mekhanika_i_molekulyarka

6. Момент инерции.

Основное уравнение динамики вращательного движения. Закон сохранения момента импульса. Работа и энергия

Задачи

6-1. К ободу однородного диска радиусом 0,2 м приложена постоянная ка- сательная сила 98,1 Н. При вращении на диск действует момент сил трения, рав- ный 5 Н·м. Найти массу диска, если известно, что диск вращается с постоянным угловым ускорением ε = 100 рад/с2.

6-2. Маховик, момент инерции которого равен 63,6 кг·м2, вращается с по- стоянной угловой скоростью ω = 32,41 рад/с. Найти тормозящий момент М, под действием которого маховик останавливается через t = 20 с.

6-3. К ободу колеса, имеющего форму диска радиусом 0,5 м и массой 50 кг, приложена сила в 10 Н. Найти: 1) угловое ускорение колеса; 2) через сколько времени после начала движения колесо будет иметь скорость, соответствующую

100 об/с?

6-4. Маховик радиусом 0,2 м и массой 10 кг соединен с мотором при по- мощи приводного ремня. Натяжение ремня, идущего без скольжения, постоянно и равно 1,47·105 Н. Какое число оборотов в секунду будет делать маховик через 10 с после начала движения? Маховик считать диском. Трением пренебречь.

6-5. Маховое колесо, имеющее момент инерции 245 кг·м2, вращается, делая 20 об/с. Через минуту после того, как на колесо перестал действовать вращающий момент, оно остановилось. Найти: 1) момент сил трения; 2) число оборотов, кото- рое сделало колесо до полной остановки после прекращения действия силы.

6-6. Две гири массой m1 = 2 кг и m2 = 1 кг соединены нитью, перекинутой через неподвижный блок массой m = 1 кг. Найти: 1) ускорение, с которым дви- жутся грузы; 2) натяжение Т1 и Т2 нитей, к которым подвешены гири. Блок счи- тать диском. Трением пренебречь.

6.7. Вал массой 100 кг и радиусом 5 см вращался с частотой 8 с–1 . К цилин- дрической поверхности вала прижали тормозную колодку с силой 40 Н, под дей- ствием которой вал остановился через 10 с. Определить коэффициент трения.

6-8. На барабан радиусом R = 0,5 м намотан шнур, к концу которого привя- зан груз массой m = 10 кг. Найти момент инерции барабана, если известно, что груз опускается с ускорением a = 2,04 м/с2.

6-9. На барабан радиусом R = 0,2 м, момент инерции которого равен J = 0,1 кг·м2, намотан шнур, к которому привязан груз массой m = 0,5 кг. До нача- ла вращения барабана высота груза над полом равна h = 1 м. Найти: 1) через сколько времени груз опустится до пола; 2) кинетическую энергию груза в мо- мент удара о пол; 3) натяжение нити. Трением пренебречь.

6-10. Две гири разной массы соединены нитью и перекинуты через блок, момент инерции которого равен 50 кг·м2 и радиус 20 см. Блок вращается с трени- ем и момент сил трения равен 98,1 Н·м. Найти разность натяжения нити Т1– Т2 по

61

обе стороны блока, если известно, что блок вращается с постоянным угловым ускорением ε = 2,36 рад/с2?

6-11. Блок массой m = 1 кг укреплен на столе. Гири А и В равной массы m1 = m2 = 1 кг соединены нитью и перекинуты через блок. Коэффициент трения гири В о стол равен k = 0,1. Блок считать однородным диском. Найти: 1) ускорение, с которым движутся гири; 2) натяжение нитей Т1 и Т2.

6-12. Через неподвижный блок массой 0,2 кг перекинут шнур, к концам ко- торого подвесили грузы массами 0,3 кг и 0,5 кг. Определить силы Т1 и Т2 натяже- ния шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если массу блока можно считать равномерно распределенной по ободу.

6-13. Маховик радиусом R, масса которого т равномерно распределена по ободу, вращается с угловой скоростью ω. В некоторый момент времени к ободу

ссилой F прижимается тормозная колодка, причем коэффициент трения между ободом и колодкой равен k. Найти время торможения и число оборотов маховика, сделанных до остановки.

6-14. Два различных груза подвешены на невесомой нити, перекинутой че- рез дисковый блок радиуса R, момент инерции которого равен J. Блок вращается

стрением, причем момент силы трения равен Мтр, и постоянным угловым уско-

рением ε. Найти разность натяжения нити с обеих сторон блока.

6-15. На горизонтальную ось насажен шкив радиуса R. На шкив намотан шнур, к свободному концу которого подвесили гирю массой т. Cчитая массу шкива равномерно распределенной по ободу, определить ускорение а, с которым будет опускаться гиря, силу натяжения нити Т и силу давления N шкива на ось.

6-16. Найти кинетическую энергию велосипедиста, движущегося со скоро- стью v = 9 км/ч. Масса велосипедиста с велосипедом 78 кг, причем масса колес равна 3 кг. Колеса велосипеда считать обручами.

6-17. Шар диаметром 6 см катится без скольжения по горизонтальной плоскости, делая 4 об/с. Mасса шара 0,25 кг. Найти кинетическую энергию катящегося шара.

6-18. Диск массой 1 кг и диаметром 60 см вращается вокруг оси, проходя- щей через центр перпендикулярно его плоскости, делая 20 об/с. Какую работу надо совершить, чтобы остановился диск?

6-19. Шар и сплошной цилиндр, двигаясь с одинаковой скоростью, вкаты- ваются вверх по наклонной плоскости. Какое из тел поднимется выше? Найти отношение высот подъема.

6-20. Диск катится в течение t = 3 с и останавливается, пройдя расстояние S = 10 м. Определить коэффициент трения качения, если радиус диска r = 0,1 м.

6-21. Металлический стержень массой М = 1 кг и длиной l = 40 см может вращаться вокруг перпендикулярной к нему оси, проходящей через его центр. В конец стержня попадает пуля массы т = 10 г, летящая перпендикулярно оси и к стержню со скоростью v = 200 м/с. Удар пули о стержень абсолютно упругий. Определить угловую скорость, с которой начинает вращаться стержень.

6-22. На вращающемся столике стоит человек, держащий на вытянутых руках на расстоянии l1 = 150 см друг от друга две гири. Столик вращается с час- тотой оборотов п1 = 1 с–1 . Человек сближает гири до расстояния l2 = 80 см, и час-

62

тота оборотов увеличивается до п2 = 1,5 с–1 . Определить работу, произведенную человеком, если каждая гиря имеет массу т = 2 кг. Момент инерции человека относительно оси столика считать постоянным.

6-23. Маховое колесо начинает вращаться с постоянным угловым ускорени- ем ε = 0,5 рад/с2 и через 15 с от начала движения приобретает момент импульса, равный 73,5 кг·м2/с. Найти кинетическую энергию колеса через 20 с после начала движения.

6-24. Деревянный стержень с массой т = 1000 г и длиной l = 50 см может вращаться около оси, проходящей через его середину перпендикулярно стержню. В конец стержня попадает пуля массой т1 = 10 г, летящая перпендикулярно к оси и к стержню со скоростью v = 300 м/с. Определить угловую скорость, которую получит стержень, если пуля застрянет в нем.

6-25. Маятник в виде однородного шара, жестко скрепленного с тонким стержнем, длина которого равна радиусу шара, может качаться вокруг горизонтальной оси, проходящей че-

рез конец стержня. В шар нормально к его поверхно-

сти ударилась пуля массой т = 10 г, летящая горизон-

тально со скоростью v = 800 м/с, и застряла в шаре.

Масса шара М = 10 кг, радиус его R = 15 см. На какой угол α отклонится маятник в результате удара пули?

Массой стержня пренебречь.

6-26. Маховик, имеющий вид диска с радиусом R и массой т1 может вра- щаться вокруг горизонтальной оси. К его цилиндрической поверхности прикреп- лен шнур, к другому концу которого подвешен груз массой т. Груз был припод- нят и затем опущен. Упав свободно с высоты h, груз натянул шнур, благодаря этому привел маховик во вращение. Какую угловую скорость ω приобрел при этом маховик?

6-27. Тело массой т подвешено на нити длиной l. В тело попадает пуля массой т0 и застревает в нем, нить при этом отклоняется на угол α. Найти ско- рость и кинетическую энергию пули. Считать, что вся масса тела т сосредоточе- на на расстоянии l от точки подвеса.

6-28. В ящик с песком массой т0 = 5 кг, подвешенный на нить длиной l = 3м, попадает пуля массой т = 5 г и отклоняет его на угол α = 100. Определить скорость пули. Считать, что вся масса песка сосредоточена на расстоянии l от точки подвеса.

6-29. Тонкий стержень длиной l = 40 см и массой т = 0,6 кг вращается око- ло оси, проходящей через середину стержня перпендикулярно его длине. Уравне-

ние вращения имеет вид ϕ = At + Bt3 , где А = 0,1 рад/с; В = 0,1 рад/с3. Определить момент импульса стержня при t = 2 с.

6-30. Круглая платформа радиусом 2 м, момент инерции которой 100 кг·м2, вращается по инерции вокруг вертикальной оси, делая 1 об/с. В центре платфор- мы стоит человек, масса которого 70 кг. Сколько оборотов в секунду будет совершать платформа, если человек перейдет на край платформы? Момент инер- ции человека рассчитывать как для материальной точки.

63

IV. МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА И ТЕРМОДИНАМИКА

7. Законы идеальных газов. Молекулярно-кинетическая теория газов

	Основные формулы
1. Количество вещества
	ν =	m	, или	ν =	N	,
		μ			N A
где N –	число структурных элементов системы (молекул, атомов, ионов и т.д.);
N –	постоянная Авогадро; μ – молекулярная масса.

2. Уравнение состояния идеальных газов (уравнение Менделеева– Клапейрона)

pV = mμ RT ,

где т –	масса газа; μ – молярная масса газа; R – универсальная газовая постоян-
ная; Т – термодинамическая температура.
3.	Закон Дальтона	p = p1 + p2 + ... + pn ,
где р – давление смеси газов; рi –		парциальное давление i-го компонента смеси; п
– число компонентов смеси.
4.	Молярная масса смеси газов
	μ	cм	=	m1 + m2 + ... + mn			.
				ν1 + ν2 + ... + νn
5.	Концентрация частиц (молекул, атомов и т.п.) однородной системы
		n = N V = N A ρ μ .
где V – объем системы; ρ – плотность вещества.
6.	Основное уравнение кинетической теории газов
				p =	2	n ε n ,
			3
где ε n	– средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.

7. Средняя кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы молекулы,

ε1 = 1 kT ,

2

64

а приходящаяся на все степени свободы молекулы (полная энергия молекулы)

ε = i kT .

2

где k – постоянная Больцмана; Т – термодинамическая температура. Средняя ки- нетическая энергия поступательного движения молекулы

ε n = 3 kT .

2

8. Зависимость давления газа от концентрации молекул и температуры

p = nkT .

9.Скорость молекул: средняя квадратичная

vкв = 3k Tm1 , или vкв = 3RTμ ;

средняя арифметическая

v = 8k T(π m1 ), или v = 8RT(π μ ) ;

наиболее вероятная

			=					=	2RT	,
	v	в		2k T m , или		v	в
				1					μ

где т1 – масса одной молекулы.

Примеры решения задач

Задача 1. Сколько молекул содержится в 1 м3 водорода при нормальных условиях? Какова масса одной молекулы водорода?

Д а н о:

V = 1 м3

T = 273 0К р = 1·105 Па

μ = 2·10–3 кг/моль

п0 = ? т = ?

Р е ш е н и е

Число молекул в одном моле любого газа (число Аво- гадро) NА = 6,02·1023 1/моль. Объем одного моля любого газа (в том числе и водорода) при нормальных условиях

V0 = 22, 4 л/моль = 22,4·10–3 м3/моль.

Следовательно, число молекул водорода, содержа- щихся в 1 м3 при нормальных условиях, определяется соотношением

65

n0 = N A = 2,69 ×1025 1/моль.

V0

Эта величина одинакова для любого газа и называется числом Лошмидта. Масса одной молекулы водорода

m = μ = 3,3 ×10−27 кг.

N A

Задача 2. Температура поверхностного слоя Солнца (фотосферы) – около 6000 0К. Почему с поверхности Солнца не улетают атомы водорода, из которых в основном состоит фотосфера?

Р е ш е н и е

Средняя квадратичная скорость атомов водорода в фотосфере

	vкв =	3RT	=1,2 ×104 м/с.
		μ

Вторая космическая скорость

v = 2G × M c = 6,1×105 м/с. rc

Как видно, средняя квадратичная скорость в 51 раз меньше второй косми- ческой скорости, поэтому большинство атомов водорода не могут вырваться из поля тяготения Солнца.

Задача 3.

На V-T-диаграмме показан замкну- тый процесс 1-2-3-1. Изобразить этот

процесс на р-V и р-Т-диаграммах.

Р е ш е н и е

Процесс 1-2 изохорический;

2-3 изотермический; 3-1

изобарический, так как в

нем объем прямо пропор-

ционален температуре. Сле-

довательно, данный цикл на

а

б

р-V-диаграмме и на р-Т-диа-

грамме будет выглядеть, как изображено на рис. а и б.

66

Задача 4. Определить температуре 7 0С и давлении

Д а н о:

m1 = 4 г = 0,00

μ1 = 2·10–3 кг/моль 4 кг m2 = 32 г = 0,032 кг

μ2 = 32·10–3 кг/моль T = 280 0К

рсм = 700 мм рт.ст. = = 700·133 = 9,31·104 Па

ρсм = ?

отсюда

плотность смеси 4 г водорода и 32 г кислорода при 700 мм рт.ст.

Р е ш е н и е

Чтобы найти плотность смеси, необходимо знать ее массу и объем, тогда

ρcм = mсм ; mсм = m1 + m2 .

V

Объем смеси можно найти, используя уравне- ние Менделеева– Клапейрона:

p

= p + p

2

; p V =

m1

RT ; p V =

m2

RT ;

см

1

1

μ1

2

μ2

RT

pсм =

m1

+

m2

,

μ1

V

μ2

m

m

2

1

+

μ1

μ2

RT

V =

,

pсм

и тогда

ρ

(m + m

2

)p

см

(4 ×10−3 + 32 ×10−3 )9,31×104

3

=

1

=

= 0,48 кг/м .

см

m1

+

m2

4 ×10−3

32 ×10−3

+

8,31× 280

RT

2 ×10−3

32 ×10−3

μ1

μ2

Задача 5. На осях

р-V изображены графически процессы, с помощью

ко-

торых идеальный газ

был переведен из состояния 1

в состояние

4. Начертить, как будут выглядеть эти

же процессы 1-2, 2-3 и 3-4 на осях р-Т и V-Т, если

1-

2 –

изотерма.

Расшифруем, графики каких процессов показа-

ны на осях:

1-2 –

изотермическое сжатие;

2-3 –

изобарическое сжатие;

3-4 –

изохорический процесс с понижением давления.

Вычертим графики этих же процессов на других осях.

67

Задачи

7-1. В баллоне объемом 22,4 л находится водород при нормальных услови- ях. После того как в баллон было дополнительно введено некоторое количество гелия, давление в баллоне возросло до р2 = 0,25 МПа, а температура не измени- лась. Определить массу гелия, введенного в баллон.

7-2. Смесь водорода и азота общей массой т = 290 г при температуре Т = 600 0К и давлении р = 2,46 МПа занимает объем V = 30 л. Определить массу т1 водорода и массу т2 азота.

7-3. Оболочка воздушного шара имеет объем V = 1600 м3. Найти подъемную силу FП водорода, наполняющего оболочку, на высоте, где давление р = 60 кПа и температура Т = 280 0К. При подъеме шара водород может выходить через отвер- стие в нижней части.

7-4. Водород находится при температуре Т = 300 0К. Найти среднюю кине- тическую энергию вращательного движения одной молекулы, а также суммарную кинетическую энергию всех молекул этого газа; количество вещества водорода

ν = 0,5 моль.

7-5. В баллоне объемом 10 л находится гелий под давлением р1 = 1 МПа при температуре Т1 = 300 0К. После того как из баллона было взято 10 г гелия, темпе- ратура в баллоне понизилась до Т2 = 290 0К. Определить давление р2 гелия, оставшегося в баллоне.

7-6. Баллон содержит т1 = 80 г кислорода и т2 = 320 г аргона. Давление смеси р = 1 МПа, температура 3000К. Принимая данные газа за идеальные, опре- делить объем баллона.

7-7. Какой объем занимает смесь азота массой т1 = 1 кг и гелия массой т2 = 1 кг при нормальных условиях?

7-8. В баллоне емкостью 15 л находится смесь, содержащая т1 = 10 г водо- рода, т2 = 54 г водяного пара и т3 = 60 г окиси углерода. Температура смеси 27 0С. Определить давление.

7-9. Количество вещества гелия ν = 1,5 моль, температура Т = 120 0К. Опре- делить суммарную кинетическую энергию поступательного движения всех моле- кул этого газа.

7-10. Определить среднюю квадратичную скорость молекул газа, заклю- ченного в сосуд объемом 2 л под давлением р = 200 кПа. Масса газа т = 0,3 г.

68

7-11. Найти плотность газовой смеси водорода и кислорода, если их массо- вые доли ω1 и ω2 равны соответственно 1/9 и 8/9. Давление смеси равно 100 кПа, температура Т = 300 0К.

7-12. В сосуде объемом 2,24 л при нормальных условиях находится кисло- род. Определить количество вещества ν и массу т кислорода, а также концентра- цию п0 его молекул в сосуде.

7-13. В сосуде находится смесь 10 г углекислого газа (СО2) и 15 г азота (N2). Найти плотность этой смеси при температуре 27 0С и давлении 1,5·105 Па.

7-14. Сосуд объемом 20 л содержит смесь водорода и гелия при температу- ре t = 20 0С и давлении 2 атм. Масса смеси т = 5 г. Найти отношение массы водо- рода к массе гелия в данной смеси.

7-15. В баллон емкостью V = 12 л поместили т1 = 1,5 кг азота при темпера- туре t1 = 327 0С. Какое давление р2 будет создавать азот в баллоне при температуре t2 = 50 0С, если 35 % азота будет выпущено. Каково было начальное давление р1?

7-16. На дне сосуда, заполненного воздухом, лежит полый стальной шарик радиусом r = 2 см. Масса шарика 5 г. До какого давления р надо сжать воздух в сосуде, чтобы шарик поднялся вверх? Считать, что воздух при больших давлениях подчиняется уравнению газового состояния. Температура воздуха t = 20 0С = const (сжатие воздуха происходит достаточно медленно).

7-17. На какой глубине радиус пузырька воздуха вдвое меньше, чем у по- верхности воды, если давление у поверхности равно р0?

7-18. Определить температуру газа, находящегося в закрытом баллоне, если его давление увеличилось на 0,4 % первоначально при нагревании на T = 1 К.

7-19. Тонкостенный резиновый шар собственным весом 0,6 Н наполнен не- оном и погружен в озеро на глубину h = 120 м. Найти массу неона, если шар на- ходится в положении равновесия. Атмосферное давление р0 = 1,03·105 Па, темпе- ратура на глубине озера t = + 4 0С. Натяжением резины пренебречь.

7-20. В закрытом сосуде емкостью V = 2 м3 находится т1 = 2,7 кг воды и т2 = 3,2 кг кислорода. Найти давление в сосуде при температуре t = 527 0С, зная, что в этих условиях вся вода превращается в пар (считать, что пар в данном слу- чае подчиняется законам идеального газа).

7-21. Поршень прилегает неплотно к стенке ци- линдра с газом. Газ переводится из состояния 1 в со- стояние 2, при этом давление газа не меняется. Как из- менилась масса газа под поршнем?

7-21. В идеальном газе происходят процессы 1-2; 2-3; 3-4. Изобразить эти процессы на координатных осях V, T.

69

7-23. Представить круговой процесс изменения состояния газа в координа- тах р, Т и р, V. Сравнить р, V, Т в точках 1, 2, 3.

7-24. Газ переведен из состояния 1 в состояние 2, при этом объем газа V = const. Как изменилась масса газа?

7-25. Представить круговой процесс изменения состояния газа в координа-

тах (р, Т) и (V, Т).

7-26. Два сосуда, содержащие одинаковые массы одного газа, соединены трубкой с краном. В первом сосуде давление р1 = 5·103 Па, во втором – р2 = 8·103 Па. Какое давление установится после открытия крана, если температу- ра остается неизменной?

7-27. Найти отношение средних квадратичных скоростей молекул гелия и азота при одинаковых температурах.

7-28. Какое число молекул двухатомного газа содержится в сосуде объемом 20 см3 при давлении р = 1,06·104 Па и температуре t = 27 0С? Какой энергией теп- лового движения обладают эти молекулы?

7-29. Над газом совершен цикл 1-2-3-4-1. Начертите график этого цикла на осях координат V, T; p, T; p, ρ.

7-30. Газ, занимающий при температуре Т1 = 100 0К и давлении р1 = 0,2 МПа объем V1 = 1 л, изотермически сжимают до объема V2 и давления р2, затем изобарно охлаждают до температуры Т3 = 50 0К, после чего изотермически изме- няют объем до V4 = 0,5 л. Найти конечное давление р4. Построить графики этих процессов в координатах р, V; р, Т.

70