22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины

Непрерывную случайную величину можно задать функцией распределения, однако можно использовать и плотностью распределения.

Плотностью распределениявероятностей непрерывной случайной величиныХназывают производную от функции распределения:

Для описания распределения вероятностей дискретной случайной величины плотность распределения неприменима.

Теорема.Вероятность того, что непрерывная случайная величинаХпримет значение, принадлежащее интервалу (a,b), равно, т.е.Р(a<Х<b) =.

Доказательство:

Если известна функция распределения, то Р(a  X  b) = F(b) – F(a). По формуле Ньютона-Лейбница:F(b) – F(a) = =,а Р(a  X  b) = Р(a < X < b).

Пример.Дана плотность вероятности:

.

Найти вероятность того, что в результате испытания Хпримет значение(0,5; 1).

Р(0,5 < X < 1) = =0,75.

Функцию распределения можно найти по плотности распределения: F(x)=.Действительно,F(x) = P(X<x) илиF(x) = P(–< X< x), тогда .

По известной функции распределения можно найти плотность: .

Пример. НайтиF(x), если.

Если x  a,f(x) = 0, то, если: .Если, то.

Свойства f(X)

1 . f(x)0, т.к. F(x) – неубывающая функция, поэтому,0.

2. =1. Этот интеграл выражает вероятность события, состоящего в том, что случайная величина примет значение (–;) – достоверное событие, поэтомур = 1.

Вероятностный смысл , тогда:

– вероятность того, что случайная величина примет значение.

22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Распространим определение числовых характеристик дискретных случайных величин на величины непрерывные.

Математическое ожидание М(x). ПустьХзадана плотностью распределенияf(x). Допустим, что все возможные значенияХ  [a,b]. Разобьем его наnотрезкови выберем на каждом произвольную точку

Тогда . Переходя к пределу, получим:. Если возможные значения случайной величины принадлежатR, то, предполагаем, что этот интеграл сходится.

Дисперсия дискретной случайной величины: Поступим аналогично:. ЕслиХ (–;), то. Более удобная формула:.

Аналогично: – среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины. СвойстваМ(X) иD(X) сохраняются для непрерывных случайных величин.

22.10. Закон равномерного распределения

При решении практических задач приходиться сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотности распределения непрерывных случайных величин называют также законами распределений. Часто встречаются законы равномерного, нормального и показательного распределений.

Рассмотрим равномерное распределение. Распределение вероятностей называется равномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значения случайных величин, плотность распределения постоянная.

Пример. Шкала измерительного прибора. Ошибка при округлении отсчета – случайная величина Х, которая можно принимать с постоянной плотностью вероятности любое значение между двумя соседними целыми значениями, т.е.Химеет равномерное распределение.

Найдем f(x) считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале (a,b).Хпринимает все значения(a,b), поэтомуf(x) = 0 приx < aиx > b. Значениеf =const= с найдем из условия нормировки:=1,,.

, функция распределения:.