mekhanika_i_molekulyarka

8. Элементы статистической физики

Основные формулы

1. Распределение Больцмана (распределение частиц в силовом поле)

n = n0 e−U kT ,

где п – концентрация частиц; U – их потенциальная энергия; п0 – концентрация частиц в точках поля, где U = O; k – постоянная Больцмана; T – термодинамиче- ская температура; е – основание натуральных логарифмов.

2. Барометрическая формула (распределение давления в однородном поле силы тяжести)

p = p e−mgh / (kT )	, или	p = h e−μgh / (RT )	,
0		0

где р – давление газа; т – масса частицы; μ – молярная масса; h – высота точки по отношению к уровню, принятому за нулевой; р0 – давление на этом уровне; g – ускорение свободного падения; R – универсальная газовая постоянная.

3. Вероятность того, что физическая величина х, характеризующая молеку- лу, лежит в интервале значений от х до х + dх, равна

dW (x) = f (x)dx,

где f(х) – функция распределения молекул по значениям данной физической ве- личины х (плотность вероятности).

4. Количество молекул, для которых физическая величина х, характери- зующая их, заключена в интервале значений от х до х + dх,

dN = NdW (x) = N × f (x)dx.

5. Распределение Максвелла (распределение молекул по скоростям) выра- жается двумя соотношениями:

а) число молекул, скорости которых заключены в пределах от v до v + dv,

dN (v) = N × f (v)dv = 4πN		m 3 / 2		− mv	2 / (2kT )	v	2	dv,
			e
		2πkT

где f (v) – функция распределения молекул по абсолютным значениям скоростей, выражающая отношение вероятности того, что скорость молекулы лежит в ин- тервале от v до v + dv, к величине этого интервала, а также долю числа молекул, скорости которых лежат в указанном интервале; N – общее число молекул; т – масса молекулы;

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пределах от и до и + dи,

71

dN (u ) = N × f (u )du =	4			Ne−u 2 u 2du,
		π

где u = v / vв – относительная скорость, равная отношению скорости v к наиверо- ятнейшей скорости vв; f(и) – функция распределения по относительным скоро- стям.

6. Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в еди- ницу времени,

z = 2 ×πd 2nv,

где d – эффективный диаметр молекулы; п – концентрация молекул; v – сред-

няя арифметическая скорость молекул.

7. Средняя длина свободного пробега молекул газа

l =		1		.
			×πd 2n
		2

8. Импульс (количество движения), переносимый молекулами из одного слоя газа в другой через элемент поверхности,

dp = η (dv / dz ) S dt ,

где η – динамическая вязкость газа; dv / dz – градиент (поперечный) скорости течения его слоев; S – площадь элемента поверхности; dt – время перноса.

9. Динамическая вязкость

η =13 ρvl ,

где ρ – плотность газа (жидкости); v – средняя скорость хаотического движе-

ния его молекул; l – их средняя длина свободного пробега. 10. Закон Ньютона

F = dp / dt = η (dv / dz ) S ,

где F – сила внутреннего трения между движущимися слоями газа. 11. Закон Фурье

Q = −K (dT / dx) S t,

где Q – теплота, прошедшая посредством теплопроводности через сечение пло- щадью S – за время t; К – теплопроводность; dT/dx – градиент температуры.

13. Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа

K =13cV ρvl , или K =16 knvl ,

72

где сV – удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; ρ – плотность газа; v – средняя арифметическая скорость его молекулы; l – средняя длина сво-

бодного пробега молекул. 13. Закон Фука

Dm = -D (dndx)m1S Dt ,

где т – масса газа, перенесенная в результате диффузии через поверхность площадью S за время t; D – коэффициент диффузии; dndx – градиент концентрации молекул; т1 – масса одной молекулы.

14. Коэффициент диффузии

D= 1 vl . 3

Примеры решения задач

Задача 1. Какая часть молекул кислорода, находящегося при температуре Т = 300 0К, обладает скоростями, отличающимися от наиболее вероятной скоро- сти не свыше, чем на 4 м/с.

Д а н о:								Р е ш е н и е
v = 8 м/с					Закон распределения молекул по скоростям (закон Мак-
Т = 300 0К		свелла): число молекул N, относительные скорости которых
N = ?		лежат в интервале от u до u + u, равно
								DN = N × f (u )× Du,
N									(1)
Здесь N –	полное число молекул газа,
			4				2
f (u ) =						× e−u		× u 2 – функция распределения Максвелла,
			π

u = vvв ,

где v – данная скорость; vв –	наиболее вероятная скорость.
Уравнение (1) справедливо при условии						u << u. По условию задачи v = vв,
следовательно, u = v vв =1 и уравнение (1) примет вид
	N	4
	N =					× Du.
				× e
			π
Сначала убедимся, что	u << u. Так как				u = v vв , то

73

Du = v .

(2)

vв

Определим теперь наиболее вероятную скорость

	vв =	2RT	= 3,95 ×102 м/с.
		μ

Подставляя это значение vв в (2) и имея ввиду, что Dv = 8 м/с, поскольку в задаче идет речь о скоростях, лежа-

щих в интервале

от (vв

− 4) м/с до

(vв + 4) м/с, получим

Du =

8

= 2,02

×10− 2 ,

3,95 ×102

т.е. Du << u.

4 × 2,02 ×10−2

DN

4

=

× Du =

= 0,017.

N

π × e

3,14 × 2,7

Задача 2. Найти среднюю продолжительность свободного пробега молекул кислорода при давлении 2 мм рт.ст и температуре 27 0С.

Да н о:

р= 2 мм рт.ст. = 266 Па Т = 300 0К

μ = 32 ·10–3 кг/моль

σ = 2,9 ·10–10 м (из таблицы)

τ = ?

Р е ш е н и е

Средняя продолжительность свободного пробега молекул равна отношению

l

v ,

где l – средняя длина свободного пробега мо-

лекул;

v – средняя арифметическая скорость молекул.

Среднюю длину свободного пробега молекул газа можно вычислить по формуле

	l =			kT
					,
			2	πσ 2 p
где σ –	эффективный диаметр молекул;
k –	постоянная Больцмана.

Средняя арифметическая скорость молекул газа вычисляется по формуле

74

v =

8RT

.

πμ

Тогда

1,39 ×10−23 × 300

kT

3,14 × 32 ×10−3

τ =

πμ

=

= 9,3 ×10

−8

с.

πσ 2 p

× 3,14 × 266 × (2,9 ×10−10 )2

2

8RT

16 ×8,31× 300

О т в е т: τ = 9,3 ·10–8

с.

Задача 3. Пространство между двумя большими параллельными пластина- ми заполнено гелием. Расстояние между пластинами l = 50 мм. Одна пластина поддерживается при температуре Т1 = 293 К, другая при температуре Т2 = 313 К. Вычислить поток тепла q, приходящейся на единицу площади пластин, если давление в газе 760 мм рт.ст.

	Д а н о:			Р е ш е н и е
	l = 5 ·10–2 м			Из закона Фурье количество теплоты, прошедше посред-
T1 = 293 К				ством теплопроводности через	площадь S за время t,
T2 = 313 К				равно
р = 105 Па				DT
				Q = -K		DS Dt .
	q	= ?			Dl
	DS

Поток тепла представляет собой количество тепла, прошедшее через площадь S за единицу времени, поэтому

				- K	T	DS Dt
q	=	Q	=		Dl		= -K	T
									.
DS		DS Dt			DS Dt			l

Коэффициент теплопроводности

K= 1 vl ρ × cV , 3

где ρ – плотность гелия;

	v =	8RT	; l =			kT	; cV	=	iR	.
		πμ
					2πσ 2 p
									2μ

75

Плотность гелия при данных условиях можно найти, пользуясь уравнением Менделеева– Клапейрона

pV =

m

RT ,

μ

откуда

pμ

m

= ρ =

.

V

RT

Подставив выражения для

v , l , cV и ρ, выразим К:

pμ

RT

× iR

πμ

1

8RT

RT

iR

K =

×

×

×

=

,

3

πμ

×πσ 2 pN A

RT

2μ

3πσ 2 N A

2

где T = T1 + T2 2 .

Тогда поток тепла через единичную площадь будет равен

		iR		RT	× (T - T )
				πμ					Bт
q					2	1
	=							= 20		.
DS			3πσ 2 N A × Dl						м2

Задачи

8-1. Найти среднее число столкновений в ед. времени и среднюю длину свободного пробега молекулы гелия, если газ находится под давлением 2 кПа при температуре Т = 200 0К.

8-2. Найти среднюю длину свободного пробега молекулы азота в сосуде объемом 5 л. Масса газа 0,5 г.

8-3. Водород находится под давлением 20 мкПа и имеет температуру Т = 300 0К. Определить среднюю длину свободного пробега молекулы такого газа.

8-4. При нормальных условиях средняя длина свободного пробега молекулы водорода равна 0,112 пм. Определить эффективный диаметр молекулы водорода.

8-5. Какова средняя арифметическая скорость молекулы кислорода при давлении 760 мм рт.ст., если известно, что средняя длина свободного пробега молекулы при этих условиях равна 100 нм.

8-6. Определить число всех столкновений между молекулами, которые произойдут в 1 см3 азота при нормальных условиях в течение 1 с.

8-7. Средняя длина свободного пробега молекулы водорода при некоторых условиях равна 2 нм. Найти плотность водорода при этих же условиях

8-8. Найти среднюю длину свободного пробега молекулы водорода при давлении 0,001 мм рт.ст. и температуре t = –173 0С.

8-9. Рассчитать среднее расстояние, которое молекула воздуха проходит между двумя последовательными соударениями с другими молекулами при

76

нормальном давлении и температуре, и среднее время между двумя столкновениями.

8-10. Медный кофейник нагревается на примусе. Вода доведена до кипения и выделяет каждую минуту 2 г пара. Толщина дна кофейника 2 мм, а площадь 300 см2. Определить разность температур между внутренней и наружной по- верхностями дна кофейника, предполагая, что дно нагревается равномерно. Ко- эффициент теплопроводности меди К = 22 Вт/м·К.

8-11. Какая часть молекул кислорода при 0 0С обладает скоростью от

100 м/с до 110 м/с?

8-12. Какая часть молекул азота при 150 0С обладает скоростями от 300 м/с

до 325 м/с?

8-13. Вода в пруду имеет температуру t1 = 0 0С. Температура окружающего воздуха t2 = –10 0С. Какой слой льда образуется за сутки, считая с момента за- мерзания воды. Коэффициент теплопроводности льда К = 1,76·10–4 Вт/мК, скры- тая теплота замерзания воды λ = 333 кДж·кг–1 , плотность льда ρ = 0,9·103 кг/м3.

8-14. Определить плотность ρ разреженного водорода, если средняя длина свободного пробега молекул равна 1 см.

8-15. Найти среднее число столкновений. Испытываемых в течение 1 с молекулой кислорода при нормальных условиях.

8-16. Найти число всех соударений, которые происходят в течение 1 с между всеми молекулами водорода, занимающего при нормальных условиях объем V = 1 мм 3.

8-17. При каком давлении средняя длина свободного пробега молекул водорода равна 2,5 см? Температура газа 68 0С.

8-18. Найти среднюю продолжительность τ свободного пробега молекул кислорода при температуре Т = 250 0К и давлении р = 100 Па.

8-19. Баллон вместимостью V = 10 л содержит водород массой т = 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега молекул .

8-20. Коэффициент диффузии кислорода при температуре t = 0 0С равен 0,19 см2/с. Определить среднюю длину свободного пробега молекул кислорода.

8-21. Вычислить коэффициент диффузии азота: 1) при нормальных услови- ях; 2) при давлении 100 Па и температуре 300 0К.

8-22. Найти динамическую вязкость η гелия при нормальных условиях, если коэффициент диффузии D при тех же условиях равен 1,06 ·10–4 м2/с.

8-23. Какая часть молекул водорода при 0 0С обладает скоростями от

2000 м/с до 2100 м/с.

8-24. Какая часть молекул азота при температуре 150 0С обладает скоро- стями, лежащими в интервале от v1 = 300 м/с до v2 = 800 м/с.

8-25. Вычислить коэффициент теплопроводности гелия при нормальных условиях.

8-26. Кислород находится при температуре 300 0К под давлением р = 1·105 Па. Определить: 1) среднюю длину свободного пробега молекул; 2) среднее время свободного пробега молекул.

77

8-27. Коэффициенты диффузии и внутреннего трения кислорода равны со-

	D =1,22 ×10	−5 м2		и η =1,95 ×10	−5	кг
ответственно							. Найти при этих условиях:
			с			м × с

1) плотность кислорода; 2) среднюю длину свободного пробега его молекул; 3) среднюю арифметическую скорость его молекул.

8-28. В сосуде объемом V = 2 л находится N = 4·1022 молекул двухатомного

газа. Коэффициент теплопроводности газа равен К = 0,014 Вт . Найти коэф- м × K

фициент диффузии газа при этих условиях.

8-29. Средняя длина свободного пробега l молекулы углекислого газа при

нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость v молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в

одну секунду.

8-30. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вывеси формулу наиболее вероятной скорости vв .

9. Физические основы термодинамики

Основные формулы

1. Связь между молярной (Ст) и удельной (с) теплоемкостями газа

Cm = cμ ,

где μ – молярная масса газа.

2. Молярные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давле- нии соответственно равны

CV = iR / 2, C p = (i + 2)R / 2,

где i – число степеней свободы; R – универсальная газовая постоянная.

3. Удельные теплоемкости при постоянном объеме и постоянном давлении соответственно равны:

cV = 1 × R

2 μ

4. Уравнение Р.Майера

C p

5. Показатель адиабаты

, c p = i + 2 × R .

2 μ

− CV = R.

γ = c	p	c , или γ = C	C , или γ =	i + 2	.
		V	p V	i

78

6. Внутренняя энергия идеального газа

U = N ε , или U = νCV T ,

где ε – средняя кинетическая энергия молекулы; N – число молекул газа; n –

количество вещества.

DU =	i	×	m	R (T	- T ) – изменение внутренней энергии.
	2 μ			2	1

7. Работа, связанная с изменением объема газа, в общем случае вычисляет- ся по формуле

V2

A = ∫ pdV ,

V1

где V1 – начальный объем газа; V2 – его конечный объем. Работа газа при изобарическом процессе (р = const)

A = p (V2 − V1 ),

при изотермическом процессе (Т = const)

A = (m / μ )RT ln (V2 / V1 ),

при адиабатическом процессе

RT1

v −1

m

m

(T1 - T2 ),

V1

A =

CV

или

A =

×

1

-

,

μ

γ -1

μ

V

2

где Т1 – начальная температура газа; Т2 – его конечная температура.

8. Уравнение Пуассона (уравнение газового состояния при адиабатическом процессе)

pV γ = const .

9. Связь между начальным и конечным значениями параметров состояний газа при адиабатическом процессе:

p	2	V			γ		T		V			γ −1		T			p	2	(γ −1)/ γ
				1		;		2			1		;		2					,
p								T							T		p
		= V		2					= V		2					=
	1						1							1				1

10. Первое начало термодинамики в общем случае записывается в виде

Q = U + A ,

79

где Q – количество теплоты, сообщенное газу; U – изменение его внутренней энергии; A – работа, совершаемая газом против внешних сил.

Первое начало термодинамики при изобарическом процессе

Q = U + A =

m

C T +

m

R T =

m

C

T ;

p

μ

V

μ

μ

при изохорическом процессе (А = 0)

Q = U = (m / μ )CV T ;

при адиабатическом процессе (Q = 0)

A = − U = −(m / μ )CV T .

11. Термический коэффициент полезного действия (КПД) цикла в общем

случае

η = (Q1 − Q2 ) / Q1 ,

где Q1 –

количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от нагревателя;

Q2 – количество теплоты, переданное рабочим телом охладителю.

КПД цикла Карно

η = (Q1 − Q2 )/ Q1;

или η = (T1 − T2 )/ T1 ,

где Т1 –

температура нагревателя; Т2 – температура охладителя.

12. Изменение энтропии

B

dQ

S = ∫

,

A

T

где А и В – пределы интегрирования, соответствующие начальному и конечному состояниям системы. Так как процесс равновесный, то интегрирование проводит- ся по любому пути.

13. Формула Больцмана

S = k ln W ,

где S – энтропия системы; W – термодинамическая вероятность ее состояния; k – постоянная Больцмана.

Примеры решения задач

Задача 1. В вертикальном цилиндре под тяжелым поршнем находится ки- слород массы т = 1 кг. Для повышения температуры кислорода на Т = 10 0К ему было сообщено количество теплоты Q = 9,1 кДж. Найти удельную теплоемкость кислорода, работу, совершаемую им при расширении, и увеличение его внутрен- ней энергии.

80