- •1.Типы матриц ( матрицы размера m*n , матрица-столбец, матрица-строка, квадратная матрица и ее порядок). Сложение и вычитание матриц . Умножение матрицы на число.
- •2.Транспонированние матрицы. Перемножение матриц. Единичная матрица.
- •4.Свойства определителей. Определитель произведения матриц.
- •5.Вырожденная матрица. Обратная матрица, её свойства, вычисление, теорема существования.
- •7.Матричная форма записи и матричный метод решения системы линейных уравнений.
- •8.Главный определитель системы и определители неизвестных. Теорема Крамера
- •11.Отображения ( функция), область определения, образы множеств при отображении , множество значений функции и её график.
- •14.Предел последовательности. Геометрический смысл. Теорема пределе константы.
- •16.Ограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
- •18.Бесконечно- малые величины и их свойства. Теорема о структуре сходящейся прямой.
- •19.Бесконечно большие велечины,теорема о связи с бесконечно малыми. Ответ Бесконечно большая[править | править вики-текст]
- •21.Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Бесконечные пределы. Примеры.
- •1.Ограниченность функции.
- •2. Предел функции в точке.
- •3. Односторонние пределы.
- •4. Бесконечный предел.
- •22.Свойства предела функции 7 теорем.
- •23.Эквивалентные бесконечно-малые, критерий эквивалентности.
- •25.Односторонние пределы, теорема, примеры.
- •26.Непрерывность функции, геометрический смысл , критерий непрерывности.
- •27.Свойства функций непрерывных в точке. Арифметические свойства непрерывных функций. Ответ: Свойства функций, непрерывных в точке
- •30.Первый замечательный предел. Следствие. Ответ: Первый замечательный предел[править | править вики-текст]
- •31.Число e. Натуральные логарифмы. Второй замечательный предел. Следствие.
- •32.Замечательный предел для логарифмической, показательной и степенной функции. Следствия. Ответ: Замечательный тригонометрический предел Править
- •33.Теоремы Больцан-Коши и Вейерштрасса.
19.Бесконечно большие велечины,теорема о связи с бесконечно малыми. Ответ Бесконечно большая[править | править вики-текст]
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx, неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при x→+∞.
Последовательность an называется бесконечно большой, если limn→∞an=∞.
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если limx→x0f(x)=∞.
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если limx→+∞f(x)=∞ либо limx→−∞f(x)=∞.
1. Сумма сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов исходных последовательностей.
Доказательство .
Пусть xn→a, yn→b, xn= a+ αn, αn - бесконечно малая последовательность, yn= b+βn, βn - бесконечно малая последовательность.
xn+yn= (a+b) + (αn+βn)
xn+yn→a+b
2. Если xn→a, yn→b, то xn−yn→a−b
3. Если xn→a, yn→b, то xn∗yn→a∗b
Доказательство .
xn= a+ αn, αn - бесконечно малая последовательность, yn= b+βn, βn - бесконечно малая последовательность.
xn∗yn = (a+αn) ∗ (b+βn) = a∗b + a∗βn + b∗αn + αn∗βn = a∗b + γn, где γn = a∗βn+b∗αn+αn∗βn
xn∗yn→a∗b
Лемма . Если yn→b ≠ 0, то начиная с некоторого номера определена последовательность 1/(yn) которая является ограниченной.
Доказательство .
Положим ε = ∣b∣/2
При n>N(ε) ∣yn−b∣ < ε= ∣b∣/2
∣b∣=∣(b−yn)+yn∣≤∣b−yn∣+∣yn∣<∣b∣/2+∣yn∣ при n>N(ε)
∣yn∣>∣b∣/2 при n>N(ε)
1/∣yn∣<2/∣b∣
4. Если xn→a, yn→b ≠ 0, то xn/yn = a/b
Доказательство .
В силу леммы начиная с некоторого номера N элементы последовательности {1/yn} ограничена. Сэтого номера будем рассматривать последовательность {xnyn}
{xnyn}−a/b= xn∗b−a∗ynyn∗b = 1yn ∗(xn−yn∗ab)
xn=a+αn, αn - бесконечно малая последовательность.
yn=b+βn, βn - бесконечно малая последовательность.
xn−ab∗yn=a+αn−ab∗(b+βn)=a+αn−a−ab∗βn - бесконечно малая последовательность.
xnyn=ab
21.Предел функции в точке. Предел функции на бесконечности. Бесконечные пределы. Примеры.
1.Ограниченность функции.
Функция f(x) называется ограниченной на данном промежутке (a,b), если существуют некоторые числа m и M такие, что
m ≤ f(x) ≤ M
при хє(a,b).
Число mo= inf {f(x)} [x є (a,b)] = max m называется нижней гранью функции ,
а число Mo= sup {f(x)} [x є (a,b)]=min M называется верхней гранью функции на данном промежутке (a,b).
Разность Mo- mo называется колебанием функции на промежутке (a,b).
2. Предел функции в точке.
Пусть функция f(x)определена на множестве X = {x}, имеющем точку сгущения (предельную точку) a. Запись
обозначает, что для любого числа ε > 0 cуществует число δ = δ (ε) > 0 такое, что для всех x, для которых f(x) имеет смысл и которые удовлетворяют условию 0 < |x - a| < δ, справедливо неравенство:
|f(x )- A |< ε.
Имеют место два замечательных предела:
1)
2)
Критерий Коши:
Предел функции f(x) в точке a существует тогда и только тогда, если для каждого ε > 0 найдется такое δ = δ (ε) >0, что
|f(x' ) - f(x" )| < ε,
как только 0 < |x' - a| < δ и 0 < |x' - a| < δ, где x' и x" - любые точки из области определения функции f(x).