- •22.N-мерный вектор, векторное пространство
- •23. Линейная зависимость и независимость векторов
- •24.Размерность и базис
- •25.Переход к новому базису
- •26.Скалярное произведение n-мерных векторов. Евклидово пространство
- •27.Норма вектора. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис.
- •28. Линейные операторы. Действия над операторами
- •29.Собственные векторы и собственные значения оператора. Характеристический многочлен
- •30.Диагональная матрица в базисе собственных векторов
- •31.Квадратичные формы
- •32.Каноническая форма квадратичной формы
- •33.Знакоопределенность квадратичной формы
- •34. Международная модель обмена
- •35.Линия на плоскости. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом и его частные случаи
- •36.Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •37.Каноническое и параметрическое уравнение прямой на плоскости
- •38.Уравнение прямой с угловым коэффициентом и уравнение в отрезках
- •39.Общее уравнение прямой и его исследование
- •40.Расстояние от прямой до точки на плоскости
- •2. Свойства определителей.
- •3.Миноры.Алгебраические дополнения. Определители n-го порядка.
- •4.Матрицы (определение, виды)
- •5.Действия над матрицами
- •6.Обратная матрица, алгоритм ее нахождения
- •7.Ранг матрицы. Метод нахождения ранга матрицы. Теорема Кронекера – Капели
- •8.Решение системы линейных уравнений матричным методом
- •9. Решение системы линейных уравнений методом Крамера
- •10. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
- •11.Решение произвольных систем линейных m уравнений с n неизвестными
- •12. Модель Леонтьева
- •13.Векторы. Линейные операции над векторами
- •14.Проекция вектора на ось
- •15.Координаты вектора в пространстве. Операция вектора.
- •16.Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису
- •17.Скалярное произведение векторов и его свойства
- •18. Выражение скалярного произведения векторов в декартовых координатах
- •19.Угол между векторами. Условие ортогональности векторов
- •20. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •21.Смешанное произведение векторов и его свойства
- •41.Взаимное расположение прямых на плоскости
- •42.Окружность и ее свойства
- •43.Эллипс и его свойства
- •44.Гипербола и ее свойства
- •45.Парабола и ее свойства
- •46.Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •47.Уравнение плоскости в пространстве
- •48.Взаимное расположение плоскостей в пространстве
- •49.Расстояние от точки до плоскости
- •50.Уравнение прямой в пространстве
- •51.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •52.Угол между прямыми в пространстве
- •53.Угол между прямой и плоскостью в пространстве
- •54.Взаимное расположение прямых в пространстве
- •55.Расстояние от очки до прямой в пространстве
22.N-мерный вектор, векторное пространство
n-вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде х=(х1,х2,….хn), xi-компоненты вектора
х=у, если равны xi=yi
суммой двух векторов одной размерности n называется вектор z = x + y, zi=xi+yi
Произведением вектора на число называется вектор λх=z, zi=λxi
Свойства операций над векторами:
1) x+y=y+x – сумма коммутативна
2) x+(y+z)=(x+y)+z – ассоциативна
3) α(β · x) = (α·β)·x – α и β действительные числа
4) α(х + y)= αx + αy – дистрибутивность
5) (α + β) х = αх + βх
6) О = (0,0,…0), х+О=х
7) (-х) – противоположный х
х+(-х) = 0
8) 1·х=х
Множество n-мерных векторов с действительными компонентами, удовлетворяющих свойствам называется векторным пространством R. Если под элементом множества понимать любые другие элементы, то такое пространство называется линейным.
23. Линейная зависимость и независимость векторов
аn называется линейной комбинацией векторов а1,а2,…аn-1, принадлежит R, если аn = λ1a1+λ2a2+…+λn-1an-1.
Если для векторов а1,а2,…аn из R выполняется аn = λ1a1+λ2a2+…+λnan=0, при любых λi одновременно не равных 0, векторы называются линейно-зависимыми. Если условие выполняется для λi не равных 0, векторы линейно-независимы.
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Теорема: Если векторы из пространства R линейно-зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией других векторов
24.Размерность и базис
Размерность и базис векторного пространства.
Векторное пространство R называется n-мерным, если в нем существует n линейно-независимых векторов, а любой n+1 – линейно-зависимый.
Множество n-независимых векторов Rn пространства называется базисом. Пусть векторы е1,е2,…еn – базис Rn, тогда для всех х принадлежащих R x = λ1e1+λ2e2+ …λnen (1). λi – координаты в базисе е1,е2,…еn. Выражение (1) – разложение вектора х по базису векторов еi. Такое разложение – единственное.
Теорема: если векторы е1,е2,…еn – линейно независимы в пространстве Rn и любой х из этого пространства выражается из них, то пространство называется R-n-мерным, а система векторов его базисом.
25.Переход к новому базису
26.Скалярное произведение n-мерных векторов. Евклидово пространство
Пусть заданы векторы Rn-пространства.
Скалярным произведением x и y называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов.
xy= ∑ xiyi = x1y1 + x2y2 + … + xnyn
Свойства:
1) коммутативно xy=yx
2) Ассоциативно x(y+z)=xy+xz
3) λ(x·y) =λxy, где λ – действительное число.
4) x·x>0, x не равно 0 ,
x2 = хх,
хх=0, х=0
Rn-пространство в котором определено скалярное произведение векторов удовлетворяющее свойствам 1-4 называется эвклидовым пространством.
27.Норма вектора. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис.
Норма вектора или длина вектора называется корень квадратный из скалярного произведения вектора на себя: |x| = √xx = √x12+x22…xn2
Свойства:
|xy| ≤ |x| |y|
|x+y| ≤ |x| + |y|
|λx| = |x| |λ|
|x|=0, если x=0
Если х не равен 0, то |x|>0
Единичным вектором En называется вектор длина которого равна 1.
Угол между векторами:
cos α = |x·y|
|x|·|y|
a·b=|a||b|·cos(a^b)
Если скалярное произведение равно 0, то векторы ортогональны: a·b=0.
Если единичные векторы е1,е2,…еn попарно ортогональны, то они образуют ортонормированный базис.
Три упорядоченных линейно независимых вектора е1, е2, е3 в пространстве называют базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор а в пространстве можно разложить по базису е1, е2, е3 т.е. представить а в виде линейной комбинации базисных векторов: а = xе1+yе2+zе3 , где x, y, z являются координатами вектора а в базисе е1, е2, е3 . Базис называется ортонормированным если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.