23.4. Интервальные оценки для генеральной дисперсии, среднего квадратического отклонения и генеральной доли

Пусть из генеральной совокупности, распределенной по нормальному закону , взята выборка объемаnи вычислена исправленная выборочная дисперсия. Требуется определить с надежностьюgинтервальные оценки дляs ²иs.

Случайная величина имеет распределение Пирсона () с степенями свободы. Имеем:.

По таблице - распределения нужно выбрать такиеи, чтобы площадь, заключенная под графиком плотности распределениямеждуи, была равна. Обычно:.

Тогда: Поскольку таблица содержит лишь, тотогда из

:, т.е.Эта формула используется при решении обратной задачи – нахождение доверительной вероятности по заданному доверительному интервалу генеральной дисперсии.инаходим из равенств:Запишем неравенство из:и преобразуем его:.

Если , то доверительный интервал дляs:. Если, то, гдеопределяется по таблице функции Лапласа:

Можно по упрощенной формуле (Гмурман): , где параметрнаходят по таблице приложения 4 (Гмурман) по заданнымn и g.

Пример.По результатам контроляn = 9 деталей вычисленомм. В предположении, что ошибка распределена нормально, определить приg = 0,95 доверительный интервал дляs.

;.

По таблице для ,, (мм).

Интервальная оценка для генеральной доли

Пусть в nнезависимых испытаниях событиеА, вероятность появления которого равнар, имело местоmраз(), тогда границы доверительного интервала для генеральной доли:, гдеопределяется по таблице Лапласа:

Пример. При испытании зерна на всхожесть из 400 зерен проросло 384. С надежностьюg = 0,98 определить доверительный интервал для генеральной долир.

,(Лаплас),, точность оценки:;.

Глава 24. Статистическая проверка статистических гипотез

24.1. Статистическая проверка статистических гипотез

Статистической называют гипотезу о виде неизвестного распределения или о параметрах известных распределений.

Нулевой (основной) называют выдвинутую гипотезу .

Конкурирующей называют гипотезу Н₁, которая противоречит нулевой. Если выдвинутая гипотеза будет отвергнута, то имеет место конкурирующая гипотеза.

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, т.е. ее необходимо проверять. В итоге статистической проверки гипотез в двух случаях может быть принято неправильное решение:

• ошибка 1 рода – будет отвергнута правильная гипотеза;

• ошибка 2 рода – будет принята неправильная гипотеза.

Для проверки статистической гипотезы используют статистический критерий, т.е. правило, устанавливающее условия, при которых проверяемую гипотезу следует либо принять, либо отвергнуть. Основу критерия составляет специальная случайная величина (статистика) Kс известным законом распределения. Задаваясь уровнем значимости, т.е. вероятностью совершить ошибку 1 рода, критерий позволяет разбить все множество значений статистики на 2 непересекающихся подмножества: область принятия гипотезы и критическую область (область отклонения гипотезы).

Основной принцип проверки гипотезы: если значение статистики, рассчитанное для выборки, попадает в критическую область, то гипотезу отвергают, в противном случае – гипотезу принимают. В зависимости от вида конкурирующей гипотезы Н₁ выбирают:

1. правостороннюю критическую область . Критическое значение статистикивычисляем из условия.

2. левостороннюю критическую область: ,.

3. двухсторонняя критическая область: Обычно считают, что,и если критические точки симметричны относительно нуля, то.

Схема проверки гипотез

1. По условию задачи формулируют основную и конкурирующую гипотезы.

2. Задают величину уровня значимости a: 0,05; 0,01; 0,001.

3. Выбирают статистику, определяющую критерии проверки и выясняют ее закон распределения.

4. С помощью закона распределения статистики определяют при уровне значимостиa(т.е. границы критической области).

5. По результатам выборки вычисляют значение статистики . Еслипопадает в критическую область, то гипотезу отвергают, если нет – принимают.