- •Раздел VIII. Теория вероятностей
- •Глава 21. Случайные события
- •21.1. Понятие события
- •21.2. Классическое определение вероятности
- •21.3. Элементы комбинаторики
- •21.4. Геометрическая и статистическая вероятности
- •21.5. Теоремы умножения вероятностей
- •21.6. Вероятность появления хотя бы одного события
- •21.7. Теорема сложения вероятностей
- •21.8. Формула полной вероятности
- •21.9. Формула Байеса (Бейеса)
- •21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли
- •21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона
- •Формула Пуассона
- •21.12. Интегральная теорема Лапласа
- •Глава 22. Случайные величины
- •22.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины
- •22.2. Биноминальное, геометрическое и гипергеометрическое распределения Биноминальное распределение
- •Геометрическое распределение
- •Гипергеометрическое распределение
- •22.3. Распределение Пуассона. Простейший поток событий
- •Простейший поток событий
- •22.4. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства
- •Вероятностный смысл математического ожидания
- •Свойства м(х)
- •22.5. Дисперсия случайной дискретной величины и ее свойства
- •Свойства дисперсии
- •22.6. Среднее квадратичное отклонение. Начальные и центральные теоретические моменты
- •Начальные и центральные теоретические моменты
- •22.7. Функция распределения вероятностей случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.8. Плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины
- •Свойства f(X)
- •22.9. Числовые характеристики непрерывных случайных величин
- •22.10. Закон равномерного распределения
- •22.11 Нормальное распределение
- •Вероятность попадания в заданный интервал
- •Вычисление вероятности заданного отклонения
- •22.12. Показательное распределение
- •Показательный закон надежности
- •Функция надежности
- •22.13. Закон больших чисел. Лемма Маркова
- •Лемма Маркова (лемма Чебышева)
- •22.14. Неравенство и теорема Чебышева
- •22.15. Теорема Бернулли
- •22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
- •Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
- •22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин
- •Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины
- •Функции распределения двумерной случайной величины
- •22.18. Вероятность попадания случайной величины в полуполосу и прямоугольник
- •Плотность совместного распределения вероятностей непрерывной двумерной случайной величины
- •Вариационный ряд
- •23.2. Точечные оценки
- •Основные точечные оценки
- •23.3 Интервальные оценки для генеральной средней
- •Интервальные оценки для генеральной средней с известным s
- •Интервальная оценка для генеральной средней с неизвестным s
- •23.4. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли
- •Интервальная оценка для генеральной доли
- •Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез
- •24.1. Статистическая проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о равенстве двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей
- •24.3. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с известными дисперсиями
- •. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей с неизвестными дисперсиями
- •24.5. Проверка гипотезы о нормальном законе распределения
- •Глава 25. Элементы теории корреляции.
- •25.1. Понятие корреляционной зависимости
- •25.2 Отыскание параметров выборочного уравнения регрессии по несгруппированным данным
- •25.3. Отыскание параметров выборочного уравнения прямой линии регрессии по сгруппирированным данным Корреляционная таблица
22.16. Функция одного случайного аргумента и ее распределение
Если каждому возможному значения случайной величины Хсоответствует одно возможное значение случайной величиныY, тоY– функция отX: Y=j(X).
Найдем закон распределения вероятностей функции по известному распределению дискретного и непрерывного аргумента.
1) Если X– дискретная величина. Найти распределениеY=X2. Вероятности соответствующих значенийXи Yравны:
Х 2 3 Р 0,6 0,4
Y 4 9 Р 0,6 0,4
2) Пусть X– непрерывная случайная величина.
Пусть Y=j(X)и плотность распределенияf(x)известна, тогда, где– обратная функция для функцииу=j(х), которая должна быть дифференцируемой и строго возрастающей или убывающей функцией.
Математическое ожидание функции одного случайного аргумента
Пусть Y=j(X) – функция случайного аргументаХ. НайдемM(Y).
Пусть Хдискретная случайная величина:с вероятностью,Y– тоже дискретная случайная величина со значениями:с вероятностью. Тогда
Пусть X– непрерывная случайная величина, заданная плотностьюf(x).
а) можно найти g(y) – плотность распределения величиныYи , однако проще: .
22.17. Закон распределения вероятностей и функция распределения двумерных случайных величин
До сих пор мы рассматривали случайные величины, возможные значения которых определялись одним числом – одномерные. Кроме одномерных случайных величин изучают величины, возможные значения которых определяются 2, 3,…, nчислами. Такие величины называются двумерными, трехмерными, …,n-мерными.
Будем обозначать через (X, Y) двумерную случайную величину. Каждую из величинX,Yназывают компонентами (составляющими); обе величиныXиY, рассматриваемые одновременно, образуют систему двух случайных величин.
Пример: станок штампует плитки. Если контролировать длину Xи ширинуY– то имеем двухмерную случайную величину (X,Y).
Закон распределения вероятностей дискретной двумерной величины
Закон распределения дискретной двумерной случайной величины – перечень возможных значений этой величины, т.е. пары чисел и их вероятностей .
Х | ||||||
… |
… | |||||
|
| |||||
… |
|
|
|
|
|
|
|
| |||||
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
События (Х=,=) образуют полную группу, поэтому сумма вероятностей, помещенных в таблице, равна 1. Можно найти законы распределения каждой составляющей. События (Х=,=), (Х=,=),…,(Х=,=) несовместны, поэтому- вероятность того, чтоХпримет значение равно сумме вероятностей «столбца ».– просуммировать вероятности «столбца ». Аналогично,равно сумме вероятности строки.
Функции распределения двумерной случайной величины
Функцией распределения двумерной случайной величины (X, Y) называют, определяющую вероятность того, чтоX<x, Y<y:F(x,y)=P(X<x, Y<y).
Свойства:
1. – вероятность.
2. – неубывающая функция по каждому аргументу, т.е., если;если.
3. Предельные соотношения: ,,.
4. ,.
При функция распределения системыстановится функцией распределения составляющейХ; прифункция распределения системы становится функцией распределения составляющейY.