21.2. Классическое определение вероятности

Пусть в урне содержится 6 одинаковых шаров, причем 3 из них – красные, 2 – синие и 1 – белый. Очевидно, что возможность вынуть из урны цветной шар больше, чем белый. Оказывается, что можно охарактеризовать эту возможность числом, которое и будет называться вероятностью появления цветного шара. Появление цветного шара будем рассматривать как событие А. Каждый из возможных результатов испытаний назовем элементарным исходом (элементарным событием). В этом примере возможны 6 элементарных исходов: – появился белый шар,– появился красный шар,– появился синий шар. Эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий и они равновозможные, т.к. нет оснований считать, что появление какого-нибудь из шаров предпочтительнее. Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В примере событиюАблагоприятствуют 5 исходов:. СобытиеАподразделяется на несколько элементарных исходов, элементарное событие не подразделяется на другие события. Отношение числа благоприятствующих исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают. В примере.

Вероятностью события А называется отношение числаmблагоприятствующих исходов к числу всех возможных исходовn, образующих полную группу, т.е.– классическое определение вероятности. Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу.

Пример. Пусть из 100 деталей – 97 стандартных, 3 бракованных. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь будет стандартной.

Пусть событие А– взята стандартная деталь. При взятии 1 детали возможны 100 различных исходов (событий). СобытиюАблагоприятствуют 97 исходов. Тогда

Свойства вероятности:

1. Вероятность любого события есть неотрицательное число, не превосходящее 1, 0m n,, 0 p(A) 1.

2. Вероятность достоверного события равна 1.

m = n,Р(U) = 1.

3. Вероятность невозможного события равна 0.

m= 0,P(V) = 0.

Относительная частота (частость) – отношение числаmпоявлений данного событияАк общему числуnпроведенных одинаковых испытаний, в каждом из которых точно появится или не появится данное событие .

Опыт показывает, что если число испытаний в каждой серии невелико, то относительные частоты в серии могут существенно отличаются. Если же число опытов в сериях велико, то, как правило, относительные частоты отличаются мало.

При неограниченном увеличении числа опытов nотносительная частота событияА стремится к вероятности событияA.

21.3. Элементы комбинаторики

Иногда необходимо из конечного множества элементов по заданным правилам составлять различные комбинации и производить подсчет числа комбинаций. Такие задачи называются комбинаторными, раздел математики – комбинаторикой. Комбинаторика широко применяется в теории вероятности, теории управляющих систем и вычислительных машин и т.д.

1. Размещения.

Пусть дано множество из nэлементов.Размещенияминазывают комбинации, составленные изn элементов поm(0m n) элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком.

Число размещений илиA=. Полагаем, что 0! = 1.

Пример.Из 30 учащихся надо выбрать комсорга, профорга, старосту. В группе все комсомольцы и члены профсоюза. Сколькими способами можно это сделать?

A= 30^.29^. 28 = 24360.

2. Перестановки.

Перестановкой из nэлементов называется размещение изnэлементов поnэлементов.

Отличаются друг от друга только порядком следования.

Пример.Сколькими способами можно расставить на 1 полке 6 книг?

P= 6! = 720.

3. Сочетания

Сочетаниями называют комбинации из nэлементов поmэлементов (0m n), которые отличаются хотя бы одним элементом.

Различаются неодинаковым составом элементов. Если отличаются лишь порядком следования элементов, то множества не считаются различными.

Число сочетаний: .

Пример.В бригаде 25 человек. Необходимо выделить 4 человека для работы. Сколькими способами это можно сделать?

Так как порядок выбранных рабочих не имеет значения, то

C= .

4. Размещениями с повторениями называют упорядоченные последовательности, составленные из nэлементов поmв каждом, где некоторые элементы (или все) могут быть одинаковы. Число размещений с повторениями равно:.

Пример.Сколькими способами можно распределить 6 пассажиров лифта по 3 этажам?

На каждом из 3 этажей может выйти любое число пассажиров, поэтому число способов равно

5. Пусть размещения с повторениями содержатnэлементов и при этом элемента₁повторяетсяn₁раз,аповторяетсяnраз, …,раз,. Такие упорядоченные последовательности называютсяперестановками с повторениями. Число их равно

.

6. Если опыт состоит в выборе с возвращением mэлементов множества, содержащегоn элементов, но без упорядочивания, то различными исходами этого опыта будут всевозможныеm–элементные наборы, отличающиеся составом. При этом отдельные наборы могут содержать повторяющиеся элементы. Получающиеся комбинации называетсясочетаниями с повторениями. Их число .

Пример.В кондитерской имеются 8 видов пирожных. Сколько различных наборов по 3 пирожных можно составить?

Порядок следования не учитывается, поэтому

Кроме того, при решении комбинаторных задач используют следующие правила.

Правило сумм.Если некоторый объектАможет быть выбран из совокупности соответствующих объектовm способами, а другой объектВможет быть выбранn способами, то выбрать либоА, либоВможноспособами.

Правило произведений.Если объектАможет быть выбран из совокупности объектовm способами и после каждого такого выбора объектВ можно выбратьn способами, то пара объектов (А, В) в указанном порядке может быть выбранаспособами.