mekhanika_i_molekulyarka

Для системы, состоящей из двух взаимодействующих тел, закон сохране- ния импульса примет вид

m1v1 + m2 v2 = m1u1 + m2u2

при упругом взаимодействии;

m1v1 + m2 v2 = (m1 + m2 )u

при неупругом взаимодействии.

Здесь v1 и v2 – скорости тел до их взаимодействия;

u1 , u2 , u – скорости тел после их взаимодействия.

При решении задач записываем для тела уравнение закона сохранения им- пульса в векторной форме, выбираем направления осей координат и проецируем на них обе части векторного уравнения.

2. Работа постоянной силы

A = F × S cos α ,

где F – сила, действующая на тело;

S – перемещение тела под действием силы;

α– угол между направлениями силы и перемещения.

3.Работа переменной силы на пути S

S

A = ∫FS × dS ,

o

где FS = F · cosα – проекция силы на перемещение. 4. Мощность

P = A , t

где t – время, за которое совершается работа. Если движение равномерное, то

			P = F × v,
где v –	скорость равномерного движения.
В случае неравномерного движения вводят понятия мгновенной и средней
мощности:
	P =	dA	= F × v ; P = F × v ,
		dt
где v –	мгновенная скорость движения;
v –	средняя скорость переменного движения.

5. Изменение полной энергии системы равно работе, совершенной внеш- ними силами, проложенными к системе:

41

E2 − E1 = Aвнеш .

6. Кинетическая энергия тела, движущегося поступательно со скоростью v,

Ek = mv2 .

2

7. Потенциальная энергия тела, поднятого вблизи поверхности Земли на высоту h,

En = mgh.

8. Потенциальная энергия упруго деформированного тела

En = kx 2 , 2

где k – коэффициент упругости, определяемый отношением упругой силы к ве- личине х упругой деформации.

9. Закон сохранения энергии в механике: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, есть ве- личина постоянная, т.е. En + Ek = const.

Примеры решения задач

Задача 1. Тело брошено вертикально вверх со скоростью vо = 30 м/с. На ка- кой высоте h его кинетическая энергия будет равна потенциальной?

Д а н о:

vо = 30 м/с

EkB = E pB

h = ?

учитывая, что mv2

2

откуда

Р е ш е н и е

Направим ось ОУ вертикально вверх, начало оси выберем на поверхности Земли. Для нахождения h используем закон сохране- ния механической энергии на ОВ, где внеш- ние силы не действуют:

mvo2	=	mv2	+ mgh,
2
	2

= mgh, то mvo2 = 2mgh,

2

h = vo2 = 23 м. 4g

42

Задача 2. Конькобежец массой m1 = 60 кг, стоя на коньках на льду, бросает в горизонтальном направлении камень массой m2 = 2 кг со скоростью v = 10 м/с. Найти, на какое расстояние откатится при этом конькобежец, если известно, что коэффициент трения коньков о лед k = 0,02.

Д а н о:			Р е ш е н и е
m1	= 60 кг		На основании закона сохранения импульса тел можно за-
m2	= 2 кг		писать:
v = 10 м/с			m1v1 + (− m2 v) = 0,
k = 0,02
S = ?			откуда скорость, с которой начнет откатываться конькобежец

v1 = m2 v . m1

Работа силы трения

A = -Fтр × S = -km1gS .

Так как изменение кинетической энергии должно быть равно работе внеш-

m v2

них сил, то E = A или E - Eo = A, где Eo

=

1 1

; E = 0,

2

тогда

−

m v2

= −km gS ,

1

1

2

1

откуда

m2

2

v

2

S =

= 0,28 м.

2kg

m

1

Задача 3. Шар массой m, летевший горизонтально со скоростью v (как по- казано на рисунке), после абсолютно упругого удара о наклонную поверхность клина отскакивает вертикально вверх. Клин массой М стоит на гладкой горизон- тальной поверхности и после удара скользит по этой поверхности. На какую вы- соту подскочит шар?

Д а н о:

Р е ш е н и е

m, M, v

h = ?

43

Высота h, на которую поднимается шар, определяется вертикальной скоро- стью v1, приобретаемой шаром в результате удара:

h =	v2	(1)
	1 .

2g

Если масса клина много больше массы шара (М >> m), то массивный клин не сдвинется с места. Так как по условию удар шара о клин абсолютно упругий, то скорость шара изменится только по направлению, а по модулю v1 = v. Следовательно,

h = v2 .

2g

Рассмотрим случай, когда масса клина сравнима с массой шара. По усло- вию задачи трение между клином и поверхностью отсутствует. Применим закон сохранения импульса и энергии при ударе шара о клин:

mv = Mv2 ,									(1)
mv	2		Mv	2		mv	2
		=		2	+	1		.	(2)
2			2
						2

Так как из (1) v2 = mv , то уравнение (2) примет вид

M

	mv	2				M mv					2			mv	2
			=								+			1		,
2
						2 M								2
откуда								M − m
		v2			= v2								,
		1							M
следовательно, высота подъема шара
	h =			v2 (M - m)
												.
						2g × M

Задача 4. Груз массой 1 кг падает с некоторой высоты на плиту массой 2 кг, укрепленную на пружине жесткостью k = 5·102 Н/м. Определить наибольшее сжатие пружины, если в момент удара груз обладал скоростью 5 м/с. Удар не- упругий.

44

Д а н о:

m1 = 1 кг

m2 = 2 кг

k = 5·102 Н/м v = 5 м/с

х = ?

Р е ш е н и е

По закону сохранения энергии полная механическая энергия груза вместе с плитой после удара равна потенциаль- ной энергии сжатой пружины:

(m1	+ m2 )gx +	(m + m )u2		=	kx2
		1	2			,	(1)
			2
				2

где m1 – масса плиты; m2 – масса груза;

u – скорость груза и плиты после удара, которую можно найти по закону со-

хранения импульса для неупругого удара:

m1v = (m1 + m2 )u, откуда

u =

m1v

(2)

.

m1 + m2

Подставляя (2) в уравнение (1), получим

(m1

+ m2 )gx +

(m + m )× m2 v2

=

kx2

1

2

1

(m1 + m2 )2

2 ×

2

или

kx

2 - 2g(m + m

2

)x -

m12 v2

= 0,

1

m1 + m2

откуда

x =

g(m1 + m2 ) ±

= 0,20 м.

g 2 (m1 + m2 )2 + km12 v2

(m1 + m2 )

k

Задача 5. Пластмассовый шар массой М лежит на подставке с отверстием. Снизу в шар через отверстие попадает вертикально летящая пуля массой m и пробивает его насквозь. При этом шар подскакивает на высоту Н. На какую вы- соту h над подставкой поднимется пробившая шар пуля, если перед попаданием в шар она имела скорость vо?

Д а н о:		Р е ш е н и е
M, H, m, vо		Согласно закону сохранения импульса
h = ?		mvo = mv + Mu ,	(1)

где v и u – скорости пули и шара в первый момент после пробивания шара пулей. По закону сохранения энергии для шара и пули имеем:

45

MgH =	Mu 2		;	mgh =		mv2		.	(2)
		2		2
Исключая из (1), (2) v и u, найдем
		(mvo		- M			)2
h =					2gH				.
				2m2 g

Задача 6. Автомобиль массой m = 103 трогается с места и, двигаясь равно- ускоренно, проходит путь S =100 м за время t = 10 с. Kакую среднюю мощность

развивает автомобиль, если коэффициент трения 0,01?

Д а н о:

Р е ш е н и е

v0 = 0

m = 103 кг

S = 100 м

t = 10 с

k = 0,01 с

P = ?

На автомобиль действуют: mg –

сила тяжести,

Fтр – сила трения, F – си-

ла тяги, N –

сила нормальной реакции опоры. Из них силы mg и N – внутрен-

ние силы, F и Fтр –

внешние. Так как изменение кинетической энергии должно

быть равно работе внешних сил, то

E = A или

E − Eo

= A1 + A2

(1),

где E =

mv2

, E

= 0 ;

A = F × S –

работа силы тяги;

A

= -`F

× S – работа силы

o

2

1

2

тр

трения.

Fтр = kmg ,

Учитывая,

что

подставим Е, Ео ,

А1

и А2

в уравнение (1):

m v2 2 = F × S - kmgS . Тогда сила тяги

2

F = m

v

+ kg .

(2)

2S

Согласно определению, средняя скорость равнопеременного движения

v

=

v + vo

=

v

.

(3)

2

2

По определению, средняя мощность

46

mv

P = F × v =

2

v	2
		+ kg .

2S

Скорость автомобиля найдем из уравнений кинематики:

		v = at ,				S = a t 2			2,		(4)
откуда				v =			2S	..
							t
		m × S 2S								3
Следовательно,	P =					+ kg » 21×10					Вт.
		t t 2
Задача 7.	Определить	работу				подъема			груза		по наклонной плоскости

и среднюю мощность подъемного устройства, если масса груза 100 кг, длина наклонной плоскости 4 м, угол ее наклона к горизонту 300, коэффициент трения 0,15, ускорение при подъеме 0,5 м/с2. У основания наклонной плоскости груз находится в покое.

Д а н о: Р е ш е н и е

v0 = 0

m = 100 кг l = 4 м

α = 300

k = 0,15

а = 0,5 м/с2

А = ?

P = ?

На груз, движущийся по наклонной плоскости действуют: mg – сила тяже-

сти, N – сила нормальной реакции наклонной плоскости, F – сила тяги подъем- ного устройства, Fтр – сила трения. Выбирая направления осей х и у и проецируя на них векторное уравнение второго закона Ньютона для тела, получаем

	F - mg × sinα - Fтр = ma,	(1)
	N - mg × cos α = 0.	(2)
Тогда	F = mg ×sin α + ma + Fтр , N = mg × cos α .	(3)
Так как	Fтр = kN = kmg × cos α ,

47

то F = mg × sin α + ma + kmg × cos α . (4)

Найдем работу по подъему груза:

A = F × l = ml(g × sin α + a + kg × cos α ) = 2,7 ×103 Дж.

Средняя мощность подъемного устройства

P = A , t

где t – время подъема груза, которое может быть получено из уравнения равноус- коренного движения

l =

a × t

2

, т.е. t =

2l

.

2

a

Следовательно,

P =

ml(a + g × sin

α

+ kg × cos α )

= 0,67 ×103 Вт.

2l

a

Задачи

5-1. Граната массой 1,5 кг, летевшая со скоростью 12 м/с, разорвалась на две части, массы которых равны 1 кг и 0,5 кг. Скорость большого осколка равна 200 м/с и направлена под углом 300 к горизонту вниз и вперед. Найти модуль и направление скорости меньшего осколка.

5-2. Пуля массой 20 г, летевшая с горизонтальной скоростью 500 м/с, попа- ла в предмет, подвешенный на нити, и застряла в нем. Определить угол α, на который отклонился предмет, если его масса 5 кг, а длина нити 5 м.

5-3. Тело, масса которого равна 990 г, лежит на горизонтальной поверхно- сти. В него попадает пуля массой 10 г и застревает в нем. Скорость пули направ- лена горизонтально и равна 700 м/с. Какой путь проходит тело до остановки, если коэффициент трения между телом и поверхностью равен 0,05?

5-4. Пуля массой m попадает в баллистический маятник с массой М, где и застревает. При этом маятник отклоняется от вертикали и поднимается на высоту h. Найти скорость пули в момент удара.

5-5. На краю стола высотой h лежит маленький шарик массой m1. В него попадает пуля массой m2, движущаяся горизонтально со скоростью v, направлен- ной в центр шарика. Пуля застревает в шарике. На каком расстоянии от стола по горизонтали шарик упадет на землю?

5-6. На полу стоит длинная тележка, снабженная колесами. На одном конце тележки стоит человек. Масса человека М = 60 кг, масса тележки m = 20 кг. С какой скоростью относительно пола будет двигаться тележка, если человек

48

пойдет по ней со скоростью v = 1 м/с? Массой колес пренебречь. Трение во втул- ках не учитывать.

5-7. Тело массой m1 = 2 кг движется навстречу второму телу, масса которо- го m2 = 1,5 кг и неупруго сталкивается с ним. Скорость тел перед столкновением была равна соответственно v1 = 1 м/с и v2 = 2 м/с. Сколько времени будут дви- гаться эти тела после столкновения, если коэффициент трения равен k = 0,05?

5-8. На рельсах стоит платформа, на которой закреплено орудие без проти- вооткатного устройства. Из орудия производят выстрел вдоль железнодорожного полотна. Масса снаряда т1 = 10 кг, его скорость v1 = 1 км/с. Масса платформы с орудием М = 20 т. На какое расстояние l откатится платформа после выстрела, если коэффициент трения k = 0,002?

5-9. Снаряд массой m1 = 50 кг, летящий под углом α = 300 к вертикали со скоростью v = 800 м/с, попадает в платформу, нагруженную песком, и застревает в нем. Найти скорость платформы после попадания снаряда, если ее масса m2 = 16 т.

5-10. Груз массой 3 кг, падающий с высоты 10 м, проникает в мягкий грунт на глубину 8 см. Oпределить среднюю силу сопротивления грунта.

5-11. При вертикальном подъеме груза массой 20 кг на высоту 1 м постоян- ной силой F была совершена работа 80 Дж. С каким ускорением поднимается груз?

5-12. Рассчитать вторую космическую скорость, которую надо сообщить ракете у поверхности Земли, чтобы она навсегда улетела от нее.

5-13. Мяч, летящий со скоростью v1 = 15 м/с, отбрасывается ударом ракет- ки в противоположном направлении со скоростью v2 = 20 м/с. Найти, чему равно изменение импульса мяча, если известно, что изменение его кинетической энер- гии при этом ЕK = 8,75 Дж.

5-14. Вдоль берега плыл плот массы М со скоростью v1 . На него в направ- лении, перпендикулярном берегу, прыгнул человек массы m с горизонтальной скоростью v2 . Какой стала скорость плота с человеком?

5-15. Вагон массой 20 т, движущийся равнозамедленно под действием силы трения в 6000 Н, через некоторое время останавливается. Начальная скорость вагона 54 км/ч. Найти: 1) работу сил трения; 2) расстояние, которое вагон прой- дет до остановки.

5-16. Найти работу, которую надо совершить, чтобы увеличить скорость движения тела от 2 м/с до 6 м/с на пути 10 м. На всем пути действует постоянная сила трения, равная 2 Н. Масса тела равна 1 кг.

5-17. Камень массой 2 кг упал с некоторой высоты. Падение продолжа- лось 1,43 с. Найти кинетическую и потенциальную энергию камня в средней точ- ке пути. Сопротивлением воздуха пренебречь.

5-18. С башни высотой 25 м горизонтально брошен камень со скоростью 15 м/с. Найти кинетическую и потенциальную энергии камня спустя одну секун- ду после начала движения. Масса камня m = 0,2 кг.

5-19. Камень бросили под углом α = 600 к горизонту со скоростью vо = 15 м/с. Найти кинетическую, потенциальную и полную энергию камня:

49

1) спустя одну секунду после начала движения; 2) в высшей точке траектории. Масса камня m = 0,2 кг.

5-20. Работа, затраченная на толкание ядра, брошенного под углом α = 300 к горизонту, равна А = 216 Дж. Через сколько времени и на каком расстоянии от места бросания ядро упадет на землю? Масса ядра m = 2 кг. Сопротивление воз- духа не учитывать.

5-21. С наклонной плоскости высотой 1 м и длиной 10 м скользит тело массой 1 кг. Найти: 1) кинетическую энергию тела у основания плоскости; 2) скорость тела у основания плоскости; 3) расстояние, пройденное телом по горизонтальной части пути до остановки. Коэффициент трения на всем пути счи- тать постоянным и равным 0,05.

5-22. Тело скользит сначала по наклонной плоскости, составляющей угол α = 80 с горизонтом, а затем по горизонтальной поверхности. Найти, чему равен коэффициент трения, если известно, что тело по горизонтали проходит такое же расстояние, как и по наклонной плоскости.

5-23. Автомобиль массой 2000 кг равномерно поднимается в гору. Уклон горы равен 0,04. Коэффициент трения равен 0,08. Найти: 1) работу, совершенную двигателем автомобиля на пути в 3 км; 2) мощность, развиваемую двигателем, если известно, что этот путь был пройден за 4 мин.

5-24. Человек, стоящий на неподвижной тележке, бросил вперед в горизон- тальном направлении камень массой 2 кг. Тележка с человеком покатилась назад и в первый момент после бросания ее скорость была равна 0,1 м/с. Масса тележки с человеком 100 кг. Найти кинетическую энергию брошенного камня через 0,5 с после начала его движения. Сопротивлением воздуха пренебречь.

5-25. Из орудия массой m = 5·103 кг вылетает снаряд массой 100 кг. Кине- тическая энергия снаряда при вылете равна 7,5·103 Дж. Какую кинетическую энергию получает орудие вследствие отдачи?

5-26. Тело массой 5 кг ударяется о неподвижное тело массой 2,5 кг, которое после удара начинает двигаться с кинетической энергией 5 Дж. Считая удар цен- тральным и упругим, найти кинетическую энергию первого тела до и после удара.

5-27. Тело массой 5 кг ударяется о неподвижное тело массой 2,5 кг. Кине- тическая энергия системы этих двух тел непосредственно после удара стала рав- на 5 Дж. Считая удар центральным и неупругим, найти кинетическую энергию первого тела до удара.

5-28. Два груза массами m1 = 10 кг и m2 = 15 кг подвешены на нитях дли- ной l = 2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был от- клонен на угол 600 и выпущен. Определить высоту h, на которую поднимутся оба груза после удара. Удар грузов считать неупругим.

5-29. Шар массой m1 = 6 кг налетает на другой, покоящийся шар массой m2 = 4 кг. Импульс р1 первого шара равен 5 кг·м/с. Удар шаров прямой, неупру-

гий. Определить непосредственно после удара: 1) импульсы p′ первого шара и

1

р′ второго шара после удара; 2) изменение р1 импульса первого шара; 3) кине-

2

тические энергии первого и второго шаров; 4) изменение кинетической энергии

50