mekhanika_i_molekulyarka

первого шара; 5) долю кинетической энергии, переданной первым шаром второ- му; 6) изменение DU внутренней энергии шаров.

5-30. Движущееся тело массой m1 ударяется в неподвижное тело массой m2. Считая удар упругим и центральным, найти, какую часть своей первоначальной энергии первое тело передает второму при ударе? Задачу решить сначала в об- щем виде, а затем рассмотреть случаи: 1) m1 = m2; 2) m1 = 9m2.

III. ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Основные формулы

1. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси

	r
	Mdt = d (J ×ω ),
где M –	момент силы, действующей на тело в течение времени dt;
J – момент инерции тела;
ω –	угловая скорость;

Jω – момент импульса.

Если момент силы и момент инерции постоянны, то это уравнение записы-

вается в виде

M t = J ωr ,

или

M = Jεr,

где ε – угловое ускорение.

2. Момент импульса вращающегося тела относительно оси

L= J ×ω.

3.Момент силы F , действующей на тело, относительно оси вращения

M = F × l,

где F – проекция силы F на плоскость, перпендикулярную оси вращения; l – плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси до линии действия силы). 4. Момент инерции материальной точки

Ji = mi ri2 ,

где mi – масса точки; ri – ее расстояние от оси вращения. Момент инерции твердого тела

n

J= ∑mi ri2 ,

i=1

51

где ri – расстояние элемента массы mi от оси вращения. То же, в интегральной форме

J = ∫r 2 dm.

Если тело однородно, т.е. его плотность ρ одинакова по всему объему, то

dm = ρdV и J = ρ ∫r 2dV ,

			V
где V – объем тела.
	Моменты инерции некоторых тел
	правильной геометрической формы
	Тело	Ось, относительно которой			Формула
		определяется момент			момента
		инерции			инерции
	Однородный тонкий стер-	Проходит через центр тяже-				1				ml 2
	жень массой m и длиной l
		сти стержня	перпендкулярно		12
		стержню
		Проходит	через	конец			1
		стержня перпендикулярно стерж-							ml 2
		ню			3
	Тонкое кольцо, обруч,	Проходит через центр пер-					mR2
	труба радиусом R и массой m,	пендикулярно плоскости		осно-
	маховик радиусом R и массой	вания
	m, распределенной по ободу
	Круглый однородный диск
	(цилиндр) радиусом R и массой	Проходит через центр ци-				1		mR 2
	m	линдра (диска) перпендикулярно
					2
	Однородный шар массой m	плоскости основания
	и радиусом R					2
		Проходит через центр шара						mR2
					5
	Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси
равен		J = J 0 + ma 2

где J0 – момент инерции этого тела относительно оси, проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а – расстояние между осями; m – масса тела.

5. Закон сохранения момента импульса

52

n r

∑Li = const,

i =1

где Li – момент импульса тела с номером i, входящим в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел

J1ω1 + J	′	′	+ J	′	′	,
	2ω2 = Ji	ω1		2	ω2

где J1, J2 , ω1, и ω2 – моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодейст-

вия; J	′	, J	′	′	′	– те же величины после взаимодействия.
	1		2	, ω1	, ω2

Закон сохранения момента импульса для одного тела, момент инерции ко- торого меняется,

J1ω1 = J 2ω2 ,

где J1 и J 2 – начальный и конечный моменты инерции; ω1 иω 2 – начальная и конечная угловые скорости тела.

6. Работа постоянного момента силы М, действующего на вращающееся те-

ло,

A = Mϕ ,

где ϕ – угол поворота тела.

7. Мгновенная мощность, развиваемая при вращении тела

P= Mω .

8.Кинетическая энергия вращающегося тела

=

Jω 2

E

к

.

2

9. Кинетическая энергия тела, катящегося по плоскости без скольжения

=

mv

2

+

Jω 2

E

к

,

2

2

где

mv

2

– кинетическая энергия поступательного движения тела; v – скорость

2

Jω 2

центра инерции тела;

– кинетическая энергия вращательного движения

2

тела вокруг оси, проходящей через центр инерции.

10. Работа, совершаемая при вращении тела, и изменение кинетической энергии его связаны соотношением

		Jω 2		Jω 2
	A =	2	−	1	.
		2		2

53

11. Величины, характеризующие динамику вращательного движения, и формулы, описывающие это движение, аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения.

Эта аналогия раскрывается следующей таблицей:

Поступательное

Вращательное

Поступательное

Вращательное

движение

движение

движение

движение

Основной закон динамики

Работа и

мощность

r

r

r

r

A = F × S

A = Mϕ

FDt = mv2

- mv1

MDt = Jω2

- Jω1

r

r

P = F × v

P = Mω

F = ma

M = Jε

Закон сохранения

Кинетическая энергия

импульса

момента импульса

1

1

n

r

n

r

EK =

mv

2

EK =

Jω

2

∑mi v1 = const

∑Jiωi = const

2

2

i =1

i =1

Примеры решения задач

Задача 1. Вычислить момент инерции тонкого однородного стержня мас- сой m и длиной l относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец.

									Р е ш е н и е
								Направим ось ОХ вдоль стерж-
								ня AB. Mасса элементарного отрезка
o								длиной dx
								где ρ =	m	dm = ρ × dx,
										– масса единицы длины

l

стержня.

Момент инерции элементарного отрезка длиной dx относительно оси 0′0′′

dJ = dm × x2 = m dx × x2 . l

Момент инерции стержня

54

l

m

2

m

x3

l

ml 3

ml

2

J = ∫dJ = ∫

x

dx =

×

=

=

.

l

3l

3

0

l 3

0

О т в е т: J = 1 ml 2 .

3

Задача 2. Вычислить момент инерции круглого однородного диска радиусом R и массой M относительно оси, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через его центр.

Р е ш е н и е

Выделим элементарное кольцо радиусом х и толщиной dx. Площадь этого кольца

		dS = 2πx × dx,
а масса		dm = ρ × 2πx × dx,
где ρ =	m	– масса единицы пло-

πR2

щади Момент инерции элементарного кольца относительно оси 0′′0′

dJ = dm × r 2 =

m

× 2π x × dx × x2

=

2m x3 × dx

.

πR2

R2

Момент инерции диска относительно той же оси

2m

R

2

J = ∫dJ =

∫ x3dx =

mR

.

R 2

0

2

О т в е т: J =

1

×

mR2

.

2

2

Задача 3. Вал в виде сплошного цилиндра массой m1 = 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой m2 = 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

55

Д а н о:

m1 = 10 кг m2 = 2 кг

а = ?

Р е ш е н и е

Линейное ускорение гири а равно танген- циальному ускорению точек вала, лежащих на его цилиндрической поверхности, и связано с угловым ускорением ε вала соотношением

a = ε × r,

где r – радиус вала.

Угловое ускорение вала согласно основ- ному уравнению динамики вращающегося тела

	ε =	M	,	(1)
		J
где М –	вращающий момент, действующий на вал;
J –	момент инерции вала относительно оси вращения,			совпадающий с его

осью симметрии.

Рассматриваем вал как однородный цилиндр. Тогда его момент инерции

J= 1 m1r 2 . 2

Вращающий момент, действующий на вал,

M = T × r.

Найдем силу натяжения шнура Т по 2-му закону Ньютона:

m2 g − T = m2 a,

или

T = m2 (g − a).

Таким образом,	M = m2 (g − a)r.
							(2)
Подставив (2) в (1), получим:
ε =	m2 (g - a)		× r	=	2m2 (g - a)		.
	0,5 m r	2			m1r
	1

Зная ε, выразим

a = ε r = 2m2 (g − a), m1

56

откуда

	a =	2m2 g	≈ 2,8 (м/с2).
		m1 + 2m2

О т в е т: а = 2,8 м/с2.

Задача 4. По наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом, скатывается без трения и скольжения сплошной однородный диск. Найти линейное ускорение центра диска. Решить задачу в общем виде, полагая, что вначале диск был неподвижен.

Д а н о:

Р е ш е н и е

α

а = ?

Пусть за t секунд центр тяжести диска прошел расстояние АВ = х от вер- шины наклонной плоскости при этом потенциальная энергия диска уменьшилась на величину

DEp = mgx sin α . По закону сохранения энергии эта энергия перешла в ки-

нетическую энергию диска в точке А:

EK = mgx × sinα .

(1)

Кинетическая энергия диска складывается из кинетической энергии посту-

пательного движения

E =

mv2

(2)

1

2

Jω

и кинетической энергии вращательного движения E2

=

2

, т.е.

2

mgx sin α =

mv2

+

Jω 2

,

2

2

где J – момент инерции диска относительно оси, совпадающей с его геометриче-

ской осью;

J =

mr 2

; r – радиус диска; m – масса.

2

57

Скорость поступательного движения диска v и угловая скорость вращательного движения диска ω связаны соотношением

v = ω × r ,

откуда

ω =

v

.

(3)

r

Подставив (3) в (2), получим

mgx sin α =

mv2

+

mv2

=

3

mv2

или x =

3

× v2 .

4 × g × sin α

2

4

4

Дифференцируя это уравнение по времени t, получим:

dx

3

dv

3va

2g sin α

=

× 2v

×

или v =

, a =

.

dt

4g sin α

dt

2g sin α

3

О т в е т: a = 2 g sinα .

3

Задача 5. С какой скоростью должен въехать велосипедист в нижнюю точ- ку мертвой петли радиусом R = 5 м, чтобы не сорваться вниз? Масса велосипеди- ста с велосипедом m = 100 кг, масса обоих колес m1 = 5 кг. Трением пренебречь, массу колес считать сосредоточенной в ободьях.

Д а н о:

Р е ш е н и е

m = 100 кг m1 = 5 кг R = 5 м

v0 = ?

На основании закона сохранения энергии EB = Ec ,

mv2

Jω 2

Jω 2

mv

2

т.е.

0

+

0

= 2mgR +

+

,

(1)

2

2

2

2

где J = m r 2

–

момент инерции колес; r – радиус колеса;

1

ω0

=

v0

–

угловая скорость колес в нижней точке петли ((·) В);

r

ω = vr – угловая скорость колес в точке С.

58

По второму закону Ньютона

mg + N = mv2 .

При N = 0 (условие обрыва)				R
	mg =		mv2	.		(2)
			R
Решая систему уравнений (1) и (2), получаем
v =		(5m + m1 )gR			=15	м/с.
		m	+ m1

О т в е т: v = 15 м/с.

Задача 6. Тонкий однородный стержень длины l и массы m может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, проходящей через один из его концов. Стер- жень приводят в горизонтальное положение и отпускают. Определить угловое уско- рение и угловую скорость при прохождении стержнем положения равновесия.

Д а н о:

Р е ш е н и е

l, m

На стержень действует

сила

тяжести,

приложенная в

ε = ? ω = ?

центре масс, и сила реакции

оси. Вращающий момент соз-

дает только сила тяжести, так как линия действия силы реакции

реакции проходит

через ось вращения. Согласно

основному уравнению

динамики

вращательного

движения

Jε = mg ×

l

,

(1)

2

где J – момент инерции стержня относительно оси

О (по теореме Штейнера)

ml 2

l

2

J =

+ m ×

.

2

2

Рассматривая движение стержня как движение в поле силы тяготения Зем-

ли, то по закону сохранения энергии

ЕА = ЕВ ,

т.е.

mg ×

l

=

Jω 2

.

(2)

2

2

59

Решая полученную систему уравнений (1) и (2), находим

ε =	3g	, ω =	3g	.
	2l		l

Задача 7. Горизонтальная платформа массой 80 кг и радиусом R = 1,00 м вращается вокруг вертикальной оси, делая п1 = 30 об/мин. На краю платформы стоит человек и держит в расставленных руках гири. Какое число оборотов в ми- нуту будет делать платформа, если человек, опустив руки, уменьшит свой момент инерции от 3,00 кг·м2 до 0,50 кг·м2? Считать платформу круглым однородным диском.

Д а н о:

R = 1,00 м т = 80 кг

п1 = 30 об/мин

J1 = 3,00 кг·м2 J2 = 0,50 кг·м2 J2 = 0,50 кг·м2

п2 = ?

Р е ш е н и е

По условию задачи платформа с человеком вращает- ся с постоянной скоростью п1, поэтому результирую- щий момент всех внешних сил, приложенных к вра- щающейся системе, равен нулю. Следовательно, для сис- темы «платформа– человек» выполняется закон сохране- ния момента импульса:

L1 = L2 .

(1)

Подсчитаем начальный момент импульса системы L1 и конечное его значе-

ние L2:				L1 = (J0 + J1 )ω1 ,	(2)
где J 0	=	mR 2		– момент инерции платформы;
	2
ω1 = 2πn1 –				ее начальная угловая скорость.
				L2 = (J 0 + J 2 )ω 2 ,	(3)

где ω2 = 2πn2 – конечная угловая скорость системы.

Решая систему (2)–(3), получаем:
n	2	=	J0 + J1	× n = 32 об/мин.
			J0 + J 2	1

60