Метод введения новой переменной

Существуют два основных метода интегрирования: подстановка и «по частям».

Введение новой переменной в неопределенном интеграле производится двумя способами:

1. если , где- дифференцируемая функция, то

2. если где- монотонная, дифференцируемая функция новой переменнойt, то .

Примеры.

1.

Полагаем, находимполучим:

2.

Полагаем, отсюда

Следовательно,

Найти интегралы:

23.

24.

25.

26.

27.

Если подынтегральное выражение можно представить в виде дроби, в числителе которой стоит дифференциал знаменателя, т.е. дроби вида: то интеграл можно вычислить по формуле:

Примеры.

1.

Найдем дифференциал знаменателя: ; сравним полученный результат с числителем. Очевидно, что числитель надо помножить на 2; чтобы дробь не изменилась, помножим на 2 и знаменатель, получим:

2.

Найдем В числителе стоит дифференциал знаменателя, поэтому получим:

Рекомендация. Если подынтегральная функция – дробь, то надо проверить, не является ли числитель дифференциалом знаменателя.

Найти интегралы:

28. ,

29. ,

30. ,

31. ,

32. ,

33. ,

34. ,

35. .

В заданиях 31-35 после выполнения соответствующей замены в знаменателе появляется выражение вида , содержащее полный квадрат. Это делает возможным применение одной из формулVIII, IX, XII, XIII.

В случае, если знаменатель содержит квадратный трехчлен общего вида следует сначала выделить полный квадрат. Напомним, как это делается.

,

.

Примеры

1.

Выделим из квадратного трехчлена полный квадрат:

Полагая получим:

(Применили табличный интеграл IX).

2.

Так как подынтегральное выражение – дробь, то проверим, не является ли числитель дифференциалом знаменателя. Найдем

Чтобы выделить это выражение в числителе, выполним следующие преобразования:

Заметим, что первый интеграл – табличный (III); для второго преобразуем знаменатель:

;

затем, полагая , найдемdx=dt и подставим в интеграл:

.

(Применяя табличный интеграл XII).

3. .

Преобразуем подкоренное выражение:

и, полагая х+3=u, dx=du, получим:

.

(Применена формула XIII).

4.

Преобразуем подкоренное выражение:

Найти интегралы:

36.

37.

38.

39.

40.

Вопросы и задания для самоконтроля.

1. Докажите формулы: XIV.

XV.

2. В чем отличие формул VIII и XIII таблицы интегралов?

3. Проведите вычисление интегралов в общем виде:

4. Объясните, почему в методе подстановки требуют, чтобы функция

была монотонной и дифференцируемой?

5. Найдите интегралы (если нет затруднений, можно устно):

Метод интегрирования по частям.

Пусть u и v – две дифференцируемые функции от х. Тогда дифференциал произведения

Интегрируя, получим или

В применении этой формулы и состоит метод интегрирования по частям.

Примеры.

1.

Положим ТогдаДифференцируя первое равенство и интегрируя второе имеем:Пользуясь формулой интегрирования по частям, получим:

Оформлять эту запись будем так:

2.

3.

Обратите внимание, что метод интегрирования по частям можно применять несколько раз; при этом важно контролировать, чтобы подынтегральное выражение упрощалось или приводилось к исходному интегралу.

Продолжим решение примера 3. Для второго слагаемого запишем:

Отсюда

4.

Для второго интеграла еще раз запишем формулу интегрирования по частям:

Мы пришли к исходному интегралу. Обозначив его через J, получим равенство:

откуда

Рекомендация. За u выбирается функция, которая при дифференцировании упрощается, а за dv – оставшееся выражение, содержащее dx, которое легко интегрируется. Отметим, что, выбрав u, мы получим dv автоматически. Если под знаком интеграла стоит произведение логарифмической или обратной тригонометрической функции на алгебраическую, то за u следует принимать функции: arcsin kx, arccos kx, arctg kx, arcctg kx, ln kx (пример 2). Если же под знаком интеграла стоит произведение тригонометрической или показательной функции на алгебраическую, то за u удобно принять алгебраическую функцию.

Если под знаком интеграла стоит произведение sinx или cosx на показательную функцию (пример 4) или тригонометрическая функция от логарифма, то, несколько раз применяя формулу интегрирования по частям, можно получить уравнение относительно искомого интеграла. Такие интегралы называют возвратными.

Найти интегралы.

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

Вопросы и задания для самоконтроля.

1. Докажите, что в методе интегрирования по частям при нахождении функции мы можем брать любую произвольную константу С, в том числе нуль (в примере 1v = sinx+C, где С=0, в примере 2 v = - cosx+C, где С=0 и т.д.); для этого в формулу интегрирования по частям подставьте вместо v выражение v+C.

2. Какие из приведенных ниже интегралов удобно находить методом интегрирования по частям?

а) б)в)г)

д) е)

2. Сформулируйте, в чем состоит метод решения так называемых «возвратных» интегралов?

3. Что следует выбрать в качестве u при нахождении интегралов:

Объясните свой выбор.

Сколько раз придется интегрировать по частям последний из приведенных интегралов?