- •Методическое пособие
- •Введение
- •Понятие неопределенного интеграла, его свойства. Таблица интегралов. Непосредственное интегрирование
- •Метод введения новой переменной
- •Метод интегрирования по частям.
- •Интегрирование рациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование иррациональных функций
- •Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Геометрический и экономический смысл
- •Свойства определенного интеграла
- •Интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Формула Ньютона-Лейбница
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Вычисление определенных интегралов
- •Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования
- •Несобственные интегралы от неограниченных функций
- •Приложения определенного интеграла Геометрические приложения определенного интеграла Вычисление площадей плоских фигур
- •Вычисление длины дуги
- •Нахождение объёма тела по площадям поперечных сечений
- •Вычисление объемов тел вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Приложения определенного интеграла к решению некоторых задач механики и физики
- •Использование понятия определенного интеграла в экономике
- •Приближённое вычисление определённых интегралов
- •Квадратурные формулы левых и правых прямоугольников
- •Квадратурная формула центральных прямоугольников
- •Квадратурная формула трапеций
- •Оценки ошибок формул трапеций и центральных прямоугольников
- •Квадратурная формула Симпсона (формула парабол)
- •Квадратурные формулы более высокого порядка точности
- •Практическая оценка погрешности при применении квадратурных формул
- •Задания для самостоятельного решения
- •9. Найти
- •Набор заданий для выполнения расчетно-графической работы
- •Теоретические упражнения
- •Расчетные задания
- •Формулы. Справочный материал. Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •Несобственные интегралы
- •Литература
Интегрирование тригонометрических функций
Рассмотрим некоторые типы интегралов от тригонометрических функций.
где m,n –постоянные числа.
Здесь применяются формулы:
Примеры.
1.
2.
=
Найти интегралы.
59. 60.61.
2. гдеm,n – любые целые показатели.
Пусть один из показателей – нечетное положительное число, например:
n = 2k+1. Положим sinx=t, тогда cosxdx=dt и
Аналогично, если m=2k+1 (т.е. нечетное), t = cosx и т. д.
Примеры.
1.
Положим sinx = t, тогда cosxdx = dt; получим:
2.
Рекомендация. Если в нечетной степени функция sinx, то обозначать новой переменной следует cosx, а если в нечетной степени cosx, то заменять на sinx.
Если под знаком интеграла стоит произведение четных степеней синуса и косинуса, то, пользуясь формулами:
понижают степени синуса и косинуса и затем интегрируют.
Пример.
=
=
В случае четных степеней часто бывает удобно заменить tg x = t, либо
ctg x = t.
Примеры.
1.
2.
Найти интегралы:
62.
63.
64.
65.
66.
(В №65 помножить числитель и знаменатель на sin x).
Интегралы вида гдеR – рациональная функция, сводятся к интегралам от рациональных функций с помощью, так называемой универсальной подстановки:
При этом
Что следует из известных тригонометрических формул:
и .
Пример.
.
Найти интегралы:
67. . 68.. 69..
IV. Интегралы вида можно вычислить, используя подстановку; при этом,.
Пример
.
Найти интегралы:
70. , 71..
Заметим, что во многих случаях интеграл от тригонометрической функции может быть вычислен в результате применения подходящих преобразований тригонометрических выражений.
Примеры
1. , где<x<.
Преобразуем подкоренное выражение, используя формулы
, :
.
(Воспользовались тем, что при 0<x< ).
2.
.
Найти интегралы:
72. .
73. .
74. .
75. .
76*. .
77*. .
78*. .
Рассмотренные примеры позволяют сделать вывод: при интегрировании необходимы изобретательность и навыки, приобретаемые практикой решения большого числа примеров.
Вопросы и задания для самопроверки
Получите формулы: XVI. .
XVII. .
Можно ли в случае, когда подстановка cosx=t (или tgx=t) приводит к интегралу от рациональной функции, использовать вместо этих замен подстановку ?
3*. Докажите, что одна из преобразованных четной функции есть функция нечетная, а всякая преобразованная нечетная функция есть функция четная. Приведите примеры.
Интегрирование иррациональных функций
Интегрирование алгебраических и трансцендентных иррациональных функций в некоторых известных случаях сводится к интегрированию рациональных дробей.
I. Интеграл вида dx, где R – рациональная функция, ,,… — рациональные числа, сводится к интегралу от рациональной функции с помощью подстановки, гдеk-общий знаменатель дробей
Пример
=
Найти интегралы.
82. 83.
К интегралам от функций, рационально зависящим от тригонометрических функций, сводятся интегралы:
III. — подстановкой
IV*. — подстановкой
V*. — подстановкой
Примеры.
1.
=
При решении выполнили преобразования: при
2.
=
В решении использовано: при.
-1=
Пусть u = 0; тогда -1 = - B, B = 1.
u = -1; тогда - 1 = 2D, D = -1/2.
u = -1; тогда -1 = -2С, С = 1/2.
Приравняем коэффициенты при отсюдаА = 0.
= —
= -
Найти интегралы:
84. 85*.
VI. Интегралы вида можно вычислить подстановкойПри этом
Пример.
Найти интегралы:
86. . 87..
Замечание. Не всякая элементарная функция имеет интеграл, выраженный через элементарные функции.
Примеры
, ,,,,,,,,.
Вышеприведенные интегралы не выражаются суммой конечного числа элементарных функций и называются «не берущимися» интегралами.
Вопросы и задания для самоконтроля
Какие замены переменных можно сделать для нахождения следующих интегралов:
а) б)*в)*г)?
Можно ли вычислить в элементарных функциях следующие интегралы:
а) б)
Ответы.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
56.
57.
58.
59.
60.
61.
62.
63.
64.
65.
66.
67.
68.
69.
70.
71.
72.
73.
74.
75.
76.
77.
78.
79.
80.
81.
82.
83.
84.
85.
86.