определенный интеграл ,если он сходится.
Тест 3
I Интегрирование по частям
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
II Иррациональные функции
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
III Универсальная подстановка
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
IV Дифференциальный бином
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
11. |
|
12. |
|
13. |
|
14. |
|
15. |
|
16. |
|
17. |
|
18. |
|
19. |
|
20. |
|
21. |
|
22. |
|
23. |
|
24. |
|
25. |
|
26. |
|
27. |
|
28. |
|
29. |
|
30. |
|
V. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (в декартовой системе координат)
|
|
|
|
y=4-x2, y=0 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
4/3 | |
|
| |
|
64/3 | |
|
|
4/3 |
|
|
2/3 |
|
| |
|
|
1 |
|
|
9 |
|
17) |
|
|
|
|
|
|
8/3 |
|
|
e-1 |
|
|
|
|
8/3 | |
|
|
e-1 |
|
|
|
|
|
3e-3 |
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
2(e-1) |
VI Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями (в полярной системе координат)
|
| |
|
| |
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
| ||
|