mekhanika_i_molekulyarka

f = M × F1 = 1,8 Н.
тр	M + m

Во втором случае максимальное значение силы трения fтр < F2, поэтому возникает скольжение бруска по тележке. У бруска и у тележки будут разные ускорения аm и аδ. Сила трения будет иметь во время движения максимальное значение fтр.max = kmg = 5 Н.

Запишем уравнения движения:

для бруска	F2 − f тр = maδ ,
для тележки	′	= Mam ,
	fтр
отсюда	aδ	=		F2 − kmg		≈ 7,5 м/с2,
				m
	am	=		kmg	≈ 0,25 м/с2.
				M
О т в е т: 1) aδ	= am = 0,09 м/с2; fтр = 1,8 Н;

2) аδ = 7,5 м/с2; аm = 0,25 м/с2; fтр = 5 Н.

Задача 2. Определить ускорения а1 и а2, с которым движутся грузы m1 и m2 в установке, изображенной на рисунке, а также силу натяжения нитей. Трени- ем и массой блоков пренебречь. Нить считать невесомой и нерастяжимой.

Д а н о:

m1 m2

а1 = ? а2 = ? FН = ?

Р е ш е н и е

Поскольку все силы направлены по вер- тикали, запишем уравнения движения, вы- ражающие второй закон Ньютона, примени- тельно к грузам сразу в скалярной форме, выбрав направление оси ОУ вертикально вниз:

m1 g − FH = m1a1 ,m2 g − 2FH = −m2 a2 .

При сложении этих уравнений получим

2m1 g − m2 g = 2m1a1 + m2 a2 .

Если груз m1 опустится на высоту h, то груз m2 поднимется на высоту h/2, следовательно,

31

h =

a t 2

1

2

a1

= 2, т.е. a = 2a

.

2

h

a

t 2

1

=

2

a2

2

2

Подставив (2) в уравнение (1), получим

a1 =

2(2m1

− m2 )g

=

(2m1 − m2 )g

; a2

.

4m1

+ m2

4m1 + m2

Отсюда следует:

а) если 2m1 > m2, то а1 > 0, а2 > 0, т.е. ускорения грузов направлены так, как мы предполагали;

б) если 2m1 = m2, то а1 = а2 = 0 – грузы покоятся или движутся равномерно; в) если 2m1 < m2, то а1 < 0, а2 < 0. В этом случае ускорение груза m1 на-

правлено вверх, ускорение груза m2 – вниз.

О т в е т: a1

=

2(2m1 − m2 )g

; a2

=

(2m1 − m2 )g

.

4m1 + m2

4m1 + m2

Задача 3.

Тело скользит

равномерно по

плоскости с углом наклона

α = 400. Определить коэффициент трения тела о плоскость.

Д а н о:

Р е ш е н и е

α = 400

v = const

k = ?

На тело при его скольжении по наклонной плоскости действуют три силы:

	r	сила реакции опоры и сила трения скольжения Fтр .
сила тяжести	P = mg , N –

Записываем уравнение второго закона Ньютона в векторной форме:

r	+ N + Fтр	r
mg		= ma.

По условию задачи a = 0, значит

32

r	(1)
mg + N + Fтр = 0
Перейдем от векторной формы записи к скалярной. Для этого спроециру-
ем силы на две взаимно перпендикулярные оси ОХ и ОУ:
mg × sinα - Fтр = 0,	(2)
N - mg × cosα = 0.	(3)

Из уравнения (3) находим, что

N = mg × cosα.

Учитывая, что Fтр = kN = kmg × cos α , запишем уравнение (2) в виде

mg × sinα - kmg × cosα = 0,

отсюда

k = tgα или k = tg400 ≈ 0,84.

О т в е т: k ≈ 0,84.

Задача 4. Два соприкасающихся бруска скользят по наклонной плоскости.

Масса этого бруска m1 = 3 кг, масса второго бруска 1 кг.

Коэффициент трения между бруском и плоскостью

k1 = 0,20 для бруска 1 и k2 = 0,15 для бруска 2. Угол наклона

плоскости α = 300. Определить ускорение а, с которым дви-

жутся бруски и силу F, с которой бруски давят друг на друга.

Д а н о:

Р е ш е н и е

α = 300 m1 = 3 кг m2 = 1 кг k1 = 0,20 k2 = 0,15

F = ? а = ?

r

F1 , F2 – составляющие силы тяжести m1 g; F3 , F4 – составляющие силы тяжести m2 g .

Составим уравнение движения бруска 1:

33

r	r
m1g	+ F + Fтр1 + N1 = m1a

и спроецируем его на направление вдоль наклонной плоскости и по нормали к ней:

m1 g × sinα - Fтр1 + F = m1a,	(1)
N1 - m1 g × cosα = 0.	(2)

Проецируя векторное уравнение второго закона Ньютона для второго грузика на оси ОХ и ОУ, получаем:

			m2 g × sin α - F - Fтр2		= m2 a,			(3)
			N 2 - m2 g × cosα = 0.					(4)
Из (2) и (4) находим, что N1 = m1 g × cosα и					N 2 = m2 g × cosα. Учитывая,
что Fтр1 = k1 N1 = k1m1 g × cos α			и Fтр2 = k2 N2 = k2 m2 g × cos α , запишем уравнения
(1) и (3) в виде:
	m g × sinα - k m g × cos α + F = m a ,							(5)
		1	1	1	1		1
	m2 g × sinα - k2 m2 g × cos α - F = m2 a,
откуда
a =	g × [sin α (m1 + m2 ) - cosα (k1m1 + k2 m2 )]					= 3,3 м/с2.		(6)
			m1 + m2

Подставляя значение ускорения из выражения (6) в (1), найдем силу F, с которой бруски давят друг на друга:

F = m1a + k1m1g × cos α - m1g × sin α = 0,29 Н.

Примечание. Если бы по условию задачи k2 > k1 , то первый брусок сколь- зил бы с большим ускорением, чем первый. В результате зазор между брусками увеличивался бы со временем.

Задача 5. Горизонтально расположенный диск вращается вокруг проходя- щей через его центр вертикальной оси со скоростью n = 30 об/мин. На каком расстоянии r от центра диска может удерживаться лежащее на диске небольшое тело, если коэффициент трения k = 0,20.

34

Д а н о:

Р е ш е н и е

n = 30 об/мин = 0,5 об/с k = 0,20

r = ?

На тело массой m действуют сила тяжести mg, сила трения Fтр и сила нормальной реакции N . Второй закон Ньютона для тела массой m имеет вид

r	+ N + Fтр	r	(1)
mg		= ma.

Вводя оси координат, как показано на рисунке, и заменяя векторное уравнение (1) скалярным,

N − mg = 0,	(2)
Fтр = ma,	(3)

где a = ax = an = ω 2 × r ; a y = 0.

Следует учесть, что Fтр = kN . Исключая N, находим

			kmg = m ×ω 2 r ,
откуда
r =	kg	=	kg	=	kg	= 0,20 м.
	ω 2		(2π n)2		4π 2n2

Следовательно, тело может удерживаться на диске при r £ 0,20 м.

Задача 6. Шарик массой 0,3 кг, подвешенный на нерастяжимой нити дли- ной 1 м, совершает колебания в вертикальной плоскости. Найти силу натяжения нити в момент, когда она образует с вертикалью угол 300. Скорость шарика в этот момент 2 м/с.

Д а н о:

m = 0,3 кг l = 1 м

v = 2 м/с α = 300

FH = ?

Р е ш е н и е
На шарик действуют:	FH –	сила натяжения, mg – сила
тяжести. Запишем для шарика		второй закон Ньютона
в векторной форме
r	r	(1)
FH + mg = ma.

35

Направляя ось OY вдоль радиуса и проецируя на

нее обе части уравнения, получаем

FH

- mg × cos α = may.

(2)

Учитывая, что ay

= an =

v2

,

перепишем

уравнение

l

(2):

- mg × cosα =

v2 × m

F

,

H

l

v2

откуда

F = m

+ g × cosα = 3,7 Н.

H

l

Задача 7. Наклонная плоскость движется вправо с ускорением ао. На

плоскости, образующей угол α с горизон-

том, лежит брусок массой m, прикреплен-

ный к плоскости нитью. Найти силу натя-

жения и силу давления бруска на плоскость.

Д а н о:

Р е ш е н и е

m, ao, α

Выберем систему

отсчета, связанную с

наклонной

F = ? F

н.д.

= ?

плоскостью. Пока плоскость покоится, на тело действуют

H

силы: сила тяжести mg,

сила натяжения FH , сила нормаль-

ной реакции опоры N , которые уравновешивают друг друга. Как только начи- нается ускоренное движение плоскости, то система координат ХОУ станет не- инерциальной, появится четвертая сила, действующая на тело, – сила инерции

= - r

Fин mao .

Запишем второй закон Ньютона в неинерциальной системе отсчета

r	+ FH	r	(1)
Fин + N + mg		= ma.

Проецируя все векторы, входящие в уравнение (1), на оси х и у, получаем

36

mg × sinα + mao cosα - FH = 0,	(2)
N + mao × sinα - mg × cosα = 0.	(3)

Из уравнения (2) найдем

FH = mg × sinα + mao × cosα.

Силу давления на плоскость Fн.д., равную по третьему закону Ньютона силе

реакции плоскости N, можно найти из уравнения (3);

Fн.д. = N = mg × cos α - mao ×sin α .

Задача 8. Мяч массой 0,1 кг ударяется о гладкую стену под углом 300 к

ней и упруго отскакивает от нее под тем же углом

и с той же по модулю скоростью. Найти импульс силы, полученный стеной при ударе.

Д а н о:

Ре ш е н и е

m = 0,1 кг v = 5 м/с a = 300

v = v1 = v2

F × Dt = ?

Направим ось Х перпендикулярно стене, а ось У – вертикально вверх. По второму закону Ньютона в векторной форме импульс силы

r	r
F × Dt = m (v2	- v1 ),
или в проекциях на оси Х и У
(FDt )x = m [v2cos α - (- v1 × cos α )],		(1)
(FDt )y = m [- v2 ×sin α - (- v1 ×sin α )] = 0.		(2)

По определению, импульс силы

FDt = (FDt )2x + (FDt )2y = (F t )x

37

и, с учетом выражения (1),

FDt = 2mv ×cosα = 0,87 Н×с.

О т в е т: F × Dt = 0,87 Н×с.

Задачи

4-1. На горизонтальной плоскости лежат связанные нитью один за другим 4 равных груза весом Р каждый. На нити, прикрепленной к этим грузам и пере- кинутой через неподвижный блок, подвешен такой же груз. С каким ускорением движется эта система и какова сила натяжения нити между последним и пред- последним грузами? Трение не учитывать.

4-2. По столу тянут груз при помощи нити, прикрепленной к динамометру. Динамометр показывает 30 Н. Затем тот же груз приводят в движение при по- мощи нити, перекинутой через невесомый блок, на котором висит гиря массой 3 кг. С одинаковым ли ускорением будет двигаться груз? Если нет, то в каком случае груз будет двигаться быстрее?

4-3. Мотоцикл движется на подъеме со скоростью 36 км/ч. Угол наклона дороги к горизонту 70. Какое расстояние с момента торможения пройдет мото- цикл до остановки, если сила, развивающаяся при торможении, равна 0,6 веса мотоцикла?

4-4. Груз массой 500 кг находится на плоскости с углом наклона к горизон- ту α = 150. Чтобы сообщить грузу движение вниз с ускорением 1 м/с2, необхо- димо приложить силу F под углом β = 300 к горизонту. Определить величину этой силы, если коэффициент трения груза о наклонную плоскость равен 0,2.

4-5. Конькобежец проезжает по гладкой горизонтальной поверхности льда по инерции 80 м. Определить начальную скорость, если масса конькобежца 60 кг, а коэффициент трения равен 0,015.

4-6. Найти силу тяги, развиваемую мотором автомобиля, движущегося в гору с ускорением а = 1 м/с2. Уклон горы равен 1 м на каждые 25 м пути. Вес автомобиля Р = 9,8 × 103 Н. Коэффициент трения равен 0,1.

4-7. Тело весом Р падает равноускоренно с высоты h1 и попадает в снег, где равномерно замедляется, достигая глубины h2. Сила сопротивления движению в воздухе равна F1. Найти силу сопротивления движению F2 в снегу.

4-8. Поезд массой 1000 т отходит от станции. Какой скорости достигнет этот поезд на расстоянии 1 км, если локомотив развивает силу тяги в 220 000 Н, а сила сопротивления движению считается постоянной и составляет 0,005 веса поезда? Через сколько времени будет достигнута эта скорость?

4-9. Два шарика из одинакового материала падают в воздухе. Диаметр пер- вого из них в п раз меньше диаметра второго. Считая сопротивление воздуха пропорциональным поперечному сечению тела и квадрату его скорости, найти отношение скоростей шариков, когда они достигнут постоянной скорости паде- ния.

38

4-10. На гладком столе лежат два связанных нитью груза. Масса левого груза равна 0,2 кг, масса правого – 0,3 кг. К правому грузу приложена сила 1 Н, к левому – 0,6 Н. С каким ускорением движутся грузы и какова сила натяжения соединяющей нити?

4-11. Определить центростремительное ускорение, которым обладают тела, находящиеся на экваторе Земли. Определить уменьшение веса на экваторе, свя- занное с участием этих тел во вращательном движении Земли. Радиус земного шара ≈ 6400 км.

4-12. Самолет, масса которого m = 300 кг, летит со скоростью v = 3600 км/ч в вираже радиусом R = 600 м. Определить, какой угол крена должен задавать самолету летчик и какой должна быть величина подъемной силы для того, что- бы вираж совершался в горизонтальной плоскости. Подъемная сила всегда на- правлена перпендикулярно к плоскости самолета.

4-13. Невесомый блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы α = 300, β = 450. Гири А и В равной массы

m1 = m2 = 1 кг соединены нитью и переки- нуты через блок. Коэффициенты трения гирь А и В о плоскости k1 = k2 = 0,1. Найти:

1) ускорение, с которым движутся гири; 2) натяжение нити.

4-14. По наклонной плоскости длиной 10 м и высотой 5 м с вершины на- чинает двигаться тело без начальной скорости. Сколько времени будет продол- жаться движение тела до основания наклонной плоскости, если коэффициент трения равен 0,02? Какую скорость будет иметь тело у основания наклонной плоскости?

4-15. Груз массой m, привязанный к нерастяжимой нити, вращается в вер- тикальной плоскости. Найти максимальную разность натяжения нити.

4-16. Вагон массой 20 т движется с постоянным отрицательным ускорени- ем, численно равным 0,3 м/с2. Начальная скорость вагона 54 км/ч. Какая сила торможения действует на вагон? Какое расстояние вагон пройдет до остановки? Через сколько времени вагон остановится?

4-17. На экваторе некоторой планеты тело весит вдвое меньше, чем на по- люсе. Плотность вещества этой планеты 3 г/см3. Определить период вращения планеты вокруг своей оси.

4-18. Средняя высота спутника над поверхностью Земли 1700 км. Опреде- лить его скорость и период вращения.

4-19. Конькобежец движется со скоростью 10 м/с по окружности радиусом 50 м. Под каким углом к горизонту он должен наклониться, чтобы сохранить равновесие?

4-20. Летчик давит на сиденье кресла самолета в нижней точке петли Нестерова с силой 7200 Н. Масса летчика m = 80 кг, радиус петли R = 250 м. Определить скорость самолета.

4-21. Автомобиль массой m движется по выпуклому мосту, радиус кривиз- ны которого R, со скоростью v. С какой силой давит автомашина на мост в точ-

39

ке, направление на которую из центра кривизны моста составляет с направлени- ем на вершину моста угол α?

4-22. С какой наибольшей скоростью может двигаться автомобиль на пово- роте с радиусом закругления 150 м, чтобы его не занесло, если коэффициент трения скольжения шин о дорогу равен 0,42?

4-23. Недеформированная пружина жесткостью k имеет длину lо. При вра- щении системы с угловой скоростью ω груз массой m растягивает пружину. Найти длину l пружины при вращении.

4-24. Самолет, движущийся со скоростью 300 м/с, совершает в вертикаль- ной плоскости петлю Нестерова с радиусом 1,3 км. Определить перегрузку в верхней и нижней точках траектории.

4-25. Ледяная гора составляет с горизонтом угол α = 100. По ней пускают снизу вверх камень, который в течение t = 3 с проходит расстояние 12 м, после чего скатывается вниз. Какой промежуток времени длится соскальзывание кам- ня вниз (коэффициент трения предполагается постоянным)?

4-26. Ящик массой 300 кг поднимают равномерно по наклонной плоскости с углом наклона α = 300, прилагая силу, направленную под углом β = 600 к гори- зонту. Определить величину этой силы, если коэффициент трения равен 0,1.

4-27. Каков вес поезда, идущего с ускорением 0,05 м/с2, если коэффициент трения 0,004, а сила тяги 223 кН?

4-28. Санки выходят из точки А без начальной скорости и скользят по плоскости АВ, наклоненной под углом α к горизонту. Пройдя некоторый путь ВС по горизонтальной плоскости, санки останавливаются. АВ = S1, ВС = S2. Найдите коэффициент трения k, если известно, что он одинаков на всем пути от

А до С.

4-29. Тело массой m движется под действием постоянной силы F. Найти за- кон движения, если в момент времени t = 0 тело имело скорость vо, совпадаю- щую по направлению с силой.

4-30. На тело массой m действует сила, пропорциональная времени F = kt. Найти уравнение движения тела при условии, что при t = 0 тело имеет началь- ную скорость vо.

5. Закон сохранения импульса.

Работа, энергия, мощность. Закон сохранения энергии. Совместное применение законов сохранения

Основные формулы

1. Закон сохранения импульса:

n	r	= const, или	n	r	= const,
∑ pi			∑mi vi
i=1			i=1

где п – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

40