22.11 Нормальное распределение

Нормальным распределением называется распределение вероятностей непрерывных случайных величин, которые описываются плотностью распределения . Нормальное распределения определяются параметрамиаи. Покажем, чтоa=M(X) ,.

. Введем: ,x =  Z+a, dx =  dZ, Первое слагаемое равно нулю, т.к. функциянечетная, пределы интегрирования симметричны относительно начала координат,(это – интеграл Пуассона). Таким образом,M(X) = a.

. Пустьтогда

,

т

f(x)

=1

огда.

=3

0

a

x

График нормального распределения.

Вероятность попадания в заданный интервал

. Пусть .

, гдефункция Лапласа (табулирована).

Вычисление вероятности заданного отклонения

Часто требуется найти вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины Хот математического ожидания по модулю меньше данного > 0.

P( | x – a | < ) = P( a –  < x < a + ) = –=P( | x – a | <) = 2. Еслиa = 0, тоР( | x | <  ) = 2.

Правило 3^хсигм: если = 3, то.

Пример. Случайная величинаХраспределена нормально сМ(x) = 20, (x) = 10. Найти вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величиныХот математического ожидания по модулю будет меньше 3.

P(| x – 20 | < 3 ) = 2.

22.12. Показательное распределение

Показательным распределением называют распределение вероятностей случайных величин Х, которое описывается плотностью

, где > 0 –const.

Показательное распределение описывается одним параметром , в этом его преимущество.

Функция распределения:

.

Вероятность попадания в интервал (a,b) непрерывной случайной величиныХ, распределенной по показательному закону:(– по таблице).

Математическое ожидание:

.

Дисперсия:

Среднее квадратическое отклонение: .

, что позволяет определить, является ли закон распределения показательным.

Показательный закон надежности

Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение с функцией распределения , тогда функция надежности:.

Показательным законом надежности называют функцию надежности, определяемую равенством , где– интенсивность отказов.

Эта формула позволяет найти вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью t.

Свойство.

Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью tне зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времениt. Этим свойством обладаюттолькопоказательные распределения.

Функция надежности

Пусть элемент – это некоторое устройство. Пусть элемент начал работать в момент времени t_о=0, а по истечении времениtпроисходит отказ. Обозначим черезTнепрерывную случайную величину – длительность безотказной работы элемента. Если элемент проработал безотказно (до наступления отказа) время меньшеt, то, следовательно, за время длительностьюtнаступит отказ. Функция распределенияF(t) = P(T<t) определяет вероятность отказа за времяt. Вероятность безотказной работы, т.е. противоположного события (T> t), равна:R(t) = P(T>t) = 1 – F(t).

Функция надежности R(t) – функция, определяющая вероятность безотказной работы элемента за времяt:R(t) = P(T>t).

Пример. Время безотказной работы элемента распределено по показательному законупри. Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

По условию, Тогда– искомая вероятность безотказной работы.