MMATAN04

Таким образом, y > 0 на интервалах

0, π + arcsin

√

− 1

,

2π − arcsin

√

− 1

, 2π

5

5

2

2

и y < 0 на интервале

π + arcsin

√

− 1

, 2π − arcsin

√

− 1

.

5

5

2

2

II. Поведение функции на границе основной области исследова-

ния:

y(0) = 1,

y(2π) = 1,

Асимптот нет.

III. Исследование с помощью первой производной

y

y = cos x − 2 cos x sin x,

= 0,

cos x(1

−

2 sin x) = 0,

π

π

3π

cos x = 0, x =

+ kπ,

x =

,

x =

,

2

2

1

2

5π

π

π

sin x =

,

x = (−1)n

+ nπ,

x =

, x =

.

2

6

6

6

Знаки производной:

y

> 0,

cos x(1

−

2 sin x) > 0,

cos x > 0,

cos x >

1

0 < x < π ,

3π < x < 2π,

1 − 2 sin x > 0,

0,

sin x <

,

6

2

2

cos x < 0,

cos x < 0,

π

5π

1 − 2 sin x < 0,

1

< x <

.

sin x >

,

2

6

2

На рис. 3.31 показаны области,

в которых первая производная по-

ложительна (слева для первой системы неравенств, справа — для второй).

161

1												1
	1									+				1
	2			+										2
-1				+ 1	-1												1
-1										-1
Рис. 3.31. Области, где y > 0
Если y < 0, то cos x(1 − 2 sin x) < 0,
cos x > 0,				cos x >			1									π < x < π ,
1 − 2 sin x < 0,				sin x >			0,
									,							6		2
							2
cos x < 0,					1										5π			3π
																	< x < .
1 − 2 sin x > 0,				cos x < 0,
				sin x <
								,							6			2
						2
1												1
	1													1
	2													2
-1				1	-1												1
-1										-1
Рис. 3.32. Области, где y												< 0

Знаки первой производной указаны на рис. 3.33.

Функция возрастает на интервалах 0,	π	,	π	,
	6		2
162

5π	,		3π	, 2π
6			2

y

+

+

5π

+

x

0

π

π

3π

2π

6

2

6

2

Рис. 3.33. Знаки производной y

π

π

5π

3π

;

π

5

5π

5

π

3π

и убывает на интервалах

6

,

2

,

6

,

2

ymax = y

6

=

4

,

ymax = y

=

; ymin = y

= 1,

ymin = y

= −1.

6

4

2

2

IV. Исследование с помощью второй производной

y = (cos x

sin 2x)

=

sin x

2 cos 2x =

sin x

2 + 4 sin2 x,

−

−

−

−

− √

y = 0,

4 sin2 x − sin x − 2 = 0,

sin x =

1 ±

33

,

8

√

√

x = (

−

1)n arcsin

1 +

33

+ nπ,

x = (

1)n arcsin

1 −

33

+ nπ,

8

8

−

1 + √

1 + √

x(1) = arcsin

33

≈ 0,

32π,

x(2) = π − arcsin

33

≈

0, 68π,

8

8

x(3) = π + arcsin

√

− 1

33

≈

1, 20π,

√

8

x(4) = 2π

−

arcsin

33

− 1

≈

1, 80π.

8

Найдем интервалы вогнутости графика исследуемой функции:

√

√

y < 0,

4 sin2 x − sin x − 2 < 0,

1 −

33

< sin x <

1 +

33

,

8

8

√

√

y > 0,

4 sin2 x − sin x − 2 > 0,

sin x <

1 −

33

, sin x >

1 +

33

.

8

8

Решение этих неравенств представлено на рис. 3.34.

163

y

1+ 33

8

++

0 x(1)

x(2)

x (3) x (4)

2π x

1- 33

8

Рис. 3.34. Знаки второй производной y

y

x

Рис. 3.35. График функции y = sin x + cos2 x

График функции вогнутый вверх (y < 0) на интервалах (0, x(1)), (x(2), x(3)), (x(4), 2π) и вогнутый вниз (y > 0) на интервалах

(x(1), x(2)), (x(3), x(4)); x(1), x(2), x(3), x(4) — точки перегиба. Гра-

фик функции изображен рис. 3.35.

x

3. Исследование функции y = 2 + arcctg x.

I. Область определения — вся действительная ось (−∞, +∞).

164

π

Функция нечетная, y(0) = 2 .

II. Поведение функции на границе области определения: y(−∞) = −∞, y(+∞) = +∞.

Вертикальных асимптот нет. Найдем наклонные асимптоты

k =

lim

y

lim

1

+

arcctg x

1

2

x

=

2

,

x→±∞ x

= x→±∞

b

lim

(y

−

kx) =

lim

x

+

arcctg

x

−

1

x

2

2

1

= x→+∞

x→+∞

b

= lim

(y

−

kx) =

lim

x

+

arcctg

x

−

1

x

2

2

2

x→−∞

x→−∞

1

y = 2 x — наклонная асимптота при x → +∞.

1

y = 2 x + π — наклонная асимптота при x → −∞. III. Исследование с помощью первой производной

	y =	1	−	1	=	1	x2 − 1	,
		2		1 + x2		2 x2 + 1

y = 0, x2 − 1 = 0, x = ±1.

=0,

=π.

Знаки первой производной указаны на рис. 3.36.

y		+			+
						x
		1	1

Рис. 3.36. Знаки производной y

Функция возрастает на интервалах (−∞ < −1) и (1, +∞); убы-

вает на интервале (−1, 1); ymax = −	1	+	3π	, ymin = y(1) =	1	+	π
								.
	2		4		2		4
						165

IV. Исследование с помощью второй производной
y = 1 2x(x2 + 1) − 2x(x2 − 1) =		2x	.
2	(x2 + 1)2	(x2 + 1)2
График функции вогнутый вверх (y < 0) на интервале (−∞, 0),
и вогнутый вниз (y > 0) на интервале (0, +∞), x = 0 — точка
перегиба. График функции изображен рис. 3.37.
	y
			x
Рис. 3.37. График функции y = x		+ arcctg x
	2
	2x
4. Исследование функции y = arcsin 1 + x2
I. Область определения — вся действительная ось (−∞, +∞).
Функция нечетная, y(0) = 0; y < 0 на интервале (−∞, 0); y > 0
на интервале (0, +∞).

166

II. Поведение функции на границе области определения:

y(−∞) = −0, y(+∞) = +0.

Вертикальных асимптот нет, y = 0 — горизонтальная асимптота.

III. Исследование с помощью первой производной

y =

1

2

1 + x2 − 2x2

= 2

(1 − x2)(1 + x2)

=

(1 + x2)2

4x2

(1

x2)2

(1 + x2)2

1 −

−

(1 + x2)2

= 2

1 − x2

1

= 2

sign (1 − x2)

.

|1 − x2| 1 + x2

1 + x2

Производная y не существует при x = ±1. Точки графика с абсциссами x = ±1 — угловые точки. Знаки первой производной указаны на рис. 3.38.

y	+

11 x

Рис. 3.38. Знаки производной y

Функция возрастает на интервале

(

−

1, 1)

и убывает на

интерва-

π

π

лах (−∞, −1) и (1, +∞); ymin = y(−1) = −

, ymax = y(1) =

.

2

2

IV. Исследование с помощью второй производной. Раскрывая

функцию знака sign (1 − x2),

−

sign (1 − x2) =

1,

< x <

1, 1 < x < + ,

1,

1

< x < 1,

−

−∞

−

∞

первую производную y можно записать в виде

y = 2 sign (1 − x2)			2		, −1 < x < 1,
		=	1 + x2
	1 + x2			2		,		< x < 1, 1 < x < + .
			2
							−∞	−	∞
		−		1 + x

167

Тогда

	−		4x	,	−1 < x < 1,
y =		(1 + x2)2
			4x	,		< x < 1, 1 < x < + .
					−∞	−	∞
			(1 + x2)2

Знаки второй производной указаны на рис. 3.39.

y				+			+
								x
1				0	1

Рис. 3.39. Знаки производной y

График функции выпуклый вниз (y > 0) на интервалах (−1, 0) и (1, +∞), выпуклый вверх (y < 0) на интервалах (−∞, −1) и (0, +1);

x = −1, x = 0, x = 1 — точки перегиба. График исследуемой функции изображен на рис. 3.40.

y

x

Рис. 3.40. График функции y = arcsin	2x
	1 + x2

168

Задачи для самостоятельной работы

cos x 15.1. y = 2 + sin x .

15.3. y = x − arctg 2x.

15.2. y = cos x + sin2 x.

15.4. y = arccos 2x . 1 + x2

Ответы

15.1. О.О.Ф: (−∞, +∞). Функция периодическая; период функции

T = 2π,					основная область 0																≤ x ≤ 2π; y								> 0 на					интервалах
		π					3π						1							π						π			3π										1
																									3π
	0,	2	и				2	, 2π ;						y < 0					на интервале							2		,	2	; точки пересече-
ния с осями M1										0,						, M2					, 0 , M3						, 0 ; y(0) = y(2π) =																;
														2						2					2																	2
																															7π			11π
асимптот нет; функция возрастает на интервале																																	,				, убы-
																															6			6
																		7π				11π										7π								√
																																										3
вает на интервалах 0,																			и				, 2π ; ymin = y												= −								,
																		6				6										6								3
						11π						√
ymax = y									=				3				; график функции выпуклый вверх на интер-
							6						3
					π						3π																										π		π
валах 0,							и						, 2π и выпуклый вниз на интервале																									,	3		;
					2						2																										2		2

π3π

x = 2 , x = 2 — точки перегиба.

15.2. О.О.Ф: (−∞, +∞). Функция периодическая, четная; период

функции T = 2π, основная область

−π

≤ x ≤ π;

y

>

0

−π + arccos

√

− 1

, π − arccos

√

− 1

; y

на интервале

5

5

<

0

на

2

2

−π, −π + arccos

√

− 1

π − arccos

√

− 1

, π ;

интервалах

5

и

5

2

2

−π + arccos

√

− 1

, 0 ,

точки пересечения с осями M1(0, 1), M2

5

2

√5 − 1

M3 π − arccos 2 , 0 ; y(−π) = −1, y(π) = −1; асимптот нет;

169

интервалах

π,

π

,

0, π

и

убы-

функция

возрастает

на π

−

−

π

π

3

3

5

π

5

−

вает

на

интервалах

−

3

, 0 ,

3

, π

;

ymax

=

y

3

=

4

,

ymax

=

y

=

;

ymin

=

y(0)

=

1;

график

функ-

3

4

√

1

,

ции

выпуклый

вниз на интервалах

−π, −π + arccos

33

−

8

√

+ 1

√

+ 1

,

√

1

, π , выпу-

− arccos

33

, arccos

33

π − arccos

33

−

8

8

8

√

1

√

+ 1

,

33

33

клый вверх на интервалах

−π + arccos

−

, − arccos

8

8

√

+ 1

√

1

,

√

+ 1

arccos

33

, π − arccos

33

−

x = ± arccos

33

=

,

x

8

8

8

√

1

— точки перегиба.

33

= ±

π − arccos

−

8

15.3. Функция

нечетная. О.О.Ф: (

, +

); y(

) =

, y(+

) =

π

−∞

∞

−∞

−∞

∞

π

= +∞; y = x −

— наклонная асимптота при x → +∞, y = x +

2

2

— наклонная асимптота при x → −∞; возрастает на интервалах

1

,

1

, +∞ , убывает на интервале −

1

1

;

−∞, −

,

ymax

=

2

2

2

2

1

π

1

1

1

π

= y −

=

−

, ymin = y

=

−

; график выпуклый вверх

2

4

2

2

2

4

при x < 0 и выпуклый вниз при x > 0; x = 0 — точка перегиба.

15.4. Функция общего вида. О.О.Ф: (−∞, +∞); y ≥ 0 для всех x;

точки пересечения с	осями: M					0,	π	,	M	(1, 0)	;	y(+	∞	) = 1	−	0	,
		π		1			2		2
y(−∞) = 1 + 0, y =			— горизонтальная асимптота; возрастает
		2

на интервалах (−∞, −1), (1 + ∞), убывает на интервале (−1, 1), ymax = y(−1) = π, ymin = y(1) = 0; M (−1, π) и M (1, 0) — угло-

вые точки; график функции выпуклый вниз (y > 0) на интервалах (−∞, −1) и (0, 1), выпуклый вверх (y < 0) на интервалах (−1, 0) и (1, +∞); x = −1, x = 0, x = 1 — точки перегиба.

170