- •1.Типы матриц ( матрицы размера m*n , матрица-столбец, матрица-строка, квадратная матрица и ее порядок). Сложение и вычитание матриц . Умножение матрицы на число.
- •2.Транспонированние матрицы. Перемножение матриц. Единичная матрица.
- •4.Свойства определителей. Определитель произведения матриц.
- •5.Вырожденная матрица. Обратная матрица, её свойства, вычисление, теорема существования.
- •7.Матричная форма записи и матричный метод решения системы линейных уравнений.
- •8.Главный определитель системы и определители неизвестных. Теорема Крамера
- •11.Отображения ( функция), область определения, образы множеств при отображении , множество значений функции и её график.
- •14.Предел последовательности. Геометрический смысл. Теорема пределе константы.
- •16.Ограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
- •18.Бесконечно- малые величины и их свойства. Теорема о структуре сходящейся прямой.
- •19.Бесконечно большие велечины,теорема о связи с бесконечно малыми. Ответ Бесконечно большая[править | править вики-текст]
- •21.Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Бесконечные пределы. Примеры.
- •1.Ограниченность функции.
- •2. Предел функции в точке.
- •3. Односторонние пределы.
- •4. Бесконечный предел.
- •22.Свойства предела функции 7 теорем.
- •23.Эквивалентные бесконечно-малые, критерий эквивалентности.
- •25.Односторонние пределы, теорема, примеры.
- •26.Непрерывность функции, геометрический смысл , критерий непрерывности.
- •27.Свойства функций непрерывных в точке. Арифметические свойства непрерывных функций. Ответ: Свойства функций, непрерывных в точке
- •30.Первый замечательный предел. Следствие. Ответ: Первый замечательный предел[править | править вики-текст]
- •31.Число e. Натуральные логарифмы. Второй замечательный предел. Следствие.
- •32.Замечательный предел для логарифмической, показательной и степенной функции. Следствия. Ответ: Замечательный тригонометрический предел Править
- •33.Теоремы Больцан-Коши и Вейерштрасса.
33.Теоремы Больцан-Коши и Вейерштрасса.
Ответ: Теорема Больцано — Вейерштрасса, или лемма Больцано — Вейерштрасса о предельной точке — предложение анализа, одна из формулировок которого гласит: из всякой ограниченной последовательности точек пространства Rn можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Теорема Больцано — Вейерштрасса, в особенности случай числовой последовательности (n=1), входит в каждый курс анализа. Она используется при доказательстве многих предложений анализа, например, теоремы о достижении непрерывной на отрезке функцией своих точных верхней и нижней граней. Теорема носит имена чешского математика Больцано и немецкого математика Вейерштрасса, которые независимо друг от друга её сформулировали и доказали.
Первая формулировка[править | править вики-текст]
Пусть предложена последовательность точек пространства Rn:
x1,x2,…
и пусть эта последовательность ограничена, то есть
∥xk∥⩽C,k=1,2,…
где C>0 — некоторое число.
Тогда из данной последовательности можно выделить подпоследовательность
xk1,xk2,…
которая сходится к некоторой точке пространства Rn.
Теорему Больцано — Вейерштрасса в такой формулировке иногда называют принципом компактности ограниченной последовательности.
Расширенный вариант первой формулировки[править | править вики-текст]
Нередко теорему Больцано — Вейерштрасса дополняют следующим предложением.
Если последовательность точек пространства Rn неограничена, то из неё можно выделить подпоследовательность, имеющую предел ∞.
Для случая n=1 эту формулировку можно уточнить: из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить подпоследовательность, имеющую пределом бесконечность определенного знака (+∞ или −∞).
Таким образом, всякая числовая последовательность содержит подпоследовательность, имеющую предел в расширенном множестве действительных чисел R¯¯¯.
Вторая формулировка[править | править вики-текст]
Следующее предложение является альтернативной формулировкой теоремы Больцано — Вейерштрасса.
Всякое ограниченное бесконечное подмножество E пространства Rn имеет по крайней мере одну предельную точку в Rn.
Более подробно, это означает, что существует точка x0∈Rn, всякая окрестность Uε(x0) которой содержит бесконечное число точек множества E.