physics_mif

Индуцированный ток имеет такое направление, что его собственное магнитное поле компенсирует изменение потока магнитной индукции, вызывающее этот ток.

Учитывая правило Ленца, и то, что из закона Фарадея определяется единица измерения магнитного потока (поэтому коэффициент пропорциональности можно принять k=1), для окончательного вида закона Фарадея-Ленца

имеем: ε ═ – dФ .

i

dt

Знак минус, математически выражая правило Ленца, показывает, что если поток увеличивается (dФ>0), то εi<0 и поле индуцированного тока на-

правлено навстречу потоку; если же поток уменьшается (dФ<0), то εi>0 и направление родительского поля и поля индуцированного тока совпадают.

Правило Ленца позволяет нам определить направление индуцированного тока. Для этого надо:

а) определить направление магнитного потока через контур (направление силовых линий В магнитного поля),

б) определить как меняется магнитный поток (увеличивается или уменьшается dФ/dt),

в) используя правило Ленца, определить направление силовых линий Bi индуцированного магнитного поля,

г) зная направление силовых линий индуцированного магнитного поля, определить направление индуцированного тока Ii, создавшего это поле (обычно по правилу правой руки).

Как уже отмечалось, из закона Фарадея-Ленца можно по другому определить единицу измерения магнитного потока вебер (Вб). 1 вебер это такой поток магнитной индукции сквозь площадь, ограниченную контуром, при убывании которого до нуля, за 1 с, в контуре индуцируется электродвижущая сила, равная 1 В.

1В =	1Вб	.	. 2	Н × м
	1с	или 1 Вб =1 В с =1	Тл м = 1
				А

Следует отметить, что:

∙а) Индуцированный ток (индуцированная ЭДС) в контуре появляется всегда, независимо от способа изменения магнитного потока; это может быть и магнитный поток переменного тока, и изменение площади контура, и т. п..

∙б) Для индуцирования ЭДС переменным потоком магнитного поля присутствие замкнутого проводящего контура необязательно. Индуцированная ЭДС всегда образуется в областях пространства, где происходить изменение потока магнитного поля: проводящий контур играет лишь роль индикатора.

Если говорить о природе εi, то в случаях движения контура в магнитном поле ЭДС индукции обусловлена действием лоренцевой силы на заряды, находящиеся в контуре и движущиеся вместе с ним. (Сила Лоренца – сила, дей-

141

ствующая на движущуюся заряженную частицу со стороны магнитного поля.)

В случае же неподвижного контура, находящегося в переменном (не-

стационарном) магнитном поле, возникновение εi связанна с вихревыми электрическими полями, о существование которых впервые высказал Д. К. Максвелл (1864г.). Он объяснил это тем, что переменное магнитное поле

создает в пространстве переменное электрическое поле и линии напряженности магнитного поля концентрически охвачены линиями напряженности электрического поля. Вихревые электрические поля, в отличие от электростатических полей, создаваемые неподвижными, постоянными электрическими зарядами, не потенциальны.

Напомним, что электростатические поля, создаваемые неподвижными, постоянными электрическими зарядами, потенциальны (не вихревыми). Силовые линии этих полей незамкнуты – они начинаются от положительных зарядов и кончаются на отрицательных зарядах.

В этих полях работа по замкнутым траекториям равняется нулю. Вихревые электрические поля имеют замкнутые силовые линии и си-

лы этого поля разделяют заряды в проводящем контуре, создавая в нем εi : для них

Индуцированные токи возникают и в массивных сплошных проводниках, пронизываемых изменяющимся магнитным полем (токи Фуко). Они могут быть и полезными (например, для плавки металлов), и нежелательными или вредными (по этому в трансформаторах и других электроприборах сердечники делают из изолированных пластин или из феррита, у которых электрическое сопротивление очень большое и, следовательно, вихревые токи малы).

142

§3.8. Закон Ома для полной цепи

(из Лаврова И.В., Курс физики,1981,стр.90)

Сила Ампера Если за время

ε

I

FA=IBℓ

dt перемычка перемещается на dx, то сила Ампера совер-

	шает работу IBℓdx.
B	За это время источник

расходует энергию εIdt на выделение джоулева тепла I2Rdt и перемещение перемычки.

(R – сопротивление контуры). По закону сохранения

	энергии εIdt=I2Rdt+IBℓdx.
	Считая	I=const	и
dx	Bℓdx=dФ - изменение магнит-
	ного потока, получаем

ε + −

dФ

dt

			dФ
	ε +	−
I =			dt		закон ОМА для полной цепи.
		R

алгебраическая сумма ЭДС источника ε и ЭДС индукции ε

- i.

Т.е. εi = − dФ (закон Фарадея-Ленца). dt

§3.9. Индуктивность, самоиндукция, взаимная индукция

Ф– Магнитный поток, связанный с контуром, пропорционален силе тока I в этом контуре:

Ф~ I

Ф= L.I, где L-коэффициент пропорциональности (индуктивность контура) и зависит от формы контура, его размеров и µ среды.

При изменении силы тока в контуре будет изменятся также и сцепленный с ним магнитный поток; следовательно по закону Фарадея-Ленца, в контуре будет индуцироваться ЭДС. Возникновение ЭДС индукции в проводящем контуре при изменении в нем силы тока называется самоиндукцией.

Если за dt ток изменился на dI, то изменение магнитного потока dФ=LdI

или иначе, дифференцируя: dФ = L dI

dt dt

Но по закону Фарадея электромагнитная индукция ε = − dФ .

dt

Отсюда и определение, и единица измерения для индуктивности.

Индуктивность L определяет значения ЭДС самоиндукции, которая возникает в контуре при изменении силы тока в нем со скоростью 1A/c.

[L] =	[ε ] ×[t]	,	[L] → генри (Гн), 1 Гн = 1	В × с	= 1	Вб	, (1Вб=1Тл·1м2).
				А		А
	[I ]

143

1 Гн индуктивность такого контура, магнитный поток самоиндукции которого при токе 1 А равен 1 Вб.

Если контур имеет большую индуктивность L, то сила тока в нем не может быстро нарастать или убывать, это так называемые экстратоки замы-

кания или размыкания.

Индуктивность L соленоида длиной ℓ, состоящей из n витков, с площадью S, имеющий сердечник с магнитной проницаемостью µ, то магнитный

поток,	пронизывающий все витки соленоида (магнитосцепления)
	n	BSn=µ0µHSn=LI
		Но из примера соленоида: H =		In		B		Bℓ
					, H =		, I =
				ℓ		μ0 μ		μ0μ × n
S		V=Sℓ
		L=BSn/I=µ0µSn2/ℓ=µ0µN2V.
	ℓ	Где N=n/ℓ число витков на единицу длины соленоида
		V=ℓS −	объем соленоида.

Явление возбуждения ЭДС в одном контуре при изменениях силы тока в другом называется взаимной индукцией; коэффициенты пропорциональности, обозначенные L12 или L21 или M, называют взаимной индуктивностью контура.

Естественно L12=L21.

Трансформаторы

В каждом витке индуцируется

ε0 электродвижущая сила.

ε1=n1 ε0, ε2=n2 ε0, ε1/ε2=n1 /n2.

U1 ε1

n1

n2

ε2

U2

Практически

ε1=U1

-напряжению

питающему

трансформатор.

ε2=U2

-напряжению

на концах

вторичной обмотки.

КПД ≈98%, поэтому мощность в обмотках I1U1 ≈I2U2.

Коэффициент трансформации K =

U1

»

I2

»

n1

U2

I1

n2

При K>1, трансформатор понижающий; при K<1 −

повышающий.

Иногда коэффициентом трансформации обозначают

ε 2

U2

I1

n2

k = ε

»

»

»

.

1

U

1

I

2

n

1

U1

Автотрансформаторы –

у которых одна обмотка яв-

ляется частью другой.

U2

144

§3.10. Энергия магнитного поля

Магнитное поле, подобно электрическому, является носителем энергии. Естественно предположить, что энергия магнитного поля равна работе, которая затачивается током на создание этого поля.

При размыкании цепи с индуктивностью L, возникает ЭДС самоиндукции ε, которая поддерживает ток в цепи.

За время dt этот ток совершает работу dA=εIdt= − dФ Idt =− IdФ.

					dt
	L	Но dФ=LdI, поэтому dA=− LIdI.
		Полная работа до исчезновения магнитного поля и изме-
				0		2
		нения силы тока от I		до 0: A = −∫ LIdI = LI		.
	R			I	2
		Следовательно энергия магнитного поля:
		W =	LI 2		2
				(вспомним L=µ µN V, H=In/ℓ).
		M	2		0

WM =

μ0 μH 2

V

2

μ

μH 2

Плотность энергии магнитного поля ωM =

W

=

=

B2

(B=µ0µH).

M

0

V

2

2μ0

μ

Полная энергия магнитного поля в данном объеме

WM =

∫

ωM dV =

∫

μ0μH 2

=

∫

B2

dV

dV

2

2μ μ

V

V

V

0

Вспомним, что из поля конденсатора вычисляли энергию и плотность энергии электростатического поля:

ε εE 2

ω

W

ε

εE 2

D2

W =

0

V ,

=

эл

=

o

=

эл

2ε0ε

эл

2

V

2

145

Гл.4 ПЕРЕМЕННЫЙ ТОК

Переменный ток – это ток, периодически изменяющийся по величине и по направлению. Наиболее распространенным является синусоидальный переменный ток, мгновенные значения напряжения U или I силы тока I меня-

ются по закону sin или cos (гармонические колебания).

U(t)=Um·sinωt; I(t)=Im·sinωt, где ω=2πν -круговая частота переменного тока Эффективные или действующие значения напряжения или силы тока:

U =

U

m

»

Um

» 0,71×U

m

, I

эфф

=

I

m

»

Im

» 0,71× I

m

эфф

1,41

2

1,41

2

Дрейф электронов в проводнике при частоте 50Гц, и средней скорости движения υ ≈0,1см/с, составляет ≈0,001см. Для ионов в электролите их дрейф еще меньше. При высокой частоте (сотни КГц) раздражающее действие переменного тока на организм незначительно, хотя тепловой эффект сохраняется.

Цепь переменного тока с активным сопротивлением

		A	U,I	U
				I
~	V	R	0	t

IR UR

IR=UR/R

На векторной диаграмме направление IR и UR совпадают; сдвиг фаз между ними равен нулю.

Цепь переменного тока с индуктивностью

U,I

UL

A

UL

L

εL

IL

t

IL

ε

~

V

0

R→0

C→0

Начальный момент UL=0

Из определения индуктивности в цепи появляется ЭДС εL= - L

dI

dt

И так как R=0, падение напряжения на катушке U=IR=0, тогда можно счи-

тать, что прилагаемое напряжение ε уравновешивается εL.

146

Тогда U(t ) - L

dI

=0, Um·sinωt - L

dI

=0 →

dI

=

U m

sin ωt

→dI =

Um

sin ωt × dt

dt

dt

dt L

L

→ I = -

Um

cosωt = -Im

× cosωt = Im× sin(ωt - π ) ,

ωL

2

где Im

=

Um

(постоянная интегрирования С=0).

ωL

ωL=2πνL=XL − Индуктивное сопротивление

Если [L]→генри, [ν]→герц, то [XL]→Ом.

Если в начальный момент U(t)=Um·sinωt=0, то I = Im× sin(ωt - π ) ,

2

Т.е. ULпо фазе на π/2 опережает ток IL, текущий через катушку.

Цепь переменного тока с емкостью

A

U,I

UC

IC

IC

C

t

ε

~

V

0

R→0

L→0

UC

Мгновенные значения заряда q на пластинах конденсатора

sin(ωt + π )

q(t)=CU(t)=CU sinωt, тогда I(t)=

dq

= ωCU

cosωt = I

cosωt = I

m

m

m

m

dt

2

где Im=ωCUm,

1

1

−

емкостное сопротивление цепи и,

XC=

=

ωС

2πνС

если [C] → фарад, [ν] → герц, то [XC] → Ом.

Т.к. U(t)=U ·sinωt, I(t)= I

m

sin(ωt + π ) , то U

по фазе на π/2 отстает от текущего

m

2

C

через конденсатор тока IC.

147

§4.1. Полное сопротивление цепи при переменном токе.

При переменном токе полное сопротивление цепи, где присутствуют активное, индуктивное и емкостное сопротивления, зависит от того, как соединены эти электрические элементы − резистор, катушка и конденсатор.

При их последовательном соединении общее напряжение складывается из падений напряженностей на резисторе, на катушке и на конденсаторе. Вследствие наличия разности фаз между UL, UC и током I, эти напряжения должны складываться между собой векторно (т.е. геометрически).

							ωL −	1		2
	2	2			2
UR=IR, UL=IXL, UC=IXC, U =	U R	+ U X	= I	R		+				= IZ
								ωC

U = IZ обобщенный закон Ома для цепи переменного тока,

где X=XL−X C=ωL −

1

, реактивное сопротивление, а

ωC

2

1

2

Z =

R

+

ωL −

−

полное сопротивление или импеданс.

ωC

R

XL

XC

UL

U

UX=UL−U C

UR

UL

UC

0

~

UR

I

UC

U

IR

R

IL

L

IC

C

U

~

При параллельном соединении резистора, катуш-

ки и конденсатора падение напряжения на всех элементах одинаково равно U, а I=IR+IL+IC, где

IRR=U, ILXL=U, ICXC=U.

Тогда импеданс определяется по формуле:

1		1			1		1	2			1			1			2
	=			+		−			=				+			− ωC
			2									2
Z		R			X L						R				ωL
							X C

148

§4.2. Резонанс

При XL−X C→0, XL=XC

или ωL =

1

,

ωC

I

тогда I при том же U сильно возрастает

Iрез=U/R, а резонансная частота

ωрез =

1

или ν =

1

, т.к. ω=2πν.

2π

ω

LC

LC

Существуют:

ωрез

Резонанс напряжений

В данном случае компенсируются UL и

UC, хотя сами эти напряжения могут

UR

UL

UC

быть гораздо больше чем U.

~

U

резонанс токов.

IL

L IК IR R

IC

C

I

U

~

I=IR

IC=IL

IK − реактивный ток без потерей энергии, I=IR активный ток (по внешней цепи).

149

Гл.5 ОСНОВЫ ТЕОРИИ МАКСВЕЛЛА (УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА)

Воснове теории Максвелла лежат четыре уравнения (1864г.), которые не только обобщали все, известные к тому времени, экспериментальные закономерности электромагнетизма, но и дали возможность предугадать новые явления (в частности, существования электромагнитных волн).

Втеории Максвелла а рассматриваются макроскопические поля, которые создаются макроскопическими зарядами и токами, сосредоточенными в

объемах V неизмеримо больших, чем объемы Vm атомов и молекул (V>>Vm). Макроскопические поля являются усредненными микрополями. Предполагается, что расстояния r от источников полей до рассматриваемых точек пространства значительно превышают линейные размеры d атомов и молекул (r>>d). Теория Максвелла является теорией близкодействия, согласно которой электрические и магнитные взаимодействия происходят в электрических

имагнитных полях и распространяются с конечной скоростью, равной скорости света в данной среде.

Для создания своих уравнений, Максвелл ввел понятие тока смещения (название историческое 1865 г.); это изменение электрического поля со временем

Iсмещ

Если в цепи постоянного тока присутствует

конденсатор, то в такой цепи электрический

ток отсутствует. Но если по такой цепи про-

пустить переменный ток, то амперметр по-

кажет присутствие электрического тока.

Iпров

Iпров

Между обкладками заряжающегося и разря-

жающегося конденсатора имеется перемен-

ное электрическое поле, поэтому, согласно

~

Максвеллу,

через конденсатор «протекает»

токи смещения,

причем в тех участках, где

отсутствуют проводники.

Переменные токи проводимости, существующие в незамкнутых конту-

рах, всегда замыкаются токами смещения.

~

Плотность тока смещения jсм

определяется

быстротой изменения напряженности Е электри-

Iпров

Iпров

ческого поля, или вектора электрической индук-

ции D (вектора смещения).

= ε ε

∂E

=

∂D

E

j

j

см

0

∂t

см

∂t

=

1

j

ρ

E =

γE

_

пров

+

jсм

направлен как

jпров .

B

Переменно электрическое поле

возбуждает

во-

Iсмещ

круг себя магнитное поле.

∂D

∂Е

> 0

+

При зарядке

Полный ток jполн

= jпров

+ jсм

= jпров

∂t

∂t

Электрическое поле может быть как потенциаль-

150