mekhanika_i_molekulyarka

Радиус кривизны траектории в точке В вычислим по формуле

an = v2 . R

Подставив в последнее выражение значения v и ап , рассчитанные выше,

2

получим радиус кривизны траектории: R = v an ≈ 6,2 м.

О т в е т: ап = 9,2 м/с2; аτ = 4 м/с2; R = 6,2 м.

Задача 2. Тело брошено под углом α = 300 к горизонту из положения с ко- ординатой уо = 5 м над поверхностью Земли. Начальная скорость тела vо = 10 м/с. Определить координату уmax наивысшей точки подъема тела над поверхно- стью Земли и координату хп точки падения тела на поверхность Земли.

Д а н о:

Р е ш е н и е

α = 300

Сделаем рисунок. Направим оси ОХ и ОУ вдоль горизон-

уо = 5 м

тального и вертикального перемещений тела.

vо = 10 м/с

уmax = ?

хп = ?

Криволинейное равнопеременное движение тела можно рассматривать как сумму двух движений: вдоль оси ОХ тело движется равномерно и прямолинейно со скоростью vox = v0cosα , вдоль оси ОУ – прямолинейно равнопеременно с начальной скоростью voy = vosinα и ускорением свободного падения g.

Скорость тела вдоль оси ОУ в произвольный момент времени t от начала движения v y = voy − gt . В точке наивысшего подъема тела (точка В) v y = 0 , т.е.

voy = gt , откуда время подъема тела

tn = vo sinα . g

Координату точки наивысшего подъема тела определим по формуле

21

gt

2

v

o

sinα

ymax = yo + voytn

-

n

, где tn =

.

2

g

Таким образом,

ymax = yo

+

vo2sin 2α

-

vo2sin 2α

= yo

+

vo2sin 2α

.

g

2g

2g

Подставив значения уо,

vо, α

и g

в последнее

выражение, получим

ymax ≈ 6,3 м. Время движения тела до точки падения на поверхность Земли най-

дем	из условия у = 0, т.е. yo	+ voy t -	gt 2	= 0 . Подставив значения
voy	= vosinα = 5 м/с	2

и g = 10 м/с2, получим квадратное уравнение t2 – t – 1 = 0. Корни этого уравнения

t =	1 +	5	,	t		=	1 -	5		.
					2
1	2					2

Второй корень не имеет физического смысла. Следовательно, время движения тела до точки падения на поверхность Земли t = 1 + 5 »1,6 с, а координата ее

				2
xn	= vocosα × t =10 ×	3			× 1,6 » 14 (м).
	2

О т в е т: уmax » 6,3 м; хп » 14 м.

Задача 3. Миномет установлен под углом α = 600 к горизонту на крыше здания, высота которого h = 40 м. Начальная скорость vо равна 50 м/с. Написать кинематические уравнение движения и уравнение траектории. Определить время τ полета мины, максимальную высоту Н ее подъема, горизонтальную дальность S полета, скорость v в момент падения мины на землю, нормальное, тангенциаль- ное ускорения, а также радиусы кривизны траектории в верхней точке и в точке падения камня на землю.

Д а н о:

h = 40 м

vо = 50 м/с α = 600

τ = ? H = ? S = ? v = ? ап = ?

aτ = ? R = ?

х = f(t); у = f(х)

Р е ш е н и е
Выберем систему координат с началом			отсчета
в точке 0 и запишем уравнения движения мины:
x = v0 cosα ×t			(1)
y = h + v0sinα × t -	gt 2	.	(2)
2

22

Исключив из уравнений (1) и (2) время, получим уравнение траектории:

y = h + x × tgα -	gx2		.
	2v02cos2
		α

Скорость движения мины по оси ОУ изменяются по закону

vy = v0sinα − gt .

Вточке В (вершина параболы) t = t1 , у = Н, vу = 0. Тогда уравнение (3) примет вид

O = voу − gt1 ,

откуда время подъема

t	=	vo sin α			.			(4)
1			g
Применяя уравнение (2) для точки В, находим
	gt 2			v		sin 2α
H = h + v0 × sinα × t1 -	1		= h +	0			=136	м.
	2					2g

Запишем уравнение (1) и (2) для точки С падения мины на землю ( t = τ , у = 0,

х = S):

0 = h + vosin α × τ -	gτ2	,	(5)
2
23

	S = vo × cosα ×τ					(6)
Из уравнения (5) находим время движения камня до точки С:
		v		± v2 + 2gh
	τ =		oy		oy		,
					g
τ =	vosinα ±								= 9,3 с
				vo2sin 2α + g × h
				g

(отрицательный корень отбрасываем).

Расстояние (по горизонтали) от места бросания

S = vocosα ×τ = 232 м.

Скорость в момент падения

vc = v2x + v2y = (vocos α)2 + (vosin α - gτ)2 = 54 м/с.

В верхней точке траектории (точка В)

vy = 0; vB = vx = voх; aτ = 0; an = a = g.

Зная нормальное ускорение и скорость, найдем радиус кривизны траекто- рии в точке В:

R =

v

2

=

v

2cos2α

= 64

B

o

м.

an

g

В точке С нормальное ускорение

vc2

vox

2

an =

= g × sin β = g ×

=

4,5 м/с ,

vc

R

радиус кривизны

R =

v2

= 648 м,

c

an

а тангенциальное ускорение

aτ = g 2 - an2 = 8,7 м/с2.

Задача 4. Якорь электромотора, вращающийся со скоростью n = 50 об/с, двигаясь после выключения тока равнозамедленно, остановился, сделав N = 1500 оборотов. Найти угловое ускорение и продолжительность торможения.

24

	Д а н о:					Р е ш е н и е
	N = 1500		Угловое ускорение якоря электромотора связано с началь-
	ν = 50 об/с		ной ωо и конечной ω угловыми скоростями соотношением
	ω = 0					ω - ωo2 = 2ε ϕ ,
	t = ? ε = ?
	откуда				ε = ω 2 - ωo2 .
						2ϕ
Но
				ϕ = 2πN , ωo = 2πν,
то
			ε = -	4π 2 ν2		π ν	2
					= -		= -5,2 рад/с2.
				2 × 2π N		N

Знак минус указывает на то, что якорь вращался равнозамедленно. По ус- ловию задачи угловая скорость линейно зависит от времени

ω = ω0 − ε t ,

отсюда

t =	ω0 − ω	=	2πν	= 60,4 с.
	ε		ε

Задача 5. Материальная точка начинает двигаться по окружности радиуса R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением аτ = 0,5 см/с2. Через какой промежуток времени вектор ускорения а образует с вектором скорости v угол α , равный 300? Какой путь пройдет за это время движущаяся точка?

Д а н о:

Р е ш е н и е

v0 = 0

аτ = 0,5 см/с2

R = 20 см α = 300

t = ? S = ?

25

Угол α между векторами a и v зависит от соотношения между нормаль- ным ап и тангенциальным аτ ускорениями:

tgα =	an	=	v2
			R × aτ
	aτ

Тангенциальное ускорение

aτ = dv = const , dt

следовательно, мгновенная скорость движущейся точки (при v0 = 0) v = aτ × t .

Подставляя (2) в формулу (1), находим

a 2 × t 2

a

× t

2

tgα =

τ

=

τ

,

R × aτ

R

тогда время

t =

R × tgα

= 4,8 с,

aτ

а путь

t

t

a

× t 2

S = ∫v × dt =∫aτ × t × dt =

τ

= 5,8 см.

2

0

0

(1)

(2)

О т в е т: t = 4,8 с; S = 5,8 см.

Задачи

3-1. С вышки бросили камень в горизонтальном направлении. Через про- межуток времени t = 2 с камень упал на землю на расстоянии S = 40 м от осно- вания вышки. Определить начальную vо и конечную v скорости камня.

3-2. Тело брошено со скоростью vо под углом α к горизонту. Найти величи- ны vо и α, если известно, что наибольшая высота подъема тела Н = 3 м и радиус кривизны траектории тела в верхней точке траектории R = 3 м.

3-3. Тело брошено со скоростью vо = 14,7 м/с под углом α = 300 к горизон- ту. Найти нормальное и тангенциальное ускорения тела через t = 1,25 с после начала движения.

3-4. Тело брошено со скоростью vо = 20 м/с под углом α = 300 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти скорость тела, а также его нормальное и тангенциальное ускорения через t = 1,5 с после начала движения.

26

На какое расстояние l переместится тело по горизонтали и на какой окажется высоте?

3-5. Камень брошен горизонтально со скоростью 10 м/с. Найти радиус кри- визны траектории камня через 2 с после начала движения.

3-6. Камень брошен горизонтально со скоростью v = 15 м/с. Найти нор- мальное и тангенциальное ускорения камня через 2 с после начала движения.

3-7. Снаряд, выпущенный из орудия под углом α = 300 к горизонту, дважды побывал на одной и той же высоте h: спустя t1 = 10 с и t2 = 50 с после выстрела. Определить начальную скорость vо и высоту h.

3-8. Пуля пущена с начальной скоростью vо = 200 м/с под углом α = 600 к горизонту. Определить максимальную высоту Н подъема, дальность полета S и радиус кривизны R траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

3-9. Камень брошен с высоты в горизонтальном направлении со скоростью vо = 30 м/с. Определить скорость v, тангенциальное и нормальное ускорения кам- ня в конце второй секунды после начала движения.

3-10. На цилиндр, который может вращаться около горизонтальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноускоренно, грузик за время t = 3 с опустился на h = 1,5 м. Определить угловое ускорение ε цилиндра, если его радиус r = 4 см.

3-11. Диск радиусом r = 10 см, находящийся в состоянии покоя, начал вра- щаться с постоянным угловым ускорением ε = 0,5 рад/с2. Найти тангенциальное и полное ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды после начала вращения.

3-12. Колесо вращается с частотой n = 5 с–1 . Под действием сил трения оно остановилось через интервал времени t = 1 мин. Определить угловое ускорение ε и число N оборотов, которое сделало колесо за это время.

3-13. Диск вращается с угловым ускорением ε = –2			рад/с2. Сколько оборотов
N сделает диск при	изменении частоты	вращения	от n1 = 240 об/мин до
n2 = 90 об/мин? Найти	промежуток времени	t, в течение которого это произойдет.

3-14. Маховик, вращающийся с постоянной частотой nо = 10 с–1 , при тор- можении начал вращаться равнозамедленно. Когда торможение прекратилось, вращение снова стало равномерным, но уже с частотой n = 6 с–1 . Определить угловое ускорение ε маховика и продолжительность t торможения, если за вре- мя равнозамедленного движения маховик сделал N = 50 оборотов.

3-15. Тело брошено под некоторым углом α к горизонту. Найти величину этого угла, если горизонтальная дальность полета S тела в 4 раза больше макси- мальной высоты Н траектории.

3-16. Два тела бросили одновременно из одной точки: одно – вертикально вверх, другое – под углом α = 600 к горизонту. Пренебрегая сопротивлением воз- духа, найти расстояние между телами через t = 1,7 с, если vо = 25 м/с.

3-17. Камень, брошенный под углом α = 300 к горизонту с начальной скоро- стью vо = 30 м/с, через время t = 2 с упал на крышу дома. Определить высоту дома и расстояние до него.

27

3-18. Тело брошено со стола горизонтально. При падении на пол его ско- рость равна v = 7,8 м/с. Высота стола Н = 1,5 м. Чему равна начальная скорость тела vо?

3-19. Камень, брошенный горизонтально с крыши дома со скоростью vо = 15 м/с, упал на землю под углом α = 600 к горизонту. Какова высота дома Н?

3-20. Колесо радиусом R = 5 см вращается так, что зависимость угла пово-

рота радиуса колеса от времени дается уравнением ϕ = A + Bt + Ct 2 + Dt 3 , где D = 1 рад/с3. Найти для точек, лежащих на ободе колеса, изменение тангенциаль- ного ускорения аτ за каждую секунду движения.

3-21. Точка движется по окружности радиусом R = 10 см с постоянным тан- генциальным ускорением аτ. Найти тангенциальное ускорение аτ точки, если известно, что к концу пятого оборота после начала движения скорость точки стала v = 79,2 см/с.

3-22. Точка движется по окружности радиусом R = 20 см с постоянным тангенциальным ускорением аτ = 5 см/с2. Через сколько времени после начала движения нормальное ускорение ап точки будет: 1) равным тангенциальному; 2) вдвое больше тангенциального?

3-23. Вентилятор вращается со скоростью, соответствующей частоте 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки 75 об. Сколько времени прошло с момента выключения вентилято- ра до его полной остановки?

3-24. Колесо, вращаясь равноускоренно, достигло угловой скорости ω = 20 рад/с через N = 10 об. после начала вращения. Найти угловое ускорение колеса.

3-25. Маховое колесо, спустя t = 1 мин после начала вращения, приобретает скорость, соответствующую частоте п = 720 об/мин. Найти угловое ускорение колеса и число оборотов колеса за эту минуту. Движение равноускоренное.

3-26. Найти угловое ускорение колеса, если известно, что через 2 с после начала равноускоренного движения вектор полного ускорения точки, лежащей на ободе, составляет угол 600 с направлением линейной скорости этой точки.

3-27. Точка движется по окружности радиусом R = 2 см. Зависимость пути от времени дается уравнением х = Сt3, где С = 0,1 м/с3. Найти нормальное и тан- генциальное ускорения точки в момент, когда линейная скорость точки равна v = 0,3 м/с.

3-28. Тело на высоте Н = 2 м бросают в горизонтальном направлении так, что к поверхности земли оно подлетает под углом α = 450 к горизонту. Какое расстояние по горизонтали пролетает тело?

3-29. Тело брошено горизонтально со скоростью vо = 15 м/с. Найти нор- мальное и тангенциальное ускорения через время t = 1 с после начала движения тела.

3-30. Камень брошен под	углом α = 300 к горизонту со	скоростью
vо = 10 м/с. Через какое время t	камень будет на высоте h = 1 м?	Чему равен
радиус кривизны траектории в этой точке?

28

II.ДИНАМИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

4.Законы Ньютона. Динамика материальной точки, движущейся по окружности

Основные формулы

1.Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона):

ввекторной форме:

		r	n r		n r
		dp		r
			= ∑Fi , или	ma	= ∑ Fi ,
		dt
			i=1		i =1
n	r
где ∑Fi – геометрическая сумма сил, действующих на материальную точку;
i =1
m –	масса;
a –	ускорение;

p = mv – импульс;

п– число сил, действующих на точку;

вкоординатной форме (скалярной):

max = ∑ Fxi , ma y = ∑ Fyi , maz = ∑ F zi ,

где под знаком суммы стоят проекции сил Fi на соответствующие оси координат. 2. Изменение импульса тела

Dr = D( r ) = × D p mv F t .

3. Сила упругости

Fynp = −kx,

где k – коэффициент упругости (жесткость в случае пружины);

х– абсолютная деформация.

4.Сила гравитационного взаимодействия

F = G m1m2 , r 2

где G – гравитационная постоянная;

m1 и m2 – массы взаимодействующих тел, рассматриваемых как материальные точки;

r – расстояние между точками. 5. Сила трения скольжения

Fтр = kN ,

29

где k – коэффициент трения скольжения; N – сила нормальной реакции опоры.

6. Сила тяжести

= r

P mg .

7. Третий закон Ньютона:

F12 = −F21 .

Примеры решения задач

Задача 1. Тележка массой М = 20 кг может катиться без трения по гори- зонтальному пути.

На тележке лежит брусок массой m = 2кг. Коэффициент трения между бру- ском и тележкой k = 0,25. К бруску прило-

жена сила, один раз – F1 = 2 Н, другой раз – F2 = 20 Н. Определить, какова будет сила

трения между бруском и тележкой, и с ка- кими ускорениями будут двигаться брусок и тележка в обоих случаях.

Д а н о:

M = 20 кг m = 2 кг k = 0,25 F1 = 2 Н F2 = 20 Н

а1δ = ? а1m = ? а2δ = ? а2m = ?

Fтр = ?

Р е ш е н и е

Рассмотрим силы, действующие по горизонтали на каждое тело. На брусок действует внешняя сила F и си- ла трения, возникающая между бруском и тележкой fтр. К

тележке со стороны бруска приложена сила		f	′	, которая
			тр
увлекает ее вслед за доской.	По третьему закону Ньютона
′	= - f тр .
f тр

Максимальная сила трения покоя f тр.max = kmg , или

f тр.max = 0,25 · 2 кг · 9,8 м/с2 = 5 Н. В первом случае F1 = 2 Н, т.е. F1 < Fтр.max, поэтому сила F1 не может заставить брусок скользить по тележке, т.е. брусок и тележка будут двигаться как одно целое.

Запишем уравнения движения в проекциях на горизонталь:

	для бруска	F1 - fтр = m × aδ					;
	для тележки	fтр = Mam ,			aδ = am = a ;
		a =	F1	=	2			= 0,09	2
	отсюда								(м/с ),
			M + m		20 + 2

30