9. Решение системы линейных уравнений методом Крамера

Метод Крамера:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ = b₁

a₂₁x₁+ a₂₂x₂ = b₂

x₁ = (b₁a₂₂ – b₂a₁₂)/(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)=/\_x1/ /\

x₂ = (a₁₁b₂-a₂₁b₁)/(a₁₁a₂₂-a₁₂a₂₁)=/\_x2/ /\

/\ - главный определитель системы

/\_x1, /\_x2 –Определители для данных неизвестных

Формулы хj = /\_xj//\ - формулы Крамера.

1. если detA не равен 0, система имеет одно решение

2. если detA=0 и хотя бы один /\_xj не равен 0, решений нет

3. если detA=0 и /\_xj = 0, система имеет множество решений.

10. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса основан на элементарных преобразованиях системы:

1) Можно менять уравнение местами

2) К любому уравнению умноженному на число не равное 0, можно прибавить другое уравнение, умноженное на число не равное 0.

Метод Гаусса или метод исключения заключается в том, что под главной диагональю получаем коэффициенты равные нулю. Система уравнений сводится к виду:

а₁₁х₁+а₁₂х₂+…+a_mx_n=b₁

а’₂₂x₂+…a’_mx_n=b₂’

……………………..

C_mnx_n=b^*_n

1. Если С_mn не равно 0, то x_n = b^*_n/C_mn – система имеет 1 решение

2. С_mn=0, b^*_n не равно 0, решений нет

С_mn=0, b^*_n=0 – множество решений

11.Решение произвольных систем линейных m уравнений с n неизвестными

12. Модель Леонтьева

Пусть имеется n-отраслей экономики, одна часть продукции используется на внутренние нужды отрасли, вторая часть предназначена для потребления другими отраслями, третья часть на личные нужды.

x_i – общий валовый объем продукции, i - отрасли x_ij –объем продукции i-отрасли потребляемой j-отраслью. Yi – объем конечного продукта, выпускаемый i-отраслью для общественного потребления.

x_i = ∑ x_ij + y_ij (1)

Общий или валовый продукт i-отрасли равен суммарному продукту потребляемому j-отраслью + конечный продукт этой отрасли. Уравнение (1) называется уравнением баланса.

Если элементы уравнения имеют стоимостные выражения, то уравнения называются стоимостным межотраслевым балансом.

a_ij=x_ij/x_j

Модель Леотьева линейная: x_i = ∑ a_ij x_j + y_i

В матричном виде: X = AX + Y

X = (E-A)^-1Y

Матрица А продуктивна если сумма элементов столбцов матрицы не превосходит 1 и хотя бы одна из сумм строго меньше 1.

13.Векторы. Линейные операции над векторами

n-вектором называется упорядоченная совокупность n-действительных чисел, записанных в виде х=(х₁,х₂,….хn), x_i-компоненты вектора

х=у, если равны x_i=y_i

1. суммой двух векторов одной размерности n называется вектор z = x + y, z_i=x_i+y_i

2. Произведением вектора на число называется вектор λх=z, z_i=λx_i

Свойства операций над векторами:

1) x+y=y+x – сумма коммутативна

2) x+(y+z)=(x+y)+z – ассоциативна

3) α(β · x) = (α·β)·x – α и β действительные числа

4) α(х + y)= αx + αy – дистрибутивность

5) (α + β) х = αх + βх

6) О = (0,0,…0), х+О=х

7) (-х) – противоположный х

х+(-х) = 0

8) 1·х=х

Множество n-мерных векторов с действительными компонентами, удовлетворяющих свойствам называется векторным пространством R.

14.Проекция вектора на ось

Проекцией вектора а на ось L называется число, обозначаемое пр_L а и равное |a| cos α, где α (0≤ α≤п/2) – угол между положительным направлением оси L и направлением вектора а, т. е. по определению пр_L а = |a| cos α.