physics_mif

Астигматизм − погрешность, обусловленная неодинаковостью кривизны оптической поверхности в разных плоскостях сечения падающего на нее светового пучка. Устраняется при помощи сложных линз (широкоугольные объективы до 700). Астигматизм исправляется подбором радиусов кривизны преломляющих поверхностей и их фокусных расстояний. Системы, исправленные на сферическую и хроматическую аберрации и астигматизм, называ-

ются анастигматами.

ДИСТОРСИЯ − К О М А меняет масштаб по мере удаления от центра

и решетка превращается

Подушкообразная или бочкообразная

Просветленная оптика

Для уменьшении отражения на границах линз, их покрывают пленкой фторида магния MgF2 с n1 = n и с такой толщины, чтобы световые волны 1 и 2 гасили друг друга (имели противоположные фазы). Поглощение в стекле линз возрастает в ультрафиолетовой и инфракрасной части спектра, поэтому для этих лучей используют кварц или зеркало.

2

1

MgF2

171

Примеры по геометрической оптике:

F	F
		F	F		F	F	F	F

Определить ход луча после преломления

Определить ход луча до преломления

О1

О2

О1

О2

Определить вид, местоположение линзы и его фокусы О1О2 – главная оптическая ось

* S

							* S
О1			О2			О1			О2
			* S'
			а)					б)	* S'
			* S'				* S
			* S						* S'
	О1		О2			О1		г)	О2
			в)

Определить вид, местоположение линз и их фокусы

О1О2 – главная оптическая ось, S – предмет, а S' его изображение

172

Приложение 1

Прохождение света через плоскопараллельную пластину

Пластина смещает луч света параллельно самому себе на расстояние ℓ

Из

ABC → BC=AB.sin(α─β)

α

Из

ADB → AB=d/cosβ

A

n0 ≈ 1

BC=ℓ=d.sin(α─β)/cosβ

β

n

d

Или как f(d,α,n)

C

β

D B

1 - sin

2

α

ℓ = d × sinα 1 -

α

n2 - sin

ℓ

2 α

173

Приложение 2

Формула тонкой линзы (по Физика для поступающих, Бутиков Е.И. и др.,М.,

«Наука», 1978г.)

Из принципа Ферма сле-

дует, что оптические дли-

ны всех лучей, выходя-

C

щих из источника А и со-

R1

R2

бирающихся

в

точке В,

являющейся

его изобра-

h

жением, одинаковы.

a+n(c+d)+b=AC+CB

Из теоремы Пифагора:

A

O

B

AC = (a + c)2 + h2 =

a

b

= (a + c) 1 +

h2

(a + c)2

Т.к. h<<d, то используя

» 1 + x / 2 при x<<1

1 + x

c

d

AC » a + c +

1

×

h

2

a + c

2

h2

Аналогично

CB » b + d +

1

×

,

b + d

2

поэтому n(c + d ) = c + d +

h2

1

1

→

h2

1

1

→

+

(n -

1)(c + d ) =

+

+ d

2

a

+ c b + d

2

a + c

b

h2 1

1

т.к.

(n -1)(c + d ) =

+

,

a>>c, b>>d

2 a

b

также c= R -

h2

, и аналогично

d »

h2

.

R2

- h2 »

2

2

2R2

2R1

Окончательно

(n -1)(

1

+

1

) =

1

+

1

R2

R1

a

b

174

Приложение 3

Формула тонкой линзы (по Трофимовой)

	C
R1		R2
	h
A	O	B
	a	b

c d

Две световые лучи, выходящие из точки А (луч АОВ и луч, проходящий через край линзы, АСВ), должны доходить до точки В, одновременно. Время про-

хождения света вдоль АОВ t1 = a + N (e + d ) + b , где N=n/n1 -относительный по-

c

казатель преломления (n и n1 - соответственно абсолютные показатели преломления линзы и окружающей среды). Время прохождения света вдоль АСВ

равно t		=		(a + e)2 + h2 + (b + d )2 + h2				c . Так как t =t	2	, то
	2
							1

a + N (e + d ) + b = (a + e)2 + h2 + (b + d )2 + h2 .

Рассматривается параксиальные (приосевые) лучи, т. к. только они, исходящие из точки A, пересекают оптическую ось в одной и той же точке В. то-

гда h<<(a+e), h<<(b+d) и

h

2

1

h

2

h

2

(a + e)2 + h2

= (a + e)

1 +

= (a + e) 1 +

= a + e +

. Аналогично

(a + e)2

2(a + e)

2 a + e

= b + d +

h2

.Подставив эти выражения в

(b + d )2 + h2

2(b + d )

a + N (e + d ) + b = (N − 1)(e + d ) =

h2

1

+

1

.

2

a + e

b + d

Для тонкой линзы e<<a и d<<b, поэтому (N −

1)(e + d ) =

h2

1

+

1

. Учитывая,

2

a

b

1 h 2

h2

h2

2

2

что e = R2 −

R2

− h

= R2 − R2

1 −

= R2 − R2 1 −

=

и соответственно

2

2

2R2

R2

R2

h

2

1

1

1

1

d =

, получим (N − 1)

+

=

+

2R1

R1

R2

a

b

175

Приложение 4

Формула тонкой линзы (по Грабовскому)

					θ
					H	δ
				M	N		θ
		R1			E	R2
S	α			h1	h2		α1	S1
			β			β1
A	B			D	O D1		B1	A1
		a			n		b

Построим плоскости, касательные к поверхностям линзы в точках M и N (т.е. в местах падения луча на линзу и выхода его из линзы), и проведем в эти точки радиусы R1 и R2 кривизны линзы. Тогда луч AMNA1 можно рассматривать как луч, преломленный в тонкой призме с преломляющим углом θ. Учитывая малость углов α, β, α1, β1 и толщины линзы, можно написать следующие приближенные равенства:

h

≈h

, |AD|≈a,|A D |≈b, α ≈ tgα

h1

≈

h1

, α

1

≈ tgα

1

=

h1

≈

h1

,

1

2

1

1

AD

a

A1D1

b

β ≈ sin β =

h1

,

β ≈ sin β =

h1

,

R1

1

1

R2

где h1 - высота (над оптической осью) точки M падения луча на линзу, h2 - высота точки N выхода луча из линзы, a и b - соответственно расстояния от источника света A и от его изображения A1 до оптического центра линзы.

Из треугольников AHA1 и BEB1 следует, что δ=α+α1 и θ=β+β1. Тогда, принимая во внимание значения α, α1, β, β1, получим

δ = h1 + h1 и θ = h1 + h1

a b

R1 R2

Но, согласно формуле призмы δ=(n−1) θ, где n - абсолютный показатель преломления линзы. Поэтому

	1		1		1		1
		+		= (n − 1)		+
	a b				R1		R2	.

В эту формулу тонкой линзы не входит высота h1. Это означает, что расстояние b не зависит от местоположения точки M, т.е. все лучи, исходящие из

точки А, соберутся после преломления различными частями линзы в одной точке А1.

176

§2. ВОЛНОВАЯ ОПТИКА

Волновой оптикой называется раздел оптики, где свет рассматривается как часть электромагнитных волн и изучаются классические законы излучения, распространения и взаимодействия световых волн с веществом.

§2.1. Интерференция света

Явление наложения волн, при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в дру-

гих, называется интерференцией волн.

Необходимым условием интерференции волн является их когерентность, т.е. некая согласованность между ними.

Когерентные волны – это такие волны, у которых в данной точке пространства разность фаз не меняется в течении времени:

ω0		(t -	x	) + ϕ0		=const,
		υ
								x
(получается из формулы волны −	s(x,t) = A × cos ω t -									+ ϕ0	).
								υ

Независимость разность фаз от времени означает, что когерентными могут быть лишь волны, имеющие одинаковую частоту (длину волны).

Интерференционная картина, т.е. взаимное усиление когерентных волн в одних точках пространства и ослабление в других, получится только в том случае, если когерентные волны в данной точке пространства встречаются всегда одинаковым образом. Например, если в данной точке пространства они всегда встречаются в одинаковой фазе, то мы наблюдаем усиление волн (интерференционные максимумы). Если же они встречаются в противофазе, то гасят друг друга, и мы наблюдаем ослабление волн (интерференцион-

ные минимумы).

При сложении двух когерентных волн (для простоты амплитуды гармонических колебаний принимаются одинаковым);

s1 =A cos (ωt + φ1) s2 =A cos (ωt + φ2).

По принципу суперпозиции их сложение

s=s1+ s2= 2A cos (ωt + ϕ1 + ϕ2	) cos( ϕ1 - ϕ2	)=Aрезулт. cos (ωt + ϕ1 + ϕ2 ),
2	2	2
где Aрезулт. =2A cos( ϕ1 - ϕ2 )
2

(если гармонические колебания выражаются через sin, то вместе cos (ωt +

ϕ1 + ϕ2	) имеем . sin (ωt + ϕ1 + ϕ2 ) ).
2	2

177

Так

как

ω =

2π

= 2πν

и

υ = λν ,

то

из

уравнения

световой волны

Т

2π × r

E = Em cosω(t -

r

) = Em cos(ωt -

) выражение

λ

υ

ϕ - ϕ

2

1

r

r

ω

(r2 - r1 )

1 2πν

(r2

- r1 ) = 2π

r - r

1

=

ωt -

1

- ωt -

2

=

=

2

1

2

2

υ

υ

2υ

2 λν

2λ

Тогда Aрезулт принимает максимальное значение в точках 2kπ:

ϕ - ϕ

2 = 2π

r - r

1

1 2

=2kπ, где k = 0,1,2,3,…,

порядок максимума

2

2λ

Таким образом, условия максимумов имеет вид

r - r = kλ = 2k λ

1

2

2

При (2k +1)π Aрезулт имеет минималь-

ное значение,

поэтому

условия

минимумов:

r - r

= (2k +1) λ , где k = 0,1,2,3,…

cos(2k+1)π=– 1

cos2kπ=1

1

2

2

Для общего случая:

x = A × cos(ωt + ϕ ) ,

x = A × cos(ωt + ϕ

)

1

1

2

2

2

A2=A12+A22+2A1A2 cos (φ1– φ2)

Так как I=A2, то I=I1+I2+2 I1I2 cos (φ1– φ2)

Для когерентных волн cos (φ1– φ2)=const; не зависит от времени, но для каждой точки пространства имеет свое значение.

Когда cos (φ1– φ2)>0, то I>I1 +I2; при cos (φ1– φ2)<0, I<I1 +I2

Следует отметить, что при интерференции волн не происходит простое сложения их энергий. При I1 =I2, в максимуме I=4I1, а в минимуме I=0. Например, в точках минимума или около них энергия волн, дошедших от двух источников меньше, чем энергия волны одного источника. Интерференция волн приводит к перераспределению энергии колебаний между различными близкорасположенными частицами среды. В среднем, для большой области пространства, энергия результирующей волны равна сумме энергий интерферирующих волн.

У некогерентных волн в среднем cos (φ1– φ2)=0 и при I1 =I2; I=2I1.

Таким образом, если когерентные волны в точку А приходят из двух источников S1 и S2, то условия максимума и минимума для них имеет вид:

D = 2k × λ , (условия максимума),

2

D = (2k +1) × λ , (условия минимума),

2

где – разность хода лучей, k = 0, 1, 2,…

178

Иными словами, если в разность хода лучей умещается четное коли-

чество полуволн (или целое число волны), то в этой точке мы имеем максимальное усиление волны. Если же в разность хода лучей помещается нечетное количество полуволн, то в этих точках происходить ослабление волн.

S1			Для световых лучей условие
			максимумов и минимумов относит-
	r1
			ся не к разности хода лучей, а к оп-
S2		A	тической длины пути волны. По-
			следняя собой представляет произ-
r2			ведение геометрической длины r пу-
r2-r1			ти световой волны в данной среде на
			показатель преломления n этой сре-

ды. В общем случае, когда лучи от источников S1 и S2 приходят сквозь среды с разными показателями преломления, то =|n2r2 –n 1r1| .Но обычно, оба источника находятся в воздухе, для которого можно принять n1=n2=1 , поэтому вместо оптической разности хода часто употребляют |r2-r1|.

Следует отметить, что когерентность волн в течении времени и при больших значениях разности хода нарушаются.

При отражении света в разность хода появляется дополнительная разность фаз; если свет отражается от границы с оптически более плотной среды (зеркало), то фаза колебания светового вектора скачками меняется на π («потеря полуволны» при отражении). В этом случае к надо прибавить или отнять λ/2.

Линзы дополнительной разности хода не вносят.

Так как свет, исходящий из светящегося тела, представляет собой совокупность множества электромагнитных волн, излучаемых отдельными частицами (атомами и молекулами) тела, то световые волны от независимых источников практически не могут быть когерентными (исключение составляют лазеры). Для получения интерференционной картины (когерентных световых волн) применяют метод «разделения» волны, излучаемой одним источником, на две части, которые после прохождения разных оптических путей накладываются друг на друга. Такое «раздвоение» можно осуществить, например, посредством экрана с двумя малыми отверстиями, которые играют роль независимых источников (метод Юнга), отражением света от двух плоских зеркал, установленных под углом ~1800 (зеркало Френеля) или прохождением света через два одинаковых, сложенных основаниями призм с малыми преломляющими углами (бипризма Френеля).

179

Интерференция света в тонких пленках

В условиях максимумов и минимумов разность хода зависит от длины волны. Это приводит к тому, что для белого света, который представляет собой смесь различных цветов (различных λ), светлые полосы в интерференционных картинах приобретают радужную окраску. В природе это наблюдается в тонких пленках, которые образуют, например, мыльные пузыри или масля- ные пленки на воде или на асфальте. В данном случае, интерференция происходит между двумя волнами (I и II), отраженными от двух (верхних и нижних) поверхностей пленки.

I	II	sin i	= n
		sin r

=(|AD|+|DC|)−(|AB|± λ/2)

i

B

член λ/2 из-за эффекта полуволн

i

Если n>n0, то

потеря

полу-

n0≈1

A

i

C

волны произойдет

в точке

А и

вышеупомянутый

член

будет

n

r

r

иметь отрицательный знак (−); ес-

r

h

ли же n<n0, то потеря полуволны

произойдет в точке D и λ/2

будет

иметь знак (+)

D

|AD|=|DC|=h/cosr

|AB|=|AC|sini=2h.tgr.sini

Учитывая, что sin2r=1–cos 2r и sini=n .sinr, получаем

=2nh cosr+λ/2

+ λ или = f (h,n,i,λ)

= 2h

n2 − sin2 i

2

Разность хода

зависит от толщины пленки (h), коэффициента прелом-

ления вещества (n), из чего состоит пленка, от угла падения (i) и длины волны света (λ). При больших значениях h когерентность I и II волн нарушается, поэтому интерференция наблюдается у тонких пленок.

Полосы равной толщины (интерференция от пластинки переменной толщины) наблюдается, когда параллельный пучок (i=const) монохроматического света (λ=const) падает на однородную (n=const) пластину, толщина которой меняется от точки к точке (h≠const).

Полосы равного наклона (интерференция от плоскопараллельной пла-

стины) получается при h=const. n=const, λ=const , но при i≠const.

1′,1′′,2′ и 2′′ параллельны (так как пластинка параллельна), поэтому, чтобы их наблюдать используют собирающую линзу, при помощи которой они на экране собираются в точке F. Лучи, подающие под другим углом (3) собираются в другой точке F′. Если оптическая ось линзы перпендикулярна поверхности пластинки, то получаются концентрические кольца с центром в фокусе линзы.

180