16.Ограниченные последовательности. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.

Ответ: Последовательность называетсяограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера,

Последовательность называетсяограниченной снизу, если существует такое число , что для любого номера,

Последовательность называетсяограниченной, если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число , что для любого номера,

Последовательность называетсянеограниченной, если существует такое число , что существует такой номер, что

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности

Если последовательность имеет конечный предел, то последовательность ограничена.

Определение. Числовая последовательность {xn} ограничена, если существует такое конечное число К, что для всех n выполнено

d (xn, a ) < K.

Доказательство. Пусть

Тогда

N: n > N: d (xn, a) < 1.

Внутри окрестности радиуса R = 1 бесконечное число точек, а вне этой окрестности конечное число точек, допустим, что это точки x1, x2, … xN. Выберем число

,

тогда уже для всех n будет выполнено

d (xn, a ) < K.

17.переход к приделу в неравенстве( 2 теоремы). Единственность предела. Теорема о сжатой переменной.

Ответ: Пусть заданы две последовательности и. Еслии, начиная с некоторого номера,, то выполняется неравенство:

Теорема

(Принцип двустороннего ограничения, теорема о двух милиционерах, теорема сжатия, правило сэндвича, теорема о трех струнах).

Если и существует номер, что для любоговыполняется неравенство, топоследовательность сходится, причем

Единственность предела последовательности

    Докажем теорему о единственности предела последовательности.

    Теорема 1. Последовательность точек расширенной числовой прямой может иметь на этой прямой только один предел.

Рис. 49

 Допустим противное. Пусть существует такая последовательность x_n , n = 1, 2, ..., что=a  и =b, причем a b, a , b . Возьмем какие-либо непересекающиеся окрестности U = U(а) и V = V(b) точек а и b (рис. 49): U  V = . Согласно определению предела вне окрестностиU точки а, в частности в окрестности V точки b, содержится лишь конечное число членов последовательности {x_n}. Однако точка b также является ее пределом, и потому в ее окрестности Vдолжны находиться все члены последовательности {x_n}, начиная с некоторого номера, а следовательно, бесконечно много ее членов. Получилось противоречие. 

ТЕОРЕМА №6: (о сжатой переменной).

Пусть, начиная с некоторого , выполняются неравенства, причем крайние переменные имеют одинаковый конечный предел, тогда переменнаятакже имеет предел, причем тот же самый.

Доказательство:

Возьмём любое , по определению предела начиная с некоторого номерабудут выполняться неравенства:

 и 

В силу неравенств (*) выполняется неравенство (начиная с некоторого номера ):

Это и означает, что переменная имеет пределом.

, ч. т. д.

18.Бесконечно- малые величины и их свойства. Теорема о структуре сходящейся прямой.

Ответ: БЕСКОНЕЧНО МАЛЫЕ И ИХ СВОЙСТВА  

Функция α(х) называется бесконечно малой при , если,

т. е. для любого числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 

, 

выполняется неравенство 

 . 

 

Бесконечно малую функцию α(х) называют бесконечно малой величиной или просто  бесконечно малой.  

Функция f (х) называется ограниченной при , если существуют положительные числаМ и δ, такие, что при условии  , выполняется неравенство.

 

Например, любая бесконечно малая α(х) является  ограниченной функцией при .

В дальнейшем будем рассматривать  бесконечно малые при .

Свойства бесконечно малых.  

1. Если функции иявляются  бесконечно малыми, то функциятакже есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на случай  алгебраической суммы любого конечного числа бесконечно малых.

2. Произведение ограниченной при функции на бесконечно малую есть функция бесконечно малая.

3. Произведение постоянной на бесконечно малую есть бесконечно малая.  

4. Произведение двух бесконечно малых есть бесконечно малая. Это свойство распространяется на любое  конечное число бесконечно малых.  

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {x_n}. Тогда, используя специальное представление для элементов x_n сходящейся последовательности {x_n}, получим x_n=а+a_n, x_n=b+b_n, где a_n и b_n– элементы бесконечно малых последовательностей {a_n} и {b_n}.

Вычитая данные соотношения, найдем a_n-b_n=b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {a_n-b_n} имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {a_n} равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {x_n} - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

               x_n=а+a_n,

где a_n- элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {a_n} ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |a_n|£А. Поэтому | x_n | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {x_n}. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей  {x_n-a} и {x_n+1-a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(x_n-a) – (x_n+1-a)}={x_n– x_n+1} была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |x_n– x_n+1| = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {х_n} и {y_n} есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х_n} и {y_n}.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n} и {y_n}. Тогда:

               x_n=а+a_n,        y_n=b+b_n,

где {a_n} и {b_n) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n + y_n) - (а + b) =a_n+b_n.

Таким образом, последовательность {(х_n + y_n) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n + y_n} сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.