45. Термодинамиканың бірінші бастамасының дифференциалдық және толық

дифференциалдық түрі Заттың қасиеттерін термодинамикалық заңдарды пайдаланып зерт-теуге болады. Бұл термодинамикалық әдіс, біріншіден, термодинами-калық тепе-теңдік күйдегі жүйенің қасиеттерінің арасындағы байла-нысты табуға және, екіншіден, осы тепе-теңдік күйін анықтайтын шарттарды тағайындауға мүмкіндік береді. Осы алдыңғы мәселені шешу үшін термодинамиканың дифференциалдық теңдеулерін қолда-нады. Бұл теңдеулер термодинамиканың бірінші және екінші заңын бірлестіру негізіндегі алынған (7.27)-ші теңдеудің көмегімен шеші-ыледі. Осы (7.27)-ші өрнекті тепе-теңдік процесс үшін былай жазамыз:

(7.29)

мұндағы .

(7.29)-дың оң жағындағы дифференциалдардың алдындағы шама-ларды жалпыланған күштер, ал дифференциал белгісі астындағы шамаларды – жалпыланған координаттар деп айтады.

Жүйенің күйін сипаттайтын ,,жәнекүй параметрлері болатыны және онда олардың дифференциалдары толық дифферен-циал екені ескеріліп, термодинамиканың дифференциалдық теңдеу-лері қорытылады. Сондықтан осы,,жәнешамалардың кез келген екеуін тәуелсіз айнымалылар деп, қалғанын солар арқылы табуға болады.

Егер екі жәнетәуелсіз айнымалылар болса, демек, онда оның толық дифференциалы былай анықталады:

және .

(7.29)-ды екі рет дифференциалдайық, онда келесі қатынас шығады:

(7.30)

Осы теңдеуге ,,жәнетөрт шаманың орнына кез келген екеуін қоюға болады. Мысалы, көлемнің-ға және температураның-ға өзгеруімен жүйенің күйінің өзгеруі байланысты делік. Осы процесс энтропияның-қа өзгеруіне әкеледі, соны есептейік.

Онда (7.30)-ші теңдеуге -тің орнынажәнедеп қоюымыз керек, демек

.(7.31)

Мұнда жәнетәуелсіз айнымалы шамалар, демек. Сондықтан

. (7.32)

Энтропияның толық дифференциалы

(7.33)

тең болады.

Осы соңғы теңдеуден энтропияның толық өзгеруі, оның темпера-тура және көлем бойынша өсуінің қосындысына тең болады. (7.32)-шіні ескеріп, (7.33)-ші өрнекті былай жазамыз:

. (7.34)

(7.34)-тің бірінші мүшесі көлем тұрақты кезінде () тек темпе-ратураның өзгерісі себебін болған энтропияныңөзгерісін анық-тайды. (7.26)-шы анықтама бойынша, онда, мұндағы- жылу мөлшері тұрақты көлемде денеге күйін өзгерту үшін берілген. Онда

,

мұндағы - дененің жылусыйымдылығы тұрақты көлем кезіндегі.

Сондықтан,

.

Сонымен (7.34)-ші өрнек мына түрде жазылады:

. (7.35)

Осы теңдеудегі ,,жәнешамаларды тәжірибеден анық-тап, энтропияныңөзгерісін анықтауға болады.

Егер тәуелсіз айнымалы шамалар ретінде және-ны алсақ, ондаэнтропияның өзгерісінжәнеөзгерістері арқылы табуға болады. Ол үшін (7.30)-ші өрнектежәне-тің орнынажәне-ны қою қажет. Сонда

шығады. Бірақ , себебіжәнетәуелсіз айны-малы шамалар. Түрлендіру нәтижесінде (7.32)-ге ұқсас қатыс шығады. Яғни

(7.36)

және (7.35) сияқты энтропияның өзгерісіжәнеарқылы былай табылады:

. (7.37)

(7.35) және (7.37)-ні интегралдап, заттың белгілі массасының, мысалы бір мольдің немесеэнтропиясынжәненемесежәнешамалардың белгілі мәндері үшін анықтауға болады. Мұндай есептеулер жүргізу үшін энтропияныңжәнепараметрлеріне сәйкесжәнемәндері белгілі болуы қажет. Олай болса

және

.

Идеал газдың бір молі үшін, мысалы:

,

, себебі .

Сонымен энтропияның өзгерісі мынаған тең:

. (7.38)

Осы соңғы теңдеуден газдың көлемі және температурасы өскенде энтропияның өсетіні көрінеді. Егер идеал газ изотермдік ұлғайса, демек Т=Т₀, онда энтропияның өзгерісі былай анықталады:

. (7.39)

Термодинамиканың дифференциалдық теңдеулерін

қолдану мысалдары

Термодинамиканың дифференциалдық теңдеулері заттың қасиет-тері арасындағы байланыстарды тағайындайды, мысалы p,V,T (термдік қасиеттері) және S, U, F, I, C_v, C_p (калориялық қасиеттері) арасындағы байланыстарды анықтайды.

Термодинамиканың дифференциалдық теңдеулерін қолдану мысалдарын қарастырайық.

46.Термодинамиканың I бастамасымен идеал газ күйінің теңдеуін изопараметрлік процестерді сипаттауға қолдану. Изобаралық процестегі газ күйінің теңдеуі; жұмыс, диаграммада жұмыстың графиктік теңдеуі.

Изобараларық процесте сыртқы күштердің әсерінен және газ тарапынан сыртқы денелерге әсер ететің күштердің жұмысы мына теңдеу бойынша анықталады:

Егер , онда А>0 ; Eгер, онда А<0; pV-диаграммада газдың 1 күйден 2 күйге өткендегі істеген жұмысытіктөртбұрыш ауданына тең.p-const, бұл жағдай үшін күй теңдеуінен мынаны аламыз:

Гей Люссак заңы. Бір моль идеал газ үшін Термодинамиканың I бастамасын жазып, ауыстырсақ

қысым тұрақты болғанда газдың мольдік жылу сыйымдылығы сонда, P=const олай болса күй теңдеуінен PdV=RdT осы өрнектерді ескеріп, мен арасындағы байланысты аламыз

47.Адиабаттық процесс. Пуассон теңдеуі.Адиабаттық процесте газ қоршаған денелерге жылу бермейді және сырттан жылу алмайды. Сондықтан, адиабаттық процесс қоршаған ортамен жылу алмасусыз өтеді, . Термодинамиканың бірінші бастамасы бұл жағдайда былай жазылады:;немесеdA= -dU.

Осыдан, газдың көлемі өзгергендегі істелетін жұмыс ішкі энергия-ның өзгерісіне әкеледі, демек газдың температурасының өзгеруіне. (6.43)-ші теңдеудегі минус таңба газдың көлемінің ұлғаюы температу-раның төмендеуімен, ал сығылуы – температураның көтерілуімен өтетінін көрсетеді.

Бірінші жағдайда газ жұмысты өзінің ішкі энергиясы есебінен істейді, сондықтан оның тем-пературасы төмендейді. Онда ішкі энергиясының өзгеруі, ал істелген жұмыс. Екінші жағдайда жұмысты сыртқы күштер істейді және осы жұмыс есебінен ішкі энергиясы өседі, демек газдың температурасы көтеріледі. Бұл кезде, ал жұмыс теріс таңбалы,.Температураның бұндай өзгерісін келесі тәжі-рибе бойынша түсіндіруге болады. Жылжымалы поршеньді цилиндрдің ішінде газ орналасқан делік (6.12-сурет). Поршеньжылдамдықпен жоғары көтерілгенде, газ ұлғаяды. Поршеньнің қозғалыс бағытындажылдамдықпен молекула ілесе қозғалады делік. Егермолекуланың ыдыстың қабырғасына қатысты жылдамдығы болса, онда поршеньге қатысты оның жылдамдығы. Молекула поршеньмен серпіле соқтығысып, кері шағылады. Поршеньге қатысты молекуланың жыл-дамдығы өзгермейді, бірақ поршеньмен соқтығысқан ыдыстың қабыр-ғасына қатысты кері қайтқан молекуланың жылдамдығыболады. Сондықтан,қозғалыстағы поршеньмен соқтыққан барлық молекулалар одан серпімді шағылып, соқтығысу алдындағы жылдам-дықтан кіші жылдамдықпен кері қайтарылады. Осы молекулалардың орташа жылдамдығының кемуі, газдың температурасының төмендеуі-не әкеледі.Сондықтан, керісінше газ сығылғанда, поршень кері қайтқанда, температура өседі.Пуассон теңдеуі. Адиабаттық процестегі газ күйінің теңдеуі.Адиабаттық процесте газдың қысымы мен көлемінің өзгерісі Бойль-Мариотт заңына бағынбайды. Бұл процесте температура өзгеріп отырады. (6.43) бойынша. (6.44)Бұл теңдеуді шешу үшін-ның өзгерісін анықтау қажет. Идеал газ күйінің теңдеуінқолданып, осы теңдеуді дифферен-циалдап,температураның өзгерісі-ны анықтаймыз:. (6.45)

(6.44)-ші өрнекке -ның осы мәнін қойып:,-дің орнына, оныңмәнін ауыстырып, келесі өрнекті аламыз:. (6.46)

Жылусыйымдылықтар қатысын қолданып, (6.46)-шы формуланы мына түрде жазамыз:

(6.47)Егер (6.47)-дегі тұрақты болса, онда осы теңдеуді былай жазуға болады:Бұл теңдеуді интегралдап, мына түрге келтіреміз:. (6.48)Ақырында потенциалдасақ, сонда (6.48) өрнекті былай жазуымыз-ға болады:.(6.49)

(6.49)-ші теңдеу адиабаттық процесс кезінде идеал газдың көлемі өзгергенде қысымымен көлемінің арасындағы тәуелділікті тағайын-дайды. Бұл өрнек Пуассон теңдеуі немесе адиабаттық процестегі идеал газ күйінің теңдеуі деп аталады, мұндағы –адиабаттық көрсеткіш деп аталады.Адиабаттық процесте газ қоршаған денелерге жылу бермейді және сырттан жылу алмайды. Сондықтан, адиабаттық процесс қоршаған ортамен жылу алмасусыз өтеді, dQ=0. Термодинамиканың бірінші бастамасы бұл жағдайда былай жазылады dQ=pdV+C_vdT=0;-pdV= C_vdT немесе dA= -dU. , газдың көлемі өзгергендегі істелетін жұмыс ішкі энергия-ның өзгерісіне әкеледі, демек газдың температурасының өзгеруіне. теңдеудегі минус таңба газдың көлемінің ұлғаюы температураның төмендеуімен, ал сығылуы – температураның көтерілуімен өтетінін көрсетеді. Бірінші жағдайда газ жұмысты өзінің ішкі энергиясы есебінен істейді, сондықтан оның тем-пературасы төмендейді. Онда ішкі энергиясының өзгеруі ΔU<0, ал істелген жұмыс A>0. Екінші жағдайда жұмысты сыртқы күштер істейді және осы жұмыс есебінен ішкі энергиясы өседі, демек газдың температурасы көтеріледі. Бұл кезде ΔU>0,ал жұмыс теріс таңбалы,. A<0Адиабаттық процесте газдың қысымы мен көлемінің өзгерісі Бойль-Мариотт заңына бағынбайды. Бұл процесте температура өзгеріп отырады pdV+C_vdT=0, pV^γ=const, теңдеу адиабаттық процесс кезінде идеал газдың көлемі өзгергенде қысымымен көлемінің арасындағы тәуелділікті тағайын-дайды. Бұл өрнек Пуассон теңдеуі немесе адиабаттық процестегі идеал газ күйінің теңдеуі деп аталады, мұндағы γ=C_p/C_v – адиабаттық көрсеткіш деп аталады.

Пуассон теңдеуін қолданып, адиабаттық ұлғайғандағы газ істеген жұмысты немесе газ адиабаттық сығылғандағы сыртқы күштер істеген жұмысты есептейік. Бір моль идеал газ V₁ көлемнен V₂-ге дейін ұлғайды делік .Көлем dV-ға өзгергенде істелетін элементар жұмыс dA=pdV. Қысым мен көлемнің арасындағы байланыс адиабат теңдеуі, демек Пуассон теңдеуі бойынша анықталады: pV^γ=const.Адиабаттық процестегі газдың жылусыйымдылығы нольге тең болады, себебі: C_aд=(dQ/dT)_aд=0/ dT=0.

48.Политроптық процесс.Политроп теңдеуі. газ күйінің өзгеруін сипаттайтын изотерм-дік және адиабаттық процестер политроптық деп аталатын жалпы про-цестің дербес түрлері болады. Газ күйінің өзгеру процесін политроп-тық деп атайды, егер оның жылусыйымдылығы тұрақты жәнеқатысына тең болса:немесеПолитроптық процестің жалпы күй теңдеуін анықтайық. Термоди-намиканың бірінші бастамасы бойыншанемесе.Бұл теңдеу келесі қарапайым түрлендірулерден кейін

мына түрде жазылады:

.Осы теңдеуді интегралдасақ, онда былай жазылады

, мұндағы политроп көрсеткіші деп аталады. Осыдан.. (1)

Осы идеал газдың қысымы мен көлемін байланыстыратын (1)-ші формула политроптық процестегі газ күйінің теңдеуі деп атайды

Жоғарыда қарастырған газ күйінің өзгеруін сипаттайтын изотерм-дік және адиабаттық процестер политроптық деп аталатын жалпы про-цестің дербес түрлері болады. Газ күйінің өзгеру процесін политроп-тық деп атайды, егер оның жылусыйымдылығы тұрақты жәнеқатысына тең болса:немесе(6.58)

Политроптық процестің жалпы күй теңдеуін анықтайық. Термоди-намиканың бірінші бастамасы бойынша

немесе

. (6.59)Температураның өзгерісінің орнына (6.45)-ші өрнек бойынша анықталғанмәнін қойып, былай жазамыз:немесеБұл теңдеу келесі қарапайым түрлендірулерден кейін

мына түрде жазылады:.Осы теңдеуді интегралдасақ, онда былай жазылады : , (6.60)

мұндағы политроп көрсеткіші деп аталады. Осыдан(6.61)Политроп көрсеткішін анықтайтын (6.61) қолданып, (6.60)-шы теңдеуді потенциалдап, былай жазамыз:. (6.62)Осы идеал газдың қысымы мен көлемін байланыстыратын (6.62)-ші формулаполитроптық процестегі газ күйінің теңдеуі немесе политроп теңдеуі деп аталады. Мұндағы n политроп көрсеткіші (-) –тен (+)-ке дейінгі мәндерді қабылдай алады.6.2-кестеде политроптық процестің біз қарастырған изопроцес-тердің бірімен теңбе-тең болғандағы n-нің мәні мен оған сәйкес изо-процестер келтірілген. Осы кестеден n политроп көрсеткішінің (6.61) формулаға бағынатындығын көрсетуге болады. Изобарлық процесте политроп көрсеткіші ,,. Изотермдік процесте(өйткені), онда.

Адиабаттық процесте (өйткені=0), онда (6.61)-ші формула бойынша политроп көрсеткіші -ға тең болады, ал изохоралық процесте, онда. Жылусыйымдылықтың политроп көрсеткішіне қатысты тәуелділігі әр түрлі изопроцестерде 6.15-суретте көрсетілген.Идеал газдың адиабаттық сығылғыштығы. Идеал газдың изотермдік сығылғыштығы (2.59) формула бойынша былай анықта-лады:

.Адиабаттық процестегі газдың сығылғыштығы бұл шамаға тең болмайды. Оның себебі, адиабаттық сығылу процесінде газдың қысы-мы өзгергенде көлемімен бірге температурасы да өзгереді. Сондықтан, газ сығылғанда, температурасы көтеріледі. Газдың сығылғыштығы адиабаттық процесте изотермдіктен кіші болады.Газдың адиабаттық сығылғыштық коэффициентін (6.48)-ші теңдеу бойынша табуға болады:. (6.63)Сонымен, газдың адиабаттық сығылғыштығы изотермдік сығыл-ғыштықтанесе кем болады.