20. Векторное произведение векторов и его свойства.

Система векторов называется упорядоченной если известно какой вектор первый, какой второй и т.д.

Система упорядоченных векторов a,b,c называется правой если из конца третьего вектора видно, что кратчайший поворот от первого ко второму осуществляется против часовой стрелки. В противном случае система называется левой.

Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, обозначаемый с = а·b, который удовлетворяет следующим 3 условиям:

1. |c| = |a||b|·sin(a^b)

2. c_|_ a, c_|_b.

3. тройка а,b,c – правая

Свойства:

1. a · b = - (b · a)

2. (λa)·b=λ (a · b)=a·(λ b)

3. a · (b+c)=a·b+ a·c - дистрибутивно

4. a·b=0, то a || b

|a·b|=S, где S – площадь параллелограмма.

21.Смешанное произведение векторов и его свойства

Смешанным произведением векторов a,b,c называется число (a · b) · c.

Основные свойства:

1. (a · b) · c = a · (b · c), поэтому обозначается abc

2. abc=bca=cab=-bac=-cba=-acb

3. abc = |a| | bc| cosγ = |a||b||c| sinα cosγ.

4. Объем треугольной пирамиды по векторам a,b,c V=1/6 |abc|

abc=0, то векторы компланарны

41.Взаимное расположение прямых на плоскости

Если прямые заданы общими уравнениями Аx₁+By₁+C₁=0 и Аx₂+By₂+C₂=0 то угол между ними находится по формуле

Cos α = n₁ · n₂ = A₁A₂ + B₁B₂

|n₁| |n₂| √A₁²+B₁² ·√A₂²+B₂²

Условие перпендикулярности этих прямых:

A₁A₂ + B₁B₂ = 0

Условие параллельности:

A₁ = B₁ ≠ C₁

A₂ B₂ C₂

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то угол между ними находится по формуле:

tg α = k₂ - k₁

1+k₁k₂

Если прямые параллельны то k₂ = k₁ , а если перпендикулярны то k₁k₂ = -1.

Если прямые заданы общими уравнениями Аx₁+By₁+C₁=0 и Аx₂+By₂+C₂=0 то угол между ними находится по формуле

Cos α = n₁ · n₂ = A₁A₂ + B₁B₂

|n₁| |n₂| √A₁²+B₁² ·√A₂²+B₂²

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами, то угол между ними находится по формуле:

tg α = k₂ - k₁

1+k₁k₂

Если прямые параллельны то k₂ = k₁ , а если перпендикулярны то k₁k₂ = -1.