MMATAN04

y		y
	2
y=|x -3x+2|
2
1	2	x

f '(x0 )=+ 8

x	0	x

y

				8
			)	=+
		x		0
	(
		-
f	'

	f
	'
	(
+
	x
	0
	)
	=
	-
	8
x	0	x

Рис. 1.5. Геометрический смысл односторонних и бесконечных производных

Определение 1.4. Прямая линия, перпендикулярная к касательной в точке (x0, f (x0)) и проходящая через эту точку, называется нормалью к кривой y = f (x) в точке (x0, f (x0)).

Учитывая, что произведение угловых коэффициентов двух перпендикулярных прямых в плоскости равно −1, в предположении, что f (x0) = 0, получим уравнение нормали к кривой y = f (x) в точке

(x0, f (x0))

1

y = f (x0) − f (x0) (x − x0).

1.3. Дифференцируемые функции

Определение 1.5. Функция f : (a, b) → R называется дифференцируемой в точке x0 (a, b), если ее приращение в этой точке можно представить в виде

f (x0) = A · x + α · x,

где A — некоторое постоянное число, α = α(Δx) — функция действительной переменной от x, причем

R	R
α(Δx) → 0 при	x → 0.
	11

Функция f : (a, b) → R называется дифференцируемой на множестве (a, b), если она дифференцируема в каждой точке этого множества.

Теорема 1.2

(Условия дифференцируемости функции одной переменной). Для того чтобы функция f : (a, b) → R была дифференцируема в точке x0 (a, b), необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке конечную производную.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке x0 (a, b), т. е.

	f (x0) = A ·		x + α(Δx) · x,		f (x0)
	где A — конечное число и α(Δx) → 0 при x → 0. Откуда					=
					x
	= A + α(Δ). Переходя в этом равенстве к пределу при				x → 0,
	получаем		f (x0)
	A = lim			= f (x0),
	x→0		x

т. е. функция f (x) имеет в точке x0 конечную производную. Достаточность. Пусть в точке x0 существует конечная производ-

	ная	f (x0), т. е.				f (x0)
					f (x0) = lim		.
			f (x0)		x→0	x
	Но тогда			− f (x0) = α(Δx), где α(Δx) → 0 при x → 0, и
			x

приращение функции в точке x0 представимо в виде

f (x0) = f (x0)Δx + α(Δx)Δx.

Откуда следует, что функция f (x) дифференцируема в точке x0.

Теорема 1.3

(Непрерывность дифференцируемой функции). Если функция f : (a, b) → R дифференцируема в точке x0 (a, b), то она и непрерывна в этой точке.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т. е. существуют непрерывные, но не дифференцируемые функции.

12

Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку f (x) дифференцируема в точке x0 (a, b), то

f (x) − f (x0) = A(x − x0) + α · x,

где α(Δx) → 0 при x → 0. Откуда следует, что

lim f (x) = f (x0),

x→x0

т. е. функция f (x) непрерывна в точке x0.

Обратное доказывается с помощью примера. Функцияf (x) = |x| непрерывна в точке x = 0, но не дифференцируема в этой точке. Действительно, как легко видеть, левосторонняя производная f−(0) = −1 не совпадает с правосторонней производной f+(0) = +1 и, следовательно, f (0) не существует (рис. 1.6).

y

y=|x|

0x

Рис. 1.6. Непрерывная функция y = |x| не имеет производную

вточке x = 0

1.4.Правила вычисления производных

Теорема 1.4

(Производная суммы, произведения и частного). Если функции f : (a, b) → R и g : (a, b) → R дифференцируемы в точке x0 (a, b), то (f + g)(x), (cf )(x) (c — действительное число), (f g)(x), (f /g)(x0) (в этом случае g(x0) = 0) дифференцируемы в точке x0 (a, b) и имеют место равенства

13

1) (f + g) (x0) = f (x0) + g (x0). 2) (cf ) (x0) = cf (x0).

3) (f g) (x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0).

4) (f /g) (x0) = f (x0)g(x0) (− g)(x0)f (x0) . g2 x0

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функции f (x) и g(x) дифферен-

цируемы в точке x0		интервала (a, b). Это означает по теореме 1.2,
что существуют конечные производные
f (x0) = lim	f (x0 + t) − f (x0)		,	g (x0) = lim	g(x0 + t) − g(x0)	.
t→0		t		t→0	t

Кроме того в силу теоремы 1.3 функции f (x) и g(x) непрерывны в точке x0, т.е.

lim f (x0 + t) = f (x0),

lim g(x0 + t) = g(x0).

Тогда

t→0

t→0

1) (f + g) (x0) =

= lim

(f (x0 + t) + g(x0 + t)) − (f (x0) + g(x0))

=

t→0

t

= lim

f (x0 + t) − f (x0)

+ lim

g(x0 + t) − g(x0)

= f (x0) + g (x0).

t→0

t

t→0

t

2) (cf ) (x0) =

= lim

cf (x0 + t) − cf (x0)

= c lim

f (x0 + t) − f (x0)

= cf (x0).

t→0

t

t→0

t

3) (f g) (x0) = lim

f (x0 + t)g(x0 + t) − f (x0)g(x0)

=

t→0

t

lim

f (x0 + t)g(x0 + t) f (x0)g(x0 + t)

t −

+

= t→0

f (x )g(x + t)

f (x )g(x )

=

+

0

0

−

0 0

t

14

= lim

f (x0 + t) − f (x0)

lim g(x0 + t)+

t→0

t

t→0

+f (x0) lim

g(x0 + t) − g(x0)

= f (x0)g(x0) + f (x0)g (x0).

t→0

t

4) Рассмотрим функцию (1/g)(x). Вычислим производную

1

1

−

(1/g) (x0) = lim

g(x0 + t)

g(x0)

=

t

t→0

= lim

1

lim

g(x0) − g(x0 + t)

=

g (x0)

.

t→0 g(x0)g(x0) t→0

t

−g2(x0)

Используя правило дифференцирования произведения получаем

1

1

(f /g) (x0) = f (x0)

+ f (x0)

(x0) =

g(x0)

g

=

f (x0)

−

f (x

)

g (x0)

=

f (x0)g(x0) − g (x0)f (x0)

.

g(x0)

g2(x0)

0

g2(x0)

Теорема 1.5

(Производная обратной функции). Пусть f : [a, b] → R удовлетворяет следующим условиям:

1)f (x) непрерывна на [a, b];

2)f (x) возрастающая (убывающая) на [a, b];

3)в точке x0 (a, b) существует конечная производная f (x0) = 0. Тогда у обратной функции x = ϕ(y) существует производная в

точке y0 = f (x0) и имеет место равенство

ϕ (x0) = (1 ) . f x0

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу монотонности функции f (x) существует обратная непрерывная функция x = ϕ(y). Значит, из соотношения y → y0 следует x → x0.

Согласно определению обратной функции

ϕ(y) = x, ϕ(y0) = x0, y = f (x), y0 = f (x0).

15

Но тогда

ϕ (y0) = lim		ϕ(y) − ϕ(y0)		=		lim	x − x0		=
y→y0			y − y0		x→x0 f (x) − f (x0)
=			1			=	1	.
		lim	f (x) − f (x0)				f (x0)
	x→x0		x − x0

Теорема 1.6

(Производная сложной функции). Если y = g(x) дифференцируема в точке x0, а z = f (y) дифференцируема в точке y0 = g(x0), то сложная функция z = f (g(x)) дифференцируема в точке x0 и имеет место формула

(f (g(x0))) = f (y0) · g (x0).

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию функция y = g(x) дифференцируема в точке x0. Это означает, что ее приращение в этой точке представимо в виде

y = g(x0) = g (x0)Δx + α · x,

где α = α(Δx) → 0 при x → 0.

Аналогично, так как и функция z = f (y) дифференцируема в точке y0 = g(x0), то ее приращение в этой точке равно

f (y0) = f (y0)Δy + β · y,

где β = β(Δy) → 0 при y → 0.

Сопоставляя два последних равенства, получаем

f (g(x0)) = f (y0)(g (x0)Δx + α · x) + β(g (x0)Δx + α · x).

Откуда следует, что приращение сложной функции f (g(x)) в точке x0 можно представить в виде

f (g(x0)) = f (x0)g (x0)Δx + γ · x,

где γ = γ(Δx) = f (y0)α(Δx) + g (x0)β(Δy) + α(Δx)β(Δy) → 0 при x → 0 (также и y → 0 при x → 0).

Значит, сложная функция f (g(x)) дифференцируема в точке x0 и ее производная в этой точке равна

(f (g(x0))) = f (y0) · g (x0).

16

1.5. Дифференциал

Определение 1.6. Пусть функция f : (a, b) → R дифференцируема в точке x0 (a, b). Тогда ее приращение в этой точке представимо в виде

f (x0) = A · x + α(Δx) · x,

A — постоянное число, α(Δ) — бесконечно малая при x → 0. Выражение A · x называется дифференциалом функции f (x) в

точке x0 и обозначается

df (x0) = A · x.

Рассмотрим основные свойства дифференциала.

Свойство 1.1

Дифференциал функции f (x) независимой переменной x можно вычислять по формуле

df (x0) = f (x0)dx.

До к а з а т е л ь с т в о. Из теоремы 1.2 следует, что величина A

вопределении дифференциала равна производной f (x0). Поэтому

df (x0) = f (x0) · x.

Если x независимая переменная, то полагая в последнем равенстве f (x) ≡ x, получаем dx = x. Откуда следует df (x0) = f (x0)dx.

Свойство 1.2

(Геометрический смысл). Дифференциал функции f (x) независимой переменной x, вычисленный в точке x0, представляет приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f (x) в точке (x0, f (x0)).

Этот факт можно установить геометрически (рис. 1.7).

Свойство 1.3				x		f (x ) = 0
Пусть	f (x)	дифференцируема в точке			и		. Тогда диф-
				0		0
ференциал df (x0)			есть главная часть (линейная относительно x)
бесконечно малой			f (x0) при x → 0.
							17

y

y=f(x)

		df(x	)=f'(x ) x
		0	0
		x
α
				x
x	0	x + x
		0

Рис. 1.7. Геометрический смысл дифференциала

Д о к а з а т е л ь с т в о.

lim	f (x0)			=	lim	f (x0)Δx + α ·	x	= lim
	A	·	x			f (x0)Δx
x 0					x 0			x 0
→					→			→

Свойство 1.4

α
1 + f (x0)	= 1.

(Инвариантность формы первого дифференциала). Вид записи дифференциала (формулы) не зависит от того является ли аргумент x функции f (x) независимой переменной или дифференцируемой функцией от новой независимой переменной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x = x(t) — дифференцируемая функция независимой переменной t. Тогда

df (x(t)) = [f (x(t))]t dt = f (x) · x (t)dt = f (x)dx.

Свойство 1.5

(Правила дифференцирования в дифференциалах). Пусть функции f : (a, b) → R и g : (a, b) → R дифференцируемы в точке x0 (a, b). Тогда при вычислении дифференциалов суммы, произведения и частного в точке x0 справедливы правила дифференцирования в дифференциалах, аналогичные соответствующим правилам для производных:

18

1) d(f + g)(x0) = df (x0) + dg(x0).

2) d(cf )(x0 ) = cdf (x0), где c — постоянное число.

3) d(f g)(x0) = f (x0)dg(x0) + g(x0)df (x0).

4) d(f /g)(x0) = g(x0)df (x0) − f (x0)dg(x0) , где g(x0) = 0. g2(x0)

Для доказательства этого свойства достаточно умножить левые и правые части формул 1) — 4) в теореме 1.4 на dx.

1.6. Основные теоремы дифференциального исчисления

Теорема 1.7

(Теорема Ролля). Если для функции f : [a, b] → R выполняется

1)f (x) C[a, b],

2)f (x) — дифференцируема на (a, b),

3)f (a) = f (b),

то существует точка ξ (a, b), такая, что f (ξ) = 0.

Иными словами существует касательная к кривой y = f (x), параллельная оси x (рис. 1.8).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f (x) непрерывна на замкнутом интервале [a, b], то по второй теореме Вейерштрасса она достигает на [a, b] своей точной верхней M и точной нижней m границы. Возможны два случая.

1) Функция постоянна всюду на [a, b]. В этом случае M = m и f (x) ≡ C. Тогда f (x) = 0 всюду на (a, b).

2) Пусть m < M . В силу условия f (a) = f (b) одно из значений m или M достигается во внутренней точке интервала ξ (a, b). Предположим для определенности, что f (ξ) = m (другой случай рассматривается аналогично).

19

y
f(a)=f(b)
	y=f(x)
a	ξ	b	x
Рис. 1.8. Геометрический смысл теоремы Ролля

Для x (a, b), x = ξ, выполняется неравенство f (x) − f (ξ) ≥ 0, и

f (x) − f (ξ) ≥ 0 при x > ξ, x − ξ

f (x) − f (ξ) ≤ 0 при x < ξ. x − ξ

Переходя в последних неравенствах к пределам, получаем

	lim		f (x)	− f (ξ)		= f	ξ = f (ξ)	≥	0,
			x
x	ξ+0			−	ξ	+
	→
x	lim	0	f (x) − f (ξ)			= f	ξ = f (ξ)	≤	0.
	ξ		x	−	ξ	−
	→ −

Откуда следует f (ξ) = 0.

Теорема 1.8

(Теорема Коши для дифференцируемых функций). Пусть функции f : [a, b] → R и g : [a, b] → R удовлетворяют условиям

1)f (x) C[a, b] и g(x) C[a, b];

2)f (x) и g(x) — дифференцируемы на (a, b). Тогда существует точка ξ (a, b), такая, что

[f (b) − f (a)]g (ξ) = [g(b) − g(a)]f (ξ).

20