MMATAN04

			π									π
Положим f (x) = sin				− x , где x =													. Тогда
			6									180
	π																	π								√					1
f (x) = − cos		− x ,				f (0) = − cos																	= −			3			,	f (0) =		,
	6																	6								2					2
					π		1								√
			sin			− x					√−				3							x,
					6				2						2
							1
sin 151o = sin 290								−					3	·							π				0, 48.
							2					2								180

Задачи для самостоятельной работы

Найти дифференциалы следующих функций:

6.1. y = sin3 2x.

− 1

6.3. y = e cos x .

6.5. y = x ln x.

√

6.7. y = x3 + x x.

Найти

6.9. d(t2 sin √t).

6.11.	d	cos ϕ	.
		1 − sin ϕ

6.2. y = ln(sin √x).

6.4. y = 2−x2 .

√

6.6. y = arcsin x.

6.8. y = arctg √x2 + 1.

6.10. d		u + 1		.
	√
			u + 1
6.12. d			s2		.
		arcsin s

Пусть u, v — дифференцируемые функции. Найти дифференциал функции y, если:

		u			√
							2	2
				6.14. y = ln	u			+ v	.
6.13.	y = v2 .

Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно следующие значения:

91

6.15. cos 151o. 6.16. arctg 1, 05.

Ответы

ctg

√

tg x

−

1

x

6.1.

3 sin 2x sin 4x dx.

6.2.

dx.

6.3.

e

cos x

dx.

2√

−

cos x

x

6.4.

2x 2−x2 ln 2 dx

6.5.

(ln x + 1) dx

6.6.

dx

−

.

x dx

.

2

x(1 − x) .

3x2 3

t (4 sin √

6.7.

+

√

dx.

6.8.

(2 + x2)√

6.9.

+

x

t

2

2

x2 + 1

√

√

(u

−

3) du

dϕ

+ t cos

t) dt.

6.10.

√

.

6.11.

.

1

sin ϕ

u − 1

−

2(u − 1)

6.12.

s

2 arcsin s

s

ds.

6.13.

v du − 2u dv

arcsin2 s

− √1

−

s2

v3

.

u du + v dv

6.14.

.

6.15. −0, 8747.

6.16. 0, 8104.

u2 + v2

Занятие 7. Повторное дифференцирование

Задание

Найти y , если:

1.	√			2. y = ln f (x).
		2
	y = x	1 + x .
3.	Найти y(0), y (0) и y (0), если			y = esin x cos(sin x).

Пусть u = u(x) и v = v(x) — дважды дифференцируемые функции. Найти y , если:

			u		5. y = uv .
	4.	y = ln v .

Пусть f (x) — трижды дифференцируемая функция. Найти y и y , если:

92

	2			1
6.	y = f (x	).	7.	y = f		.
					x

Найти производные yx, yx2 , yx3 от функции y = y(x), заданной параметрически, если:

8.	y = 3t	− t3.		9.	y = a(1	− cos t).
	x = 2t	t2	,		x = a(t	sin t),
		−				−

10.Считая x независимой переменной, найти d2y, если y = √1 + x2.

11.Найти d2y для функции

y = ex

в двух случаях: а) x — независимая переменная; б) x — дважды дифференцируемая функция другой переменной.

Пусть u и v — дважды дифференцируемые функции. Найти d2y, если:

	12.	y = u v.		u
			13. y = tg v .

Решения

1. По определению y = (y ) . Вычисляя последовательно, получаем

x

1 + 2x2

y = x 1 + x2

= 1 + x2 + x · √1 + x2

= √1 + x2 ,

1 + 2x2

(1 + 2x2)x

1

3x + 2x3

√1 + x2

− √1 + x2

1 + x2

(1 + x2) 2

y =

= 4x 1 + x2

=

3

.

2. Для функции y = ln f (x) имеем

y =

f (x)

,

f (x)

y =

1

f (x)f (x) − f

2

(x) .

f 2(x)

93

3. Если y(x) = esin x cos(sin x), то

y = esin x cos(sin x) − esin x sin(sin x) cos x =

= (y(x) − y(x) tg (sin x)) cos x = y(x) cos x(1 − tg x), y(0) = 1, y (0) = 1.

При нахождении y (0) учитываем уже найденные значения y(0) = 1

и y (0) = 1

y = y (x) cos x(1

− tg

(sin x))

−

y(x) sin x(1

− tg

(sin x))

−

−y(x) cos x

cos x

y (0) = 1 − 0 − 1 = 0.

,

cos2(sin x)

4. Найти y , если y = ln

u

,

v

u

u

v

y = ln

= (ln |u2| − ln |v|) =

−

,

v

2u

v

y =

u u − u

−

v v − v

.

u2

v2

5. Найти y , если y = uv ,

u

u

y = (uv ) =

ev ln u

= ev ln u v

ln u + v

= uv v ln u + v

,

u

u

u

+ uv v ln u + 2v

u

u

u

u

2

=

y = (uv )

v ln u + v u

u

+ v

u−2

= uv

u

2

u

u

uu−2 u

2

.

+ v

v ln u + v u

ln u + 2v u

+ v

6. Найти y , если y = f (x2),

y = 2xf (x2),

y = 2f (x2) + 4x2f (x2),

y = 4xf (x2) + 8xf (x2) + 8x3f (x2) = 8x3f (x2) + 12xf (x2).

94

1

7. Найти y , если y = f

,

x

1

1

y = f

−

,

x

x2

1

1

1

2

y = f

+ f

,

x

x4

x

x3

1

1

1

4

1

2

y = −f

+ f

−

+ f

−

+

x

x6

x

x5

x

x5

1

6

1

1

6

1

6

1

+f

−

=

−

f

−

f

−

f

.

x

x4

x6

x

x5

x

x4

x

8. Производные высших порядков от функции y = y(x), заданной параметрически

x = x(t), y = y(t),

последовательно могут быть вычислены по формулам

	y			(y )
yx =	t	, yxx	=	x	t	,
	xt			xt

x = 2t − t2,

Если то y = 3t − t3,

	(y	)
yxxx =	xx	t	, и т. д.
	xt

y

3

−

3t2

3

y =

t

=

=

(1 + t),

x

2

2t

2

x

−

t

3

(y )

3

2

y 2 =

x

t

=

=

,

x

2

2t

4(1

t)

x

−

−

t

1

3

(−1)

yx2

−

4

(1

t)2

yx3 =

xt

t

=

2−

2t

−

3

= 8(1 − t)3 .

9. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t). Так как при каждом дифференцировании приходится делить на xt, то вычислим вначале эту

95

производную:

x

= a(1

−

cos t) = 2a sin2

t

.

t

2

Имеем далее

y

a sin t

2 sin

t

cos

t

t

y

=

t

=

=

2

2

= ctg

,

x

xt

2

t

2

t

2

2a sin

2

2 sin

2

−

1

(y

)

2 sin2

t

1

y 2

x

t

2

=

x

=

2 t

= −

4 t ,

x

t

2a sin

4a sin

2

2

1

·

1

cos

t

t

y

a sin5

t

2

2

cos

2

2

yx3 =

x

t

=

2

=

.

xt

2a sin2

t

4a2 sin7

t

2

2

10. Пусть f : (a, b) → R. Если f (x) — n-раз дифференцируемая функция на интервале (a, b) и x — независимое переменное, то n-й дифференциал функции f (x) вычисляется по формуле

dnf (x) = f (n)(x)dxn ,

где dxn = (dx)n.

Если же f (x) — достаточное число раз дифференцируемая функция, то dnf (x) вычисляется последовательным дифференцированием с использованием правил дифференцирования в дифференциалах.

В нашем задании x — независимая переменная. Поэтому найдем вначале вторую производную функции y = √1 + x2.

y = √1 x+ x2 ,

	1				x2		1
				− √1 + x2
	(1 + x2)						(1 + x2) 2
y =			1 + x2			=	3 .

96

Используя формулу n-го дифференциала для функции независимого переменного, получаем

d2y = y dx2 =	dx2
		.
	3
	(1 + x2) 2

11. а) Если x — независимая переменная, то

d2y = y dx2 = ex dx2.

б) Если x — промежуточный аргумент, то d2y находится последовательным дифференцированием:

dy = ex dx,

d2y = d(dy) = d( ex dx) = d( ex) dx + ex d(dx) = ex dx2 + ex d2x.

12. Используя правила дифференцирования в дифференциалах, находим:

dy = d(uv) = v du + u dv,

d2y = d(v du + u dv) = d(v du) + d(u dv) =

= dv du + v d(du) + du dv + du d(dv) = u d2v + 2du dv + v d2u.

13. dy = d tg

u

=

1

d

u

=

1

v du − u dv

,

u

u

v

cos2

v

cos2

·

v2

v

v

v2

cos2 u ·

v2

cos2 u ·

d2y = d

1

v du

− u dv

+

1

d

v du − u dv

=

v

v

=

u

v du − u dv

+ (v d2u u d2v)v − 2 dv(v du − u dv) .

2 sin v

2

−

cos3

u

v2

v3 cos2

u

v

v

97

7.14. x = et cos t, y = et sin t.

Задачи для самостоятельной работы

Найти y , если

7.1. y = ln(sin x).

7.3. y = cos2 2x.

7.5. y = ln(1 + x2).

x

7.7. y = arcsin 2 .

7.9. y = e2x2 .

7.2. y = (1 + x2) arctg x.

7.4. y = arctg 2x.

7.6. y = arccos 2x.

7.8.y = √1 + x2.

7.10.y = ecos 2x.

Пусть u = u(x) и v = v(x) — дважды дифференцируемые функции. Найти y , если:

7.11. y = sin(uv).

7.12. y =	√				.
		u	2	2
				+ v

Найти производные yx, yx2 , yx3 от функции y = y(x), заданной параметрически, если:

7.13. x = a cos t, y = a sin t.

Считая x независимой переменной, найти d2y, если:

	ln x		x
7.15. y =		.	7.16. y = x
	x

Пусть u и v — дважды дифференцируемые функции. Найти d2y, если:

	1			7.18. y =	u	2
7.17.	y =		.			.
		u2 + v2			v

98

Ответы

1

2

arctg x +

x

.

−8 cos 4x.

7.1. −

.

7.2.

7.3.

sin2 x

1 + x2

16x

2(1 − x2)

8x

x

7.4. −

(1 + 4x2)2

.

7.5.

(1 + x2)2

. 7.6. −

3

. 7.7.

3

.

1

7.9. 4 e2x2 (1 + 4x2).

(1 − 4x2) 2

(4 − x2) 2

7.8.

.

7.10.

4 ecos 2x(sin2 2x − cos 2x).

3

(1 + x2) 2

7.11.

− (u v

+

uv )2 sin(uv)

+

(u v +

2u v

+ uv ) cos(uv).

7.12.

1

(u2 + v2)(uu + vv ) + (u v

uv )2 . 7.13. y 2 =

3

!

−

"

x

(u2 + v2) 2

=

1

y 3 =

3 cos t

y 2 =

e−t

y 3 =

−a sin3 t ;

−a2 sin5 t . 7.14.

π

;

x

x

3

x

e

−2t

(2 sin t + cos t)

2 ln x

3

√2 cos

t +

4

=

.

7.15.

−

dx2.

7.16. xx (1 + ln x)2 +

π

3

1√

cos5

t +

x

!

2

4

2

+

dx2. 7.17.

[4(u du + v dv)2 − (u2 + v2)(u d2u + v d2v +

x

(u2 + v2)3

+ du2 + dv2)]

7.18.

2

#

(v du

u dv)2 +

u

[v2

(v d2u

u d2v)

v4

−

v

−

−

−

2v dv(v du

. u dv)]

−

}.

Занятие 8. Производные и дифференциалы высших порядков

Задание

1. Пусть функция y = y(x) дифференцируемая достаточное число раз. Найти производные x , x , x , xIV обратной функции x =

= x(y), предполагая, что эти производные существуют.

2.Найти производные yx и yx2 от функции y = y(x), заданной неявно

y2 + ln y = x4.

99

В следующих примерах найти производные или дифференциалы указанного порядка:

√

3. y = x; найти y(10).

x2

4. y = 1 − x ; найти y(8).

5. y = x2 e2x; найти y(20).

6. y = x cos 2x; найти d10y.

Найти производные n-го порядка от следующих функций:

	1			8. y = cos2 x.
7.	y =		.
		x2 − 3x + 2
9.	y = sin3 x.			11. y = x 2x.

10. Для функции y = eu найти дифференциал четвертого порядка, если u — достаточное число раз дифференцируемая функция.

Приведем правила повторного дифференцирования и основные формулы, необходимые при решении данного задания.

Правила повторного дифференцирования. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) — n-раз дифференцируемы. Тогда имеют место следующие формулы повторного дифференцирования:

1)(u + v)(n) = u(n) + v(n),

dn(u + v) = dnu + dnv,

2)(cu)(n) = cu(n),

dn(cu) = cdnu, где c — постоянная,

3)(f (ax + b))(n) = anf (n)(u), где u = ax + b,

n

4) (uv)(n) = Cnk u(k)v(n−k),

		k=0
dn(uv) =		n
		Cnk dk udn−kv,
		=0
		k
где u(0) = u, v(0) = u, d0u = u, d0v = v и
Cnk =	n(n − 1) · · ·(n − k + 1)		, Cn0	= 1.
		k!
100