- •22.N-мерный вектор, векторное пространство
- •23. Линейная зависимость и независимость векторов
- •24.Размерность и базис
- •25.Переход к новому базису
- •26.Скалярное произведение n-мерных векторов. Евклидово пространство
- •27.Норма вектора. Ортогональность векторов. Ортонормированный базис.
- •28. Линейные операторы. Действия над операторами
- •29.Собственные векторы и собственные значения оператора. Характеристический многочлен
- •30.Диагональная матрица в базисе собственных векторов
- •31.Квадратичные формы
- •32.Каноническая форма квадратичной формы
- •33.Знакоопределенность квадратичной формы
- •34. Международная модель обмена
- •35.Линия на плоскости. Уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом и его частные случаи
- •36.Уравнение прямой, проходящей через две точки
- •37.Каноническое и параметрическое уравнение прямой на плоскости
- •38.Уравнение прямой с угловым коэффициентом и уравнение в отрезках
- •39.Общее уравнение прямой и его исследование
- •40.Расстояние от прямой до точки на плоскости
- •2. Свойства определителей.
- •3.Миноры.Алгебраические дополнения. Определители n-го порядка.
- •4.Матрицы (определение, виды)
- •5.Действия над матрицами
- •6.Обратная матрица, алгоритм ее нахождения
- •7.Ранг матрицы. Метод нахождения ранга матрицы. Теорема Кронекера – Капели
- •8.Решение системы линейных уравнений матричным методом
- •9. Решение системы линейных уравнений методом Крамера
- •10. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
- •11.Решение произвольных систем линейных m уравнений с n неизвестными
- •12. Модель Леонтьева
- •13.Векторы. Линейные операции над векторами
- •14.Проекция вектора на ось
- •15.Координаты вектора в пространстве. Операция вектора.
- •16.Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису
- •17.Скалярное произведение векторов и его свойства
- •18. Выражение скалярного произведения векторов в декартовых координатах
- •19.Угол между векторами. Условие ортогональности векторов
- •20. Векторное произведение векторов и его свойства.
- •21.Смешанное произведение векторов и его свойства
- •41.Взаимное расположение прямых на плоскости
- •42.Окружность и ее свойства
- •43.Эллипс и его свойства
- •44.Гипербола и ее свойства
- •45.Парабола и ее свойства
- •46.Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •47.Уравнение плоскости в пространстве
- •48.Взаимное расположение плоскостей в пространстве
- •49.Расстояние от точки до плоскости
- •50.Уравнение прямой в пространстве
- •51.Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
- •52.Угол между прямыми в пространстве
- •53.Угол между прямой и плоскостью в пространстве
- •54.Взаимное расположение прямых в пространстве
- •55.Расстояние от очки до прямой в пространстве
15.Координаты вектора в пространстве. Операция вектора.
Координатами вектора а называются его проекции на оси координат Ох, Oy, Oz. Они обозначаются соответственно буквами x, y, z. Запись а = (x, y, z) означает, что вектор а имеет координаты x, y, z.
Для равенства векторов необходимо и достаточно, чтобы их соответствующие координаты были равны. Если М1(x1, y1, z1) и М2(x2, y2, z2) то М1М2 = (x2-х1, y2-y1, z2-z1).
аn называется линейной комбинацией векторов а1,а2,…аn-1, принадлежит R, если аn = λ1a1+λ2a2+…+λn-1an-1.
Если для векторов а1,а2,…аn из R выполняется аn = λ1a1+λ2a2+…+λnan=0, при любых λi одновременно не равных 0, векторы называются линейно-зависимыми. Если условие выполняется для λi не равных 0, векторы линейно-независимы.
Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой, и компланарными, если они параллельны одной плоскости.
Теорема: Если векторы из пространства R линейно-зависимы, то хотя бы один из них является линейной комбинацией других векторов
16.Ортонормированный базис. Разложение вектора по базису
Три упорядоченных линейно независимых вектора е1, е2, е3 в пространстве называют базисом. Упорядоченная тройка некомпланарных векторов всегда образует базис. Любой вектор а в пространстве можно разложить по базису е1, е2, е3 т.е. представить а в виде линейной комбинации базисных векторов: а = xе1+yе2+zе3 , где x, y, z являются координатами вектора а в базисе е1, е2, е3 . Базис называется ортонормированным если его векторы взаимно перпендикулярны и имеют единичную длину.
17.Скалярное произведение векторов и его свойства
Скалярным произведением x и y называется число, равное сумме произведений соответствующих координат векторов.
xy= ∑ xiyi = x1y1 + x2y2 + … + xnyn
Свойства:
1) коммутативно xy=yx
2) Ассоциативно x(y+z)=xy+xz
3) λ(x·y) =λxy, где λ – действительное число.
4) x·x>0, x не равно 0 ,
x2 = хх,
хх=0, х=0
В декартовых плоскостях:
а = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2), то в базисе i,j,k.
a·b=x1x2+y1y2+z1z2
a·b=|a||b|·cos(a^b)
|a| = √x12+y12+z12
cos α = |x·y|
|x|·|y|
Обозначим через α, β, γ углы, которые образуют вектор а = (x, y, z) с осями Ох, Oy, Oz cсоответственно.
cos α = x/|a|, cos β = y/|a|, cos γ = z/|a|.
cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
Эти косинусы называются направляющими косинусами.
18. Выражение скалярного произведения векторов в декартовых координатах
В декартовых плоскостях:
а = (x1, y1, z1), b = (x2, y2, z2), то в базисе i,j,k.
a·b=x1x2+y1y2+z1z2
a·b=|a||b|·cos(a^b)
|a| = √x12+y12+z12
cos α = |x·y|
|x|·|y|
Обозначим через α, β, γ углы, которые образуют вектор а = (x, y, z) с осями Ох, Oy, Oz cсоответственно.
cos α = x/|a|, cos β = y/|a|, cos γ = z/|a|.
cos2α + cos2β + cos2γ = 1.
Эти косинусы называются направляющими косинусами.
19.Угол между векторами. Условие ортогональности векторов
Угол между векторами:
cos α = |x·y|
|x|·|y|
a·b=|a||b|·cos(a^b)
Если скалярное произведение равно 0, то векторы ортогональны: a·b=0.