physics_mif

α	β	α
1		1

2	2
	γ
а)	б)

Законы преломления (правый рисунок, б))

1.Луч падающий, луч преломленный и перпендикуляр, проведенный к границе раздела в точке падения, лежат в одной плоскости.

2.Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления есть постоянная для данных сред:

	sinα	= n
	sin γ
		21

где n21 - относительный показатель преломления или показатель преломления второй среды относительно первой. Он равен отношению скоростей света в средах, на границе между которыми происходит преломление:

n	=	υ1	, где υ и υ		скорости света в I и II средах соответственно.
21		υ2	1	2

Показатель преломления среды относительно вакуума называют абсо-

лютным показателем преломления этой среды. Относительный показа-

тель преломления можно выразить через абсолютные показатели преломления n1 и n2 первой и второй сред:

n = υ1		=	n2	.
21	υ2		n1

Абсолютный показатель преломления для некоторых сред

Вода (20о С)	n=1,33	Рубин	1,76
Лед	1,31	Стекло	1,47-2,04
Кварц	1,54	Алмаз	2,42

Среду с меньшим абсолютным показателем преломления принято назы-

вать оптически менее плотной средой.

В большинстве случаев (или если об этом специально не оговаривается) роль одной из сред играет воздух, оптические свойства которого мало отличается от таковых вакуума, поэтому абсолютный показатель преломления воздуха при нормальных условиях n ≈ 1. Следовательно, в таких случаях, n21

161

≈n1≈n, поэтому в дальнейшем мы не будем разграничить абсолютные и относительные показатели преломления.

Падающий и преломленный лучи тоже взаимно обратимы: если падающий луч будет пущен по направлению преломленного луча, то луч преломленный пойдет по направлению падающего.

								Если свет проходит из оптически бо-
								лее плотной среды (с показателем пре-
		n2 > n1
								ломления n2) в оптически менее плотную
								среду (с показателем преломления n1 < n2
			γ					), например из стекла или из воды в воз-
n1						900		дух (n1=1), то угол падения будет меньше
								угла преломления γ. Поэтому при некото-
n2								ром угле падения (α = αпр.) угол прелом-
								ления окажется равным 900 , т.е. прелом-
								ленный луч будет скользить вдоль грани-
			α пр
								цы раздела сред, не выходя в первую сре-
								ду. Угол αпр. называется предельным уг-
								лом падения. При α > αпр. свет полно-

стью отражается обратно во вторую среду (происходит полное внутреннее отражение света). При этом:

	sinαпр.	= sinα		=	n	=	1
			пр.		1
	sin 900				n		n
					2		2

Обычно для стекла n2≈1,5 , поэтому αпр.= arcsin1/1,5≈420

Тогда все лучи, которые попадают из стекла на границу стекло-воздух с углом больше чем 420, не могут выйти из стекла. Это дает возможность использовать прямоугольные призмы для того, чтобы повернуть луч на 900, повернуть изображение (например, в биноклях), обернуть лучи и т. п.

		1	1	2
	1	2
			2
	2			1
		2
		1

1 2

Явления полного внутреннего отражения света сейчас находит широкое применение в волоконной оптике.

162

§1.3. Формула призмы

Призмой называется прозрачное тело, с двух сторон ограниченное плоскостями, которые составляют какой-то угол между собой (преломляющий угол призмы – θ, см. рисунок).

После двукратного преломления (на левой и на правой гранях призмы) луч света отклоняется от первоначального направления на угол δ, называе-

мый углом отклонения.

Угол отклонения δ зависит от преломляющего угла θ и показателя преломления n призмы. Эта зависимость легко устанавливается для призмы с малым преломляющим углом (тонкая призма) в случаях малого угла падения α.

δ ≈ (n-1)·θ

(Вывести самостоятельно, учитывая, что при малых значениях θ и α, так-

же малы углы γ, α1 и γ1, поэтому из закона преломления	sinα=n.sinγ и
n . sinα1=sinγ1 можно перейти к выражениям α=nγ и nα1=	γ1, а θ=γ+α1,
δ=(α-γ)+(γ1- α1) ).

Минимальный угол отклонения получается в случае симметричного хода луча (т.е. когда α=γ1 и луч внутри призмы параллелен основанию призмы). Обратите внимание, что при прохождении через призму луч всегда от-

клоняется в сторону основании.

θ

B

α	A	C	δ
	γ α1		γ1
	D	θ

n

163

§1.4. Линзы

Линзы – это прозрачные тела, ограниченные с двух сторон криволинейными (обычно сферическими) поверхностями, преломляющими световые лучи и способные формировать оптические изображения пред-

метов. В частном случае одна из поверхностей может быть плоской

символ

символ

Собирающие линзы

Рассеивающие линзы

По внешней форме линзы делятся на двояковыпуклые, плосковыпуклые, вогнуто-выпуклые, двояковогнутые, плосковогнутые и выпукло-вогнутые (на рисунке они изображены слева направо). По оптическим свойствам линзы делятся на собирающие (положительные) и рассеивающие (отрицатель-

ные). Независимо от внешней формы собирающие линзы посредине толще, чем у краев, в то время, как рассеивающие линзы посредине тоньше, чем у краев.

O'2

R1
А О	О2
О1	В
	R2
O'1

Мы будем рассматривать тонкие линзы, толщина которых (расстояние АВ между ограничивающими поверхностями) значительно меньше по сравнению с расстоянием до предмета и с радиусами R1 и R2 поверхностей, ограничивающих линзу. В тонких линзах точки А и В расположены столь близко друг от друга, что можно принять их совпадающими с точкой О, называющимися оптическим центром линзы. Лучи света, проходящие через оптический центр линзы, практически не преломляются.

164

Прямую О1О2, проходящую через центры (О1 и О2) сферических поверхностей и оптический центр линзы, называют главной оптической осью. Любую другую прямую, проходящую через оптический центр, называют по-

бочной оптической осью (на рисунке О'1О'2).

Линзу грубо можно представить как совокупность множества призм. Тогда становится очевидным: собирающие линзы отклоняют лучи к оптической оси, а рассеивающие линзы – от оптической оси.

Параксиальные лучи (т.е. приосевые или околоосевые лучи, которые образуют с оптической осью малые углы), распространяющиеся параллельно главной оптической оси, после преломления сквозь линзу пересекаются в точке, лежащей на этой оси и называемой главным фокусом линзы. У

всякой линзы имеются два фокуса по обе стороны от нее (точки F). Расстояние OF=f от оптического центра линзы до ее фокусов называется фокусным расстоянием линзы.

Величина, обратная фокусному расстоянию, называется оптической силой линзы (D=1/f). Она измеряется в диоптриях (дптр или дп). 1 дптр –

оптическая сила линзы с фокусным расстоянием 1м (1 дптр = 1 м-1).

F O F F O F

а)

б)

В отличие от собирающей линзы (левый рисунок а)), рассеивающая линза имеет мнимые фокусы (правый рисунок б)). В мнимом фокусе сходятся (после преломления) воображаемые продолжения лучей, падающих на рассеивающуюся линзу параллельно главной оптической оси.

Оптическая сила рассеивающей линзы, как ее фокусное расстояние, отрицательная величина.

	Фокальная плоскость		Плоскость, проведенная через
			главный фокус линзы перпен-
			дикулярно к главной оптиче-
		F`	ской оси, называется фокаль-
			ной плоскостью. Лучи, падаю-
	F		щие на линзу параллельно ка-
		O	кой-либо побочной оптической

Fоси, после преломления в линзе, пересекаются в точке, лежащей на фокальной плоскости (по-

	Фокальная плоскость	бочный или вторичный фокус,
		на рисунке точка F`).	Т.е. фо-
		кальная плоскость	является

165

геометрическом местом всех вторичных фокусов. У линзы имеются две фо-

кальные плоскости, расположенные на ровных расстояниях по обе стороны от нее.

Построение изображения (А1В1) предмета (АВ) в линзах осуществляется

спомощью следующих лучей, ход которых нам известен:

1.лучи проходящие через оптический центр линзы не меняют своего направления (на рисунке, I луч);

2.лучи идущие параллельно главной оптической оси, после преломления в линзе (или его продолжение), проходят через второй главный фокус линзы (на рисунке, II луч);

3.лучи (или его продолжения), проходящие через первый главный фокус линзы, после преломления в ней, выходят из линзы параллельно ее главной оптической оси (на рисунке, III луч).

			f
A	II	С
	I
III		O	F	B1
B	F

A1 III

I

a	b	II

Пересечение любых двух таких лучей (или их продолжений) дает изображение точки предмета, откуда избранные лучи берут начало.

Формула тонкой линзы имеет вид:

1 = 1 + 1 = D , f a b

где a и b – соответственно расстояния от предмета и от его изображения до оптического центра линзы. Эту формулу самостоятельно можно получить, используя подобие треугольников: ΔВАО~ΔВ1 А1 О и ΔОСF~ B1 A1 F .

Более сложный вид формулы тонкой линзы связывает фокусное расстояние f линзы с ее коэффициентом преломления n и радиусами R1 и R2 кривизны линзы (знак для радиусов кривизны линз берется положительный - для выпуклых поверхностей и отрицательный – для вогнутых) (см. приложе-

ния 2,3,4):

1	=	1	+	1	= (n − 1)(	1	+	1	) = D .
f a				b		R1		R2

Так как фокусное расстояние рассеивающей линзы, как и ее оптическая сила, является отрицательной величиной, то это означает, что в формуле тонкой линзы a и b, в определенных случаях, должны иметь отрицательные зна-

166

чения. Правила, при помощи которых можно определить знаки a и b, в разных учебниках освещаются по-разному. Наиболее запоминающими, с моей точки зрения, являются правила, основанные на опыте повседневной жизни. Для этого надо только запомнить:

∙У собирающих линз f и D положительны, а у рассеивающих линз – отрицательны;

∙a всегда положительны;

∙b положительны, если изображения действительные, и отрицательны у мнимых изображений.

Отношение линейных размеров изображения и предмета называется линейным увеличением линзы (А1В1/АВ). Отрицательным значением линейного увеличения соответствует действительное изображение (оно перевернутое), положительным – мнимое изображение (оно прямое).

Нижеследующая таблица показывает характер изображения собирающей линзы в зависимости от расстояния предмета до линзы.

Характер изображения собирающей линзы

a	b	Характер изображения	Оптическая система
a=∞	b=f	Точечное в фокусе	-
∞>а>2f	f<b<2f	Действительное, обратное,	Глаз, фотоаппарат
		уменьшенное
а=2f	b=2f	Действительное, обратное,	Переносная или обо-
		равное предмету	рачивающая линза
2f>а>f	2f<b<∞	Действительное, обратное,	Объектив микроскопа
		увеличенное
а=f	b=∞	Параллельные лучи	-
a<f	-	Мнимое, прямое, увеличенное	Окуляр, лупа

Для рассеивающей линзы характер изображения не зависит от расстояния предмета от линзы: у них изображение всегда мнимое, прямое и умень-

шенное.

Комбинации собирающих и рассеивающих линз (так называемые сложные объективы) применяются в оптических приборах, используемых для решения различных научных и технических задач. Оптическая сила сложного объектива представляет собой алгебраическую сумму оптических сил отдельных линз: D=±D 1± D 2 ±D 3 ±…. .

Этот принцип используется для коррекции зрения, когда роль одной линзы играет хрусталик глаза14, а роль другой – стекло очков или контактные линзы.

= tgα′

Угловое увеличение Г оптического прибора: Г tgα , где α′ и α − углы зрения, под которыми виден предмет соответственно через прибор и невоо-

14 Точнее, роль передней сферической поверхности играет не передняя поверхность хрусталика, а поверхность роговой оболочки.

167

руженным глазом. Для лупы tgα = AB , где L0 =25см расстояние наилучшего

L0

зрения, tgα ¢ » AB , т.к. глаз располагают вблизи заднего фокуса лупы.

f

Тогда Г= L0

f

Увеличение лупы обратно пропорционально ее фокусному расстоянию и показывает, во сколько раз увеличивается линейный размер изображения на сетчатке за счет применения лупы.

Линейное увеличение луп не так уж велико (меньше, чем 20 раз), поэтому, используя комбинацию из двух (обычно сложных) линз, при помощи микроскопа можно получить гораздо больше увеличение (~1000 раз). Для начертания принципиальной схемы микроскопа надо использовать вышеуказанную таблицу и учитывать, что изображение через вторую линзу (окуляр) можно получить только от действительного изображения первой линзы (объ-

ПРИНЦИПАЛЬНАЯ СХЕМА МИКРОСКОПА

	ОПТИЧЕСКАЯ
	ДЛИНА ТУБУСА
		ℓ
	ОБЪЕКТИВ		ОКУЛЯР
А

В″	fоб. fок. В′	fок.
В	fоб.	α′
	А′
		25 см до глаза
А″	ТУБУС	fоб.≈несколько мм

fок.≈10−20 мм

ектива).

Расстояние между внутренними фокусами объектива и окуляра называется оптической длиной тубуса (ℓ≈160мм). Увеличение Г микроскопа:

Г=Гоб·Гок. Как лупа Гок=L0/fок , а Гоб=ℓ/fоб , т.к. ℓ>>fоб ,

	Г	»	L0ℓ
			fоб × fок

Увеличение микроскопа прямо пропорционально оптической длине ℓ ту- буса и обратно пропорционально произведению фокусных расстояний объ-

ектива и окуляра. Гмикроскоп ≈56÷1350 ( максимально ~2000), но обычно используются 1000÷1200 – кратное увеличение.

168

§1.5. Аберрации или погрешности оптических систем

А Б Е Р Р А Ц И Я

ФИЗИЧЕСКИЕ

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ

Хроматические

Сферические

Осевые

n=n(λ)	Астигматизм
	Кома	Вне
	Кривизна поля	осевые
	Дисторсия

Хроматическая аберрация возникает из-за того, что коэффициент преломления n=n(λ) зависит от длины волны света (явление дисперсии − отсутствует у зеркал). Собирающая линза приближает к оптической оси сильнее фиолетовые лучи, чем красные, а рассеивающая линза, наоборот, приближает к оптической оси сильнее красные лучи. Благодаря этому можно создать оптическую систему (ахроматическая линза), не имеющую хроматической

			Фиолетовые	п1	п2
			лучи
О	Ф F	К	Красные
			лучи

Фиолетовые

лучи

Ахроматическая

линза

аберрации. Комбинация двух линз с разными п уменьшает хроматическую аберрацию много (~16) раз. Так как разные сорта стекол обладают различной дисперсией, то, комбинируя собирающие и рассеивающие линзы из различных стекол, можно совместить фокусы двух (ахроматы) и трех (апохрома- ты) различных цветов, устранив тем самым хроматическую аберрацию. Системы, исправленные на сферическую и хроматическую аберрации, называ-

ются аплантами.

169

F2

F1

F2−F 1

Астигматическая

разность

АСТИГМАТИЗМ

Хроматическую аберрацию можно уменьшить, увеличивая фокусное расстояние линзы, хотя это не всегда технически выполнимо. Например, при диаметре линзы D=0,5м, F=2,8м, при D=1м, F=112м (технически невыполним).

Сферическая аберрация обусловлена сферичностью преломляющих поверхностей линз (отсутствует у параболических зеркал). При большом диаметре линзы часть лучей перестанут быть параксиальными, в результате чего изображения получаются размытыми (сферическая аберрация).

Продольная

сферическая

аберрация

δ = f1−f 2

У собирающих линз δ<0

О	f2	У рассеивающих линз δ>0

f1

У собирающей линзы лучи, падающие на ее края, собираются ближе, чем лучи, падающие на ее центральную часть (δ<0); у рассеивающей линзы наблюдается обратное явление (δ>0). Благодаря этому можно создать оптическую систему (анастигматы) из соответствующим образом подобранных собирающей и рассеивающей линз, у которой сферическая аберрация почти полностью отсутствует. Применяя диафрагмы (ограничиваясь параксиальными лучами), можно уменьшить сферическую аберрацию, однако пи этом уменьшается светосила линзы.

В 1941г. Д.Д. Максутовым была создана безаберрационная оптическая система

(менисковый телеобъектив),

состоящая из вогнутого сферического зеркала и выпук- ло-вогнутой сферической линзы (мениска). Зеркало и мениск в отдельности обладают большими аберрациями (сферическими), имеющими противоположные знаки; в менисковом телеобъективе эти аберрации полностью компенсируются.

Сферическая аберрация является частным случаем астигматизма.

170