21.6. Вероятность появления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n независимых событий, либо некоторые из них, либо ни одного события. Считаем вероятности появления каждого из событийизвестными и равными. Тогда вероятности противоположных событийобозначим. Появление хотя бы одного события – это появление одного, двух, ..,n событий.

Теорема.Вероятность появления хотя бы одного из независимых событийравна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий:.

Пусть А– появление хотя бы одного из событий. СобытияА и(ни одно из событий не произошло) – противоположные, поэтому. По теореме умножения.

Следствие.Если событияимеют одинаковую вероятностьр, то вероятность появления хотя бы одного события

Пример.Вероятность попадания в мишень для трех стрелков 0,6; 0,7; 0,8 соответственно. Найти вероятность хот бы одного попадания при одном залпе.

Пусть – попал в мишень первый, второй и третий стрелок. СобытиеА –хотя бы одно попадание в мишень. Тогда

21.7. Теорема сложения вероятностей

Суммойили объединениемАиВназывается событиеС, состоящее в наступлении событияА, или событияВили событийАиВвместе:С=А+В.

Теорема.Вероятность суммы конечного числанесовместныхсобытий равна сумме их вероятностей.

Докажем для двух событий. Пусть из общего числа nслучаев событиюАблагоприятствуетkслучаев, а событиюВ–lслучаев. Тогда

По условию, события АиВнесовместимы. Следовательно, ни один изkслучаев, благоприятствующихА, не благоприятствуетВ. СуммеА+Вблагоприятствуетk+lслучаев изn, поэтомуМетодом математической индукции теорему можно обобщить на произвольное число несовместных событий.

Теорема.Вероятность суммы совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения:.

Для доказательства следует рассмотреть диаграмму Виена.

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна 1.

Событие 2.Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т.е.

21.8. Формула полной вероятности

Пусть событие А может произойти в результате появления одного и только одного события Низ некоторой полной группы несовместных событий (полная система).Нобычно называют гипотезами.

Теорема.Вероятность событияА, которое может наступить при появлении одной из гипотезН, равна сумме парных произведений вероятностей всех гипотез на соответствующие условие вероятности данного события А, т.е..

Доказательство.СобытиеАравносильно тому, что произойдетАиН, либоАиН, либоАиН,…, либоАиН. Тогда по теоремам сложения (несовместных событий) и умножения

Пример. На конвейер поступает продукция трех станков (50% –I, 30% –II, 20% –III). Брак составляет для первого станка 2%, для 2^го– 3%, для 3^го– 5%. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь будет доброкачественной.

Событие А– деталь доброкачественная. Возможны гипотезы:Н,Н,Н– взятое изделие изготовлено наI,II,IIIстанках.P– вероятность взять доброкачественное изделие, изготовленное 1^мстанком:P= 1–0,02 = 0,98, аналогично, ,P= 1–0,05 = 0,95. Вероятности гипотез даны по условию:P(H,P(H,P(H.

По формуле полной вероятности: