3. Односторонние пределы.

Число A' называется пределом слева функции f(x) в точке a:

если

|A' - f(x)| < ε при 0 < a - x < δ (ε).

Аналогично, число A" называется пределом справа функции f(x) в точке a:

если

|A" - f(x) |< ε при 0 < x - a < δ (ε).

Для  существования предела функции в точке необходимо и достаточно, чтобы

f (a - 0) = f(a + 0).

4. Бесконечный предел.

Условная запись

обозначает, что для любого E > 0 справедливо неравенство:

|f(x)| > E, если только 0 < |x - a| < δ (E) .

22.Свойства предела функции 7 теорем.

Ответ:

бозначение предела

Предел функции обозначается как или через символ предела:.  Всюду ниже предполагается, что пределы функцийсуществуют.

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Расширенное правило суммы

Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Расширенное правило произведения

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции

где степень p - действительное число. В частности,

Если f ( x ) = x, то

Предел показательной функции

где основание a > 0. 

Предел логарифмической функции

где основание a > 0. 

Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что для всехx близких к a, за исключением, быть может, самой точкиx = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L. 

   Пример 1

Найти предел .

Решение.

      

   Пример 2

Найти предел .

Решение.

Используя основные свойства пределов (правило суммы, правило частного и предел степенной функции), получаем

      

   Пример 3

Зная, что и, вычислить предел.

Решение.

      

   Пример 4

Вычислить предел .

Решение.

Известно, что для всехx. Тогда можно записать

      

Разделив это неравенство на 2x − 7 > 0, получаем

      

(Поскольку мы рассматриваем большие и положительные значения x, и, следовательно, 2x − 7 > 0, то знаки неравенства при делении не изменяются.) Выполняя предельный переход, получаем

      

Вычислим левый и правый пределы:

      

Отсюда, по теореме о "двух милиционерах" следует, что

      

   Пример 5

Вычислить предел .

Решение.

Известно, что для всехx. Тогда

      

Вычтем 5x из всех частей неравенства.

      

Разделив на , получаем

      

(Знаки неравенства при этом не меняются, поскольку является положительным числом при.)  Вычислим левый и правый пределы.

      

Как видно, оба предела равны друг другу. Следовательно, по теореме "o двух милиционерах"