mekhanika_i_molekulyarka

следовательно, движение происходит в плоскости ХОУ. Для построения траекто- рии можно найти по заданным уравнениям значения х и у в отдельных, наиболее характерных случаях, а именно, найдем время и координаты х и у точек, в кото- рых одна из координат обращается в ноль и принимает экстремальные значения.

Если х = 0, то 4 – t2 = 0 и корень последнего уравнения t1 = 2 с. Подставим t1 в выражение (2), тогда у(t1) = 24 м. Если у = 0, то 16t – t3 = 0. Корни последне- го уравнения t0 = 0 (соответствует началу движений) и t2 = 4 с. Подставим t0 и t2 в уравнение (1), тогда получим

x(t0 ) = 4 м и x(t2 ) = −12 м.

Координата у принимает экстремальное значение в точках, где dy = v y = 0 . dt

Дифференцируя выражение (2) и приравнивая производную нулю, получим: 16 − 3t 2 = 0; t3 = 2,3 с. Тогда x(t3 ) = −1,3м и y(t3 ) = 24,6 м. Координата х принима-

ет	экстремальное								значение	в точках,
где		dx	= 0 .				Дифференцируя			выражение
		dt
(1)	и приравнивая производную нулю,
получим				dx		= −2t , t		4 = 0 = t0 , x(t4 ) = 4 м.
				dt
Полученные данные сведем в таблицу.
		t, c					х, м		у, м
	0						4		0
	1						3		15
	2						0		24
	2,3						–1,3		24,6
	3						–5		21
	4						–12		0
	5						–21		–45

Задача 6. Мяч брошен вертикально вверх. На высоте 8 м он побывал два- жды с интервалом времени 2 с. Определить начальную скорость бросания мяча.

11

Д а н о:

Р е ш е н и е

h = 8 м

Направим ось

ОУ вертикально вверх, на-

t = 2 c

чало оси выберем на поверхнсти Земли.

Запишем уравнение движения мяча для

v0 = ?

моментов времени t и t +

t, (y = h, y0 = 0):

h = v0t -

gt 2

,

2

h = v0 (t + Dt ) -

g(t + Dt )2

.

2

Решая совместно эти уравнения, находим

t =

2v0

− g

t

,

2g

h = v

(2v0

- g × Dt )

-

g(2v0 - g × Dt )2

=

4v

02 - g 2 × Dt 2

тогда

0

,

2g

2 × 4g 2

8g

откуда

v0 = 8gh +

g 2 × Dt 2

= 29 м/с.

2

О т в е т: v0 = 29 м/с.

Задачи

1-1. Уравнения движения материальных точек имеют вид

x = 5 + 0,2t 2	и x	2	= 2t − 3t 2 .
1

Запишите уравнения скорости. Определите ускорения. Постройте графики зависимости перемещения и скорости от времени.

1-2. Уравнение движения тела имеет вид

x = 15t + 0,4t 2 (м).

Определить начальную скорость и ускорение тела, а также координату и скорость тела через 5 с.

1-3. Скорость поезда между двумя пунктами v1 = 80 км/ч, средняя скорость на всем пути v2 = 60 км/ч, причем остановки занимают время tост = 1 ч. Найти расстояние L между этими пунктами.

1-4. Уравнения движения материальных точек выражаются уравнениями

x = A + B t + C t 2				, x	2	= A + B t + C			t 2 ,
1	1	1	1			2	2	2

12

где А1 = 20 м; А2 = 2 м; В1 = В2 = 2 м/с; С1 = –4 м/с2; С2 = 0,5 м/с2.

В какой момент времени t скорости точек будут одинаковыми? Определить скорости v1 и v2, ускорения а1 и а2 в этот момент времени.

1-5. Точка движется по прямой согласно уравнению

x = At + Bt 2 ,

где А = 6 м/с; В = –0,1 м/с2.

Определить среднюю скорость точки в интервале времени от t1 = 2 с до t2 = 6 с и ускорение, с которым движется точка.

1-6. Зависимость пройденного телом пути от времени дается уравнением

S = 4 + 0,45t + 0,15t 2 + 0,01t 3 (м).

Через сколько времени после начала движения ускорение тела будет равно 1 м/с2 ? Чему будет равна скорость тела в этот момент? Построить графики пути и скорости от времени.

1-7. При выполнении самолетом одной из фигур пилотажа траектория на прямолинейном участке пути описывается уравнением

x = bt + ct 2 ,

где b = 250 м/с; с = 5 м/с2.

Определить величину средней скорости самолета в интервале времени от t1 = 2 с до t2 = 3 с.

1-8. Координата точки, движущейся прямолинейно вдоль оси ОХ, меняется со временем по закону х = 11 + 35t + 41t2. Определить скорость и ускорение точки в момент времени t = 2 с (х измеряется в сантиметрах, t – в секундах).

1-9. Точка движется по прямой согласно уравнению S = 0,5t 4 + 0,2t 2 + 2 (длина – в метрах, время – в секундах). Найти скорость и ускорение точки в момент t = 4 с. Каково среднее значение скорости за первые 4 с движения?

1-10. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение движения имеет вид х = 3t + 0,06t3 (длина – в метрах, время – в секундах). Найти скорость

и ускорение точки в момент времени t1 = 0		и t3 = 3 с. Каковы средние значения
скорости и ускорения за первые 3 с движения?
1-11.	Две материальные точки движутся согласно уравнениям
	x = 10 + 32t + 3t 2	и x	2	= 5 + 5t 2
	1
(длина –	в метрах, время – в секундах). В какой момент скорости этих точек
одинаковы?
1-12.	На некотором участке пути движение поезда описывается уравнением

S = 0,5t + 0,15t 2 ,

где путь выражен в метрах, время – в секундах. Определить начальную скорость и ускорение поезда на этом участке. Найти скорость и ускорение поезда в конце седьмой секунды.

1-13. Точка движется по прямой согласно уравнению x = 2t + 0,5t 3 (длина –

вметрах, время – в секундах). Найти среднюю скорость и среднее ускорение

впромежутке времени от t1 = 2 с до t2 = 10 с.

13

1-14. Точка движется по прямой согласно уравнению S = 6t + 1 t 3 (длина –

8

в метрах, время – в секундах). Определить среднюю скорость и среднее ускоре- ние точки в интервале времени от t1 = 2 с до t2 = 6 с.

1-15. Уравнение движения материальной точки вдоль оси ОХ имеет вид x = A + Bt + Ct 3 , где А = 2 м, В = 1 м/с, С = –50 м/с3. Найти координату х, ско- рость v и ускорение а в момент времени t = 2 с. Каковы средние значения скоро- сти и ускорения за первые 2 с движения?

1-16. Материальная точка движется прямолинейно. Уравнение ее движения S = t 4 + 2t 2 + 5 (длина – в метрах, время – в секундах). Определить скорость

иускорение точки в момент времени t = 2 с. Каковы средние значения скорости

иускорения за первые 2 с движения?

1-17. Уравнения прямолинейного движения двух точек заданы в виде

S = 4t 2	+ t иS	2	= 5t 3	+ t 2	(расстояние – в метрах, время – в секундах). В какой
1

момент времени скорости точек будут равны? Каково значение скорости в этот момент времени?

1-18. Кинематическое уравнение движения материальной точки по прямой (ось Х) имет вид x = 5 + 4t − t 2 (х – в метрах, t – в секундах). Построить график зависимости координаты Х от времени. Определить среднюю скорость за интер- вал времени от t1 =1 с до t2 = 6 с.

1-19. Закон движения материальной точки имеет вид

x = b + c t и y = c			t + d		2	t 2	, z = 0 ,
1	1	2
где b1 = –9 м; с1 = 3 м/с; d2 = –1	м/с2.
Построить графики зависимости х(t)		и		у(t) и траекторию точки за первые
5 с движения.

1-20. Закон движения материальной точки имеет вид

x = b t + d t 3 , y = b t + c				t 2 , z = 0 ,
1	1	2	2
где b1 =27 м/с; d1 = –1 м/с2; b2 = 32 м/с; с2 = –8			м/с2.
Построить графики зависимости х(t)		и	у(t) и траекторию точки за первые

6 с движения.

1-21. Одновременно из одного и того же пункта выезжают две автомаши- ны, которые движутся в одном направлении прямолинейно. Зависимость прой- денного автомобилями пути от времени выражаются уравнениями

S1 = at + bt 2 ; S2 = ct + kt 2 + et3 .

Найти относительную скорость автомобилей.

1-22. Зависимость пройденного телом пути от времени выражается уравне- нием S = at 4 − bt 2 . Найти экстремальное значение скорости тела. Построить

график зависимости скорости от времени за первые 5 с движения, если

а = 0,25 м/с4; b = 9 м/с2.

1-23. Две автомашины движутся по двум прямолинейным и взаимно перпендикулярным дорогам по направлению к перекрестку с постоянными

14

скоростями v1 = 50 км/ч и v2 = 100 км/ч. Перед началом движения первая ма- шина находилась на расстоянии S1 = 100 км от перекрестка, вторая – на рас- стоянии S2 = 50 км. Через сколько времени после начала движения расстояние между машинами будет минимальным?

1-24. Прямолинейное движение точки описывается уравнением

r	r	r	+ 4t 4 k .
r	= 5ti	+ 2t 3 j

Найти абсолютное значение ускорения в момент t = 2 с.

1-25. Между первой и пятой секундами движения тела путь (в метрах) в за-

висимости от времени изменяется по закону S = b t . Построить графики пути,

скорости и ускорения, если b = 50 м·с.

1-26. Ракета установлена над поверхностью Земли на высоте 5 м. Постро- ить график пути ракеты за первые 5 с после старта. Для графика пути за начало отсчета принять поверхность Земли. Ускорение ракеты в зависимости от време- ни изменяется по закону

a = kt 2 ,

где k = 0,3 м/с4.

1-27. Движение материальной точки задано уравнением x = At + Bt 2 , где А = 4 м/с, В = 0,05 м/с2. Определить момент времени, в который скорость v точ- ки равна нулю. Найти координату и ускорение в этот момент. Построить графи- ки зависимости координаты и пути от времени.

1-28. Движение точки описывается уравнением x = 5 t + 0,2 t 2 + 0,1t 3 . Найти скорость и ускорение в момент t = 4 с. Построить графики скорости и ускоре- ния.

1-29. Движение материальной точки задано уравнениями x = 8 t2 + 4; y = 6 t2 – 3; z = 0. Определить модули скорости и ускорения точки в момент времени t = 10 с. Что собой представляет траектория движущейся точки?

1-30. Прямолинейное движение точки описывается уравнением

r	r	+ 4 t 2	r	+ 8 t 3 k .
r	= 3 t 2 i		j

Найти путь, пройденный точкой за первые 4 с движения. Найти скорость

вмомент t = 4 с.

2.Кинематика равнопеременного прямолинейного движения

Задачи

2-1. По одному направлению из одной точки одновременно начали дви- гаться два тела: одно равномерно, со скоростью v1 = 9,8 м/с, а другое – равноус- коренно, без начальной скорости с ускорением а = 9,8 см/с2. Через какое время второе тело догонит первое?

2-2. Лифт, в течение первых 2 с поднимаясь равноускоренно, достигает скорости 4 м/с, с этой же скоростью продолжает подъем в течение 4 с. За после-

15

дующие 3 с равнозамедленного движения лифт останавливается. Определить высоту подъема лифта. Задачу решить графическим методом.

2-3. Какова высота телевизионной башни в Останкино, если шарик, падая

сбашни без начальной скорости, последние 185 м пути пролетел за 2 с? Сопро- тивление воздуха не учитывать.

2-4. С каким ускорением движется тело, если за восьмую секунду оно про- ходит путь, равный 30 м? Найти путь, пройденный за 15-ю секунду.

2-5. Один автомобиль движется равноускоренно с начальной скоростью 3 м/с и ускорением 0,25 м/с2, а другой – равнозамедленно с начальной скоростью 15 м/с и ускорением –1,25 м/с2. Определить, через сколько времени автомобили будут иметь одинаковую скорость и какую именно? Какой путь пройдет каждый автомобиль за это время?

2-6. Два велосипедиста едут друг другу навстречу; один из них, имея ско-

рость v01 = 18 км/ч, поднимается в гору с ускорением а1 = –0,2 м/с2, а другой, имея скорость v02 = 5,4 км/ч, спускается с горы с ускорением а2 = 0,2 м/с2 . Через сколько времени они встретятся и какое расстояние до встречи проедет каждый из них, если расстояние между ними в начальный момент времени S = 130 м?

2-7. Тело, двигаясь равноускоренно из состояния покоя, за шестую секунду прошло путь 22 м. Какой путь тело прошло за первые 6 с? За последние 6 с?

2-8. Тело падало с некоторой высоты Н и последние 196 м пути прошло 4 с. Сколько времени падало тело? Как велика высота Н ? Сопротивление воздуха не учитывать.

2-9. С отвесного обрыва упал камень. Человек, стоящий у того места, с кото-

рого упал камень, услышал звук его падения через 6 с. Найти глубину обрыва. Ус- корение свободного падения принять равным 10 м/с2, а скорость звука – 330 м/с.

2-10. Два тела начинают падать одновременно с разной высоты и достига- ют Земли в один и тот же момент времени. Какую начальную скорость надо со- общить телу, падающему с большей высоты?

2-11. Тело, двигаясь равноускоренно, прошло некоторый путь за 12 с. За какое время оно прошло последнюю треть пути?

2-12. С крыши здания высотой 16 м через одинаковые промежутки време- ни падают капли воды, причем первая капля ударяется о Землю в тот момент, когда пятая отделяется от крыши. Найти расстояние между каплями в момент удара первой о Землю. Сопротивление воздуха не учитывать.

2-13. С Земли вертикально вверх брошено тело. Точку А, находящуюся на

высоте 3,75 м, тело проходит с разницей во времени в 1 с. Найти скорость, с ко- торой брошено тело. Принять g = 10 м/с2.

2-14. При равноускоренном движении из состояния покоя тело проходит за пятую секунду 90 см. Определить перемещение тела за седьмую секунду.

2-15. Мячик брошен вертикально вверх со скоростью 9,8 м/с. Когда он достиг высшей точки своего подъема, с той же начальной скоростью брошен вверх второй мячик. Определить на какой высоте произойдет встреча мячей?

2-16. Тело бросают вертикально вверх со скоростью 4,9 м/с. Одновременно

спредельной высоты, которой оно может достичь, бросают вертикально вниз

16

другое тело с той же начальной скоростью. Определить время, по истечении ко- торого тела встретятся.

2-17. Реактивный самолет летит со скоростью v0 = 720 км/ч. С некоторого момента самолет движется с ускорением в течение t = 10 с и в последнюю се- кунду проходит путь S = 295 м. Определить ускорение а и конечную скорость v.

2-18. Автомобиль начинает движение без начальной скорости и проходит первый километр с ускорением а1, а второй – с ускорением а2. При этом на пер- вом километре его скорость возрастает на 10 м/с, а на втором – на 5 м/с. Что больше – а1 или а2?

2-19. За пятую секунду равнозамедленного движения точка проходит 5 см и останавливается. Какой путь проходит точка за третью секунду этого движения?

2-20. Мяч брошен вертикально вверх из точки, находящейся на высоте h. Определить начальную скорость мяча, время движения и скорость падения, если известно, что за время движения он пролетел путь 3h.

2-21. В последнюю секунду свободного падения тело прошло путь вдвое больший, чем в предыдущую секунду. С какой высоты падало тело?

2-22. Камень, брошенный вертикально вверх, упал на Землю через 2 с. Определить путь и перемещение камня за 1; 1,5 и 2 с. Чему равна средняя ско- рость перемещения камня за все время движения?

2-23. Тело брошено вертикально вверх с некоторой высоты с начальной скоростью 30 м/с. Определить скорость тела через t = 10 с, а также пройденный за это время путь (g = 10 м/с2).

2-24. Тело падает без начальной скорости с высоты Н = 45 м. Найти сред- нюю скорость падения на нижней половине пути.

2-25. Свободно падающее тело прошло последние 30 м за время 0,5 с. Най- ти высоту падения.

2-26. С каким промежутком времени оторвались от водосточной трубы две капли, если спустя две секунды после начала падения второй капли расстояние между каплями равно 25 м?

2-27. В момент, когда тронулся поезд, провожающий начал равномерно бежать по ходу поезда со скоростью 3,5 м/с. Принимая движение поезда равноус- коренным, определить скорость поезда в тот момент, когда провожаемый поравняется с провожающим.

2-28. Вертикально вверх с начальной скоростью v0=20 м/с брошен камень. Через t = 1 с после этого брошен вертикально вверх другой камень с такой же скоростью. На какой высоте h встретятся камни?

2-29. С балкона брошен мячик вертикально вверх с начальной скоростью v0 = 5 м/с. Через t = 2 с мячик упал на землю. Определить высоту балкона над землей и скорость мячика в момент удара о землю.

2-30. Два автомобиля вышли с остановки через 1,0 мин один после другого и шли с ускорением 0,2 м/с2. Через какой промежуток времени после выхода второго автомобиля расстояние между ними утроится?

17

3. Кинематика криволинейного движения. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Кинематика вращательного движения

Основные формулы

1. При криволинейном движении полное ускорение

a = an + aτ ,

где ап – нормальное ускорение материальной точки; аτ – тангенциальное (касательное) ускорение.

2. Абсолютное значение этих ускорений

=

v2

, a =

dv

, a =

,

a

n

a2

+ a2

R

τ

dt

n

τ

где R –

радиус кривизны в данной точке;

v –

скорость.

3. Тангенциальное ускорение характеризует быстроту изменения модуля

вектора скорости точки. Векторы

r

r

r

aτ

и v

совпадают по направлению, если aτ > 0

(ускоренное движение); векторы

r

r

противоположны по направлению, если

aτ

и v

аτ < 0 (замедленное движение).

r

Нормальное ускорение an характеризует бы-

строту

изменения

направления вектора скорости

точки. Вектор

r

an

направлен по радиусу к центру

кривизны траектории.

4. Положение твердого тела определяется уг-

лом поворота ϕ. Кинематическое уравнение враща-

тельного движения

ϕ = f (t).

5. Средняя угловая скорость

ϕ .

ω =

t

6. Мгновенная угловая скорость

dϕ

ω =

.

dt

7. Среднее угловое ускорение

ω .

ε

=

t

18

8. Мгновенная угловое ускорение

ε = dω .

			dt
9. Кинематическое уравнение равномерного вращения
		ϕ = ϕ0 + ω t .
При равномерном вращении ω = const, ε = 0.
10. Частота вращения ν =	N	, или ν =	1	, где Т – период вращения, N – чис-
	t
		T

ло полных оборотов, совершаемых телом за время t.

11. ω = 2π = 2πν– угловая скорость при равномерном вращении.

T

12. Кинематическое уравнение при равнопеременном вращении

ϕ = ϕ0 + ω0t ± ε t 2

2

где ω0 – начальная угловая скорость;

ε= const.

13.Угловая скорость при равнопеременном вращении

ω= ω 0 ± ε t .

14.Связь между линейными и угловыми величинами выражается следую-

щими формулами:

S = R ×ϕ – длина пути, пройденного точкой по дуге окружности;

v = ωR – линейная скорость точки;

aτ = εR – тангенциальное ускорение;

an = ω 2 R – нормальное ускорение;

ϕ = 2πN – угловой путь, где N – число полных оборотов.

15.При равнопеременном движении

ω2 − ω02 = ± 2εϕ .

16.Если тело одновременно участвует в двух вращательных движениях

сугловыми скоростями ωr1 и ωr2 относительно двух пересекающихся осей, то

результирующее движение будет также вращательным с угловой скоростью, равной ωr = ωr1 + ωr2 . Направления вектора угловой скорости ω и вращения тела связаны правилом правого винта. При ускоренном вращении тела вектор углово-

19

го ускорения ε и вектор угловой скорости ω имеют одинаковые знаки, при замедленном движении – противоположные.

Примеры решения задач

Задача 1. Тело бросили со скоростью 10 м/с под углом 450 к горизонту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения и радиус кривизны траектории тела через 1 с после начала движения. Сопротивление воздуха не учитывать.

Д а н о:

Р е ш е н и е

vо = 10 м/с Сделаем рисунок.

α = 450 t = 1 с

R = ? ап = ? aτ = ?

Направим оси ОХ и ОУ вдоль горизонтального и вертикального перемеще- ний тела. Тело считаем материальной точкой. vох и vоу – проекции начальной ско- рости vо на координатные оси. При движении тела vох не изменяется,

vox = vo × cosα = 7 м/с, v у = vosinα - gt = vo × sin450 - gt .

Через t = 1 с после начала движения v y =10 sin 450 -10 ×1 = -3 м/с, т.е. направле-

на вертикально вниз. Результирующая скорость в момент времени t = 1 с равна

v = vox2 + v2y = 7,6 (м/с)

и направлена по касательной к траектории в точке В.

Обозначим угол между вектором v и осью ОХ через β . С течением време- ни угол β меняется. Разложив вектор g на составляющие по касательному и нормальному направлениям к траектории в точке В, получим:

an	= g × cos β = g		v x		» 9,2 (м/с2),
			v
a	= g × sinβ = g ×		v y		» 4,0 (м/с2).
τ			v

20