42.Окружность и ее свойства

Окружность – линия второго порядка. Окружность радиусом R с центром в точке M(x₀,y₀) задается уравнением (x-x₀)² + (y-y₀)² = R².

43.Эллипс и его свойства

Эллипсом называется множество точек в плоскости, для которых расстояние до двух данных точек называемое фокусами есть величина постоянная, большая чем расстояние между фокусам.

r₁+r₂=2a. Точка О – центр эллипса.

F₁ и F₂ – фокусы эллипса. М принадлежит эллипсу. r₁ и r₂ – фокальные радиусы. а – главная полуось, b – меньшая полуось, с = OF₁=OF₂. То b² = а² – с² . x² + y² = 1 - каноническое уравнение.

a² b²

Эксцентриситет – ε = с/a, - отношение расстояний между фокусами к большей оси. x = ±ε/a = ±a²/c – директриса (перпендикулярна большей оси). Пусть r – это расстояние от нек. точки М до ближ. фокуса, d – расстояние от М до ближ. директрисы, то r/d = ε.

44.Гипербола и ее свойства

Гиперболой называется линия, для всех точек которой модуль разности расстояний от двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Разность от М до F₁ и F₂ есть величина постоянная, |r₁-r₂|=2a. Каноническое уравнение:

x² - y² = 1, где b² = с² – а² . у = ±b/a·x-

a² b²

асимптоты. О – центр симметрии. а – действительная полуось, b – мнимая. ε = с/a, директриса x = ±а/е.

45.Парабола и ее свойства

Параболой называется линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой и не проходящей через фокус.

F=(p/2, 0) – фокус, А=(-p/2, 0), d=r, x=-p/2 – директриса.

y² = 2px – каноническое уравнение. О – центр параболы, р – параметр, р = |AF|.

46.Приведение уравнения кривой второго порядка к каноническому виду

Для того чтобы кривую второго порядка привести к каноническому виду, необходимо выделить полные квадраты для х и у и найти координаты новой точки начал координат.

A* (x”)² + C*(y”)² + F* = 0 – канонический вид кривой второго порядка.

1. x² + y² = 1 - эллипс

a² b²

2. . x² + y² = -1 - мнимый эллипс

a² b²

3. x² - y² = 1 - гипербола

4. a² b²

   y² = 2px – парабола

47.Уравнение плоскости в пространстве

Плоскость Ax+By+Cz+D=0, где А,В,С – координаты нормального вектора n, перпендикулярного плоскости.

1. Уравнение плоскости по точке и нормальному вектору: M₀(x₀,y₀,z₀), n(A,B,C)

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀) = 0.

2. Уравнение плоскости в отрезках. Если плоскость пересекает координаты Ox,Oy,Oz в точках M₁(a,0,0), M₂(0,b,0), M₃(0,0,c), то

x + y + z = 1

a b c

3. Уравнение плоскости по трем точкам. Если плоскость проходит через три точки, то

x-x₁ y-y₁ z-z₁

x₂-x₁ y₂-y₁ z₂-z₁ = 0

x₃-x₁ y₃-y₁ z₃-z₁

Раскрывая определитель по первой строке, получаем уравнение.