Вычисление определенных интегралов

При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.

Теорема 3. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезкеи функцияf(x) непрерывна в каждой точке х вида , где.

Тогда справедливо следующее равенство

= . (11)

Формула (11) носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Использование замены переменной позволяет упростить интеграл, приблизив его к табличному. При этом нет необходимости возвращаться к исходной переменной интегрирования. Достаточно лишь найти пределы интегрирования ипо новой переменнойt как решение относительно переменной t уравнений и. Часто вместо подстановкиприменяют подстановкуt=(x). В этом случае нахождение пределов интегрирования по переменной t упрощается: .

Пример. Вычислить .

Положим . Тогдаи. Еслих=0, то , и еслих=1, то . Следовательно,

= = -=

= -= -.

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Теорема 4. Пусть функции u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b]. Тогда

, (12)

где .

Формула (12) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Пример. Вычислить .

Пусть u=ln x, dv=(x+1)dx.

Тогда .

По формуле (12) имеем

Несобственные интегралы Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования

Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на произвольном отрезке [ a, t], т.е. функция определена для произвольного

Несобственным интегралом от функцииf(x) на полуинтервале называется предел функцииФ(t) при t, стремящемся к, т.е.

(13)

Если предел, стоящий в правой части равенства (13), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся (к данному пределу), в противном случае – расходящимся.

Пример. Вычислить .

По определению . Для нахождения интеграла, стоящего под знаком предела, воспользуемся формулой Ньютона-Лейбница:

.

Тогда

=,

т.е. искомый несобственный интеграл сходится к 1.

По аналогии с (13) определяется несобственный интеграл на полуинтервале :

(14)

Определение сходимости интеграла аналогично приведенному выше.

Введем понятие несобственного интеграла на интервале . Пусть для некоторого числаа несобственные интегралы исходятся. Тогда положим, что

=+, (15)

при этом интеграл называетсясходящимся. Если хотя бы один из интегралов, входящих в правую часть равенства (15), расходится, то несобственный интеграл называетсярасходящимся.

Пример. Вычислить .

Исследуем на сходимость интегралы и.

,

т.е. первый из интегралов сходится к 1. Но

,

т.е. расходится и, следовательно, расходится несобственный интеграл.

В курсе теории вероятностей встречается несобственный интеграл , называемыйинтегралом Эйлера-Пуассона.

Доказано, что =.

Несобственные интегралы от неограниченных функций

Пусть функция y=f(x) непрерывна, но не ограниченна на полуинтервале .

Несобственным интегралом от функцииy=f(x) на полуинтервале называется предел, где, т.е.

. (16)

Если предел, стоящий в правой части равенства (16), существует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся, в противном случае — расходящимся.

Аналогично вводится понятие несобственного интеграла от функции y=f(x) непрерывной, но неограниченной на .

Если функция y=f(x) не ограничена при х=с, где , то интегралтакже называется несобственным. В этом случае интеграл

=+

считается сходящимся, если сходятся два несобственных интеграла в правой части равенства. В противном случае называетсярасходящимся. Например, +является расходящимся, так как расходятся оба несобственных интеграла в правой части равенства.