21.9. Формула Байеса (Бейеса)

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Н,Н, …,Н, вероятности которыхP(Hизвестны до опыта. Производится опыт, в результате которого зарегистрировано событиеА. Известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определенные вероятностиP. Какими стали вероятности этих гипотез после опыта? Поскольку событиеАпроизошло, следует отбросить гипотезы, отрицающие появлениеА. По новой информации надо переоценить вероятности гипотез, т.е. определить .

По теореме умножения вероятностей: .

(i= 1,…,n). Это – формула Байеса, где– вероятность появления событияА.

Пример.Вероятность поражения цели при одном выстреле для первого орудия – 0,2 , для второго – 0,1. Каждое орудие произвело по одному выстрелу, одно попало в цель. Какова вероятность, что удачный выстрел совершило первое орудие?

Событие А– попадание в цель. ГипотезаН- оба орудия попали в цель;Н₂– 1 не попало, 2 попало (НП);Н₃– 1 попало, 2 не попало (ПН);Н₄ – оба не попали (НН). Поскольку события независимые: (.

, т.е. гипотезыНиН₄– отпали. По формуле Байеса:

– вероятность того, что попало второе орудие;– вероятность того, что попало первое орудие.

21.10. Повторение испытаний. Формула Бернулли

Событие А называетсянезависимымв данной системе испытаний, если вероятность этого события в каждом из них не зависит от исходов других испытаний. Тогда считаем, что вероятность появления событияАв каждом испытании постоянна и равнар.

Определим вероятность того, что приnнезависимых испытаниях событиеА, имеющее одну и ту же вероятностьрдля каждого отдельного испытания, появится ровноk раз, безразлично в какой последовательности. Для каждого испытания имеется два исхода:Аи. Значит, если событиеАвстречаетсяkраз, то– (n–k) раз. Вероятность реализации такой благоприятной серии:Все благоприятные серии получаются в результате выбора различныхkномеров из общего числаn, т.е. . Напомним, что число сочетаний. Тогда по теореме сложения для несовместных событий:

Пример. Найти вероятность того, что при 10 кратном бросании монеты герб выпадет 5 раз.

,,.

При решении задач удобно использовать следующее.

Вероятность того, что в nиспытаниях событие наступит:

менее k раз:,не менее k раз:,

более k раз:,не более k раз:.

21.11. Локальная теорема Лапласа. Формула Пуассона

Если число испытаний nвелико (n> 20), то вычисления по формуле Бернулли громоздкие. Например,. Лаплас получил приближенную формулу:, где. Функциятабулированная, т.е. имеется таблица значений функции.

Очевидно, что – функция четная.

Пример. Вероятность поражения цели стрелком при одиночном выстрелер= 0,2. Найти вероятность того, что из 100 выстрелов будет ровно 20 попаданий.

р= 0,2,q= 1 – 0,2 = 0,8 ,n= 100,k= 20, .

(таблица 1), тогда

Вероятность малая, поскольку ровно 20 раз. Почти достоверное событие - около 20 раз.

Формула Пуассона

Если р = const, но близка к нулю (или) , аnдостаточно велико, причем, то вероятность того, что вn испытаниях событиеАнаступитkраз: .

Пример. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

n= 1000,k= 5,=n ^.p = 4. По таблице значений функции Пуассона:, по таблице Лапласа вероятность равна 0,1763. Точное значение вероятности равно 0,1562.