Квадратурная формула центральных прямоугольников

Снова рассмотрим отрезки разбиения , гдеi=1,2…n. и x₀=a и x_n=b , выберем в качестве точек разметки середины каждого из этих отрезков, то есть точки

(Мы будем эти середины обозначатьx_i-1/2.) Возьмём за приближённое значение интеграла интегральную сумму, построенную по такому размеченному разбиению. Каждое слагаемое в этой сумме, равное

выражает площадь прямоугольника с основанием ,и высотой, равной значению функции в середине этого отрезка (см. рис.3):

Рис.3.

Получим тогда квадратурную формулу:

называемую формулой центральных прямоугольников.

Если взять все отрезки разбиения равной длины , то эта квадратурная формула принимает вид

Заметим, что в этом случае

Для выяснения характера ошибки , возникающей при замененаI_R, заметим, что если функция f(x) дифференцируема, то прямоугольник площади Sравновелик трапеции, верхней стороной которой служит касательная к графику y= f(x), проведённая при (см. рис.4):

Рис.4.

Действительно, заштрихованные на рисунке треугольники равны, отчего равны площади прямоугольника и трапеции.

Отсюда следует, что если функция f(x) имеет вторую производную, то при график является выпуклым кверху иI_R>I (так как из чертежа видно, что площадь трапеции, равная S_i, больше площади под графиком функции, а при график является выпуклым книзу и I_R<I. Значит, при на .получаем, а при—.

Квадратурная формула трапеций

Пусть снова взято разбиение отрезка .на части, где i=1,2…n. Приближённо заменим площадь под графиком y=f(x), лежащую над промежутком разбиения, на площадь трапеции, параллельными основаниями которой служат отрезки, задающие значения функции в концах промежутка, то есть f(xi-1)и f(xi) (см. рис.5).

Рис.5.

Тогда площадь такой трапеции равна, очевидно,

Суммируя все площади S_i, получаем квадратурную формулу трапеций:

Это та же формула, что была получена при комбинировании формул левых и правых прямоугольников, в которой мы обозначали правую часть через I_rl.

Заметим, что при подсчёте площади каждой очередной трапеции S_i достаточно вычислить значение функции f лишь в одной новой точке — в правом конце x_i очередного промежутка , поскольку точкаx_i-1 была правым концом предыдущего отрезка и значение в этой точке уже было вычислено при нахождении площади предыдущей трапеции.

Если все отрезки разбиения выбираются одинаковой длины , то формула трапеций приобретает вид

Все значения функции f(x_i), кроме f(x₀)=f(a) иf(x_n)=f(b), встречаются в этой формуле по два раза. Поэтому, объединяя равные слагаемые, мы можем записать формулу трапеций в виде

где x_i=a+ih , i=1,…,n-1.

Пусть функция f(x) имеет вторую производную f^//(x), сохраняющую знак на интервале (a;b). Как легко видно из предыдущего рисунка, характер ошибки этой квадратурной формулы таков: еслиf^//(x)<0, то есть если график y=f(x) является выпуклым кверху, то I>I_T, значит, ; если жеf^//(x)>0 и график имеет выпуклость книзу, то I<I_T и .

Если сравнить это с изученными выше значениями ошибки формулы центральных прямоугольников, то мы видим, что для функций, вторая производная которых сохраняет знак на отрезке интегрирования, знаки ошибокипротивоположны. Возникает желание соединить формулу трапеций и формулу центральных прямоугольников так, чтобы эти ошибки по возможности скомпенсировались. Для того, чтобы понять, какую комбинацию формул следует брать, нам нужно выяснить, какую величину имеют эти ошибкиив зависимости от выборашага. Эти оценкиошибок имеют и самостоятельное значение, поскольку позволяют узнать точность полученного при применении соответствующей квадратурной формулы приближённого значения интеграла.