48.Взаимное расположение плоскостей в пространстве

Величина угла α между двумя плоскостями типа Ax+By+Cz+D=0 вычисляется по формуле:

Cos α = cos(n₁^n₂) = n₁ · n₂ =

|n1| |n2|

= A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂

√A₁²+B₁²+C₁² · √A₂²+B₂²+C₂²

Где А,В,С – координаты нормальных векторов.

Условие перпендикулярности плоскостей:

n1·n2=0,

Условие параллельности:

A₁ = B₁ = C₁ ≠ D₁

A₂ B₂ C₂ D₂

49.Расстояние от точки до плоскости

Расстояние d от точки М:

d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D|

√A² + B² + C²

50.Уравнение прямой в пространстве

Прямая в пространстве.

1. Общее уравнение:

A₁x+B₁y+C₁z+D=0

A₂x+B₂y+C₂z+D=0

2. Параметрическое уравнение:

x=x₀+mt

y=y₀+nt

z=z₀+pt

3. Каноническое уравнение.

x-x₀ = y-y₀ = z- z₀

m n p

4. Уравнение прямой проходящей через две точки:

x-x₁ = y-y₁ = z-z₁

x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁

51.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Прямая x-x₀ = y-y₀ = z- z₀ и плоскость

m n p

Ax+By+Cz+D=0 могут пересекаться, быть параллельными либо прямая лежать в плоскости.

От канонического уравнения перейдем к параметрическим. Получим уравнение относительно параметра p:

(Am+Bn+Cp)t+( Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D) = 0.

Три случая:

1. При Am+Bn+Cp≠0, есть одно решение, параметр t подставляем в параметрическое уравнение и находим координаты точки пересечения М.

2. Am+Bn+Cp = 0, Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D≠0 – условие параллельности прямой и плоскости.

3. Am+Bn+Cp=0 и Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D=0 – условие перпендикулярности.

Угол α между прямой и плоскостью:

|Cos (n^s)| = sin α = | Am+Bn+Cp |

√A²+B²+C² · √m²+n²+p²

52.Угол между прямыми в пространстве

Угол между прямыми в пространстве:

Cos α = cos (s₁^s₂) = s₁ · s₂ =

|s₁|·|s₂|

= m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂

√m₁²+n₁²+p₁²·√m₂²+n₂²+p₂²

53.Угол между прямой и плоскостью в пространстве

Угол α между прямой и плоскостью:

|Cos (n^s)| = sin α = | Am+Bn+Cp |

√A²+B²+C² · √m²+n²+p²

54.Взаимное расположение прямых в пространстве

Угол между прямыми в пространстве:

Cos α = cos (s₁^s₂) = s₁ · s₂ =

|s₁|·|s₂|

= m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂

√m₁²+n₁²+p₁²·√m₂²+n₂²+p₂²

Условие перпендикулярности:

s1s2 = 0 или m₁m₂ + n₁n₂ + p₁p₂=0

Условие параллельности:

m₁ = n₁ = p₁

m₂ n₂ p₂

55.Расстояние от очки до прямой в пространстве

Расстояние h от точки M₁ до прямой, проходящей через М₀ в направлении вектора s=(m,n,p):

h = |s × M₀M₁|

|s|