MMATAN04

	1																			4 ln 2 + 2																							1.19. 3x ln 3 −																					ln 5																				1						2
	+								.				1.18.																								.																																				.				1.20.							−						+							−
			x ln 3																						x ln 2																																							2		·	5x																			7x2							x
	3																									a																4																			ln a						1																									x
	−									. 1.21. −																									−												. 1.22. −																			+								. 1.23. ctg x −																									.
		sin2 x																					2xa+1																	sin2 x																					ax										x																				sin2 x
	1.24.								arcsin x +															√					x									.				1.25.													ex(x7 + 7x6).																						1.26.							2x(x2 ln 2 +
																																			2
																											1 − x																								ex
	+ (2 − 3 ln 2)x − ln 2 − 3). 1.27.																																																					(x2 + 2x). 1.28. ex(cos x − sin x).
																																																			2
	1.29.								3x2 ln x.														1.30. x arctg x.																													1.31. log2 x.																									1.32. (x2 + 2) sin x.
	1.33.									ex((x4 + 4x3 + 1) cos x − (x4 + 1) sin x).																																																																1.34.							(2x cos x −
	− (x2 + 1) sin x) arcctg x − cos x.																																																			1.35.																	2 cos x + (2x + 1) sin x
																																																																																																		.
																																																																																	cos2 x
	1.36.					5					2x ln x − x														.					1.37. 3														5x4 + ex(5x4 − x5)																												.					1.38.							2 − sin 2x														.
														ln2 x																																					(1 + ex)2																																	20x2 cos2 x
	1.39.										2(1 − 2x)																	.		1.40.												2																.		1.41.												sin2 x + sin x + x cos x																											.
								(1 x− x + x2)2																																				sin 2x − 1
																												x		)																																																	(1 + sin x)2
	1.42.									e			(1 + x + e																			.					1.43. 4x3 + 10x − 2.																														1.44.														49x6 + 9x2 − 4.
													(1 + ex)2
																																																					3√																															1						1
	1.45.								25x4 + 3x3 −x2.																																	1.46.																x	.							1.47.											1 +										+													.
																																																																																			2√									√3
																																																					2																																					3
																																																																																						x									2
						2									1												9															3															√3									10																													x
																																																																																				4
																																																												2
	1.48.						3√3							−												+					.				1.49.										4√4							+ 5								x −										. 1.50. 20x −3 cos x +
																2x2												x4																																						x3
												x																																						x
	5																																									1																									1																							4
	+										.		1.51. x4 − 3 sin x −																																										. 1.52. −													x√3											− 2 sin x +																					.
				cos2 x																																										sin2 x																																												cos2 x
																																																																											x
													4 cos 2x																														4(1 + sin2 x)																																		5							1						1					+
	1.53.								−												.						1.54.																																	.			1.55.																√7			−						+
													2																													2																																											x3							x
																																																																																2
													sin			2x 1																													sin							2x															1										7			x
	+ 2x ln 2. 1.56.																												(2 + ln 2). 1.57. ex −																																																	+ x3. 1.58. 8 ex +
																		x ln 2																																													2 cos2 x
	+					1								−			√						1										.			1.59. 5x ln 5																								+			3x ln 3														−				ln 6			. 1.60.											5					.
					1 + x2														1 − x											2																																																			6x																x
	1.61.							2x					−					2									+									√					3							.				1.62.								0			1.63.																2x sin x + x2 cos x.
															1 + x2
																																										2
																												x									1					− x
	1.64.							2x log6 x +																											.			1.65. 6(ln x + 1).																														1.66. 2x arcctg x − 1.
																											ln 6
	1.67.										3x3(arccos x																				+ arcsin x).																											1.68.										ex( arctg x + arcctg x).
											4x																																									x
	1.69.															− 2 ctg 2x.																								1.70.																(2 sin2 x + x sin x cos x + x tg x).
								sin2 2x																																									cos x
																																																																																															61

1.71. x2 ex (x + 3) arcctg x −

x

. 1.72. (cos x−x sin x) arcsin x+

1 + x2

+

x cos x

−6x2

cos x + x sin x ln x

. 1.75. −

3

√

. 1.73.

(x3

−

1)2

. 1.74.

2x cos2 x

1 + sin x

.

2

1

− x

1

1

x2 + 3

1

1

+

1.76.

2√

(√

+ 1)2

.

1.77.

−

arctg x. 1.78.

x3

x4

2

1 + x2

x

x

+

(1 − x2) ln x

4 ex

3(2x

sin 2x)

.

1.79.

.

1.80.

−

.

(1 + x2)2

(2

−

ex)2

4x2 cos2 x

2

x

ln 2

4

2

2

1.81.

.

1.82.

2x ctg x − (x

+ x )(1 + ctg

x)

.

(1 + 2x)2

(x2 + 1)2

Занятие 2. Дифференцирование сложной функции

Формула дифференцирования сложной функции имеет вид

f (u(x) = fu · u .

В частности, если u = u(x), то

1)(un) = nun−1 · u

2)(au) = au ln a · u

3)( eu) = eu · u

1

4) (loga u) = u ln a · u

5) (ln u) = u1 · u

6) (sin u) = cos u · u 7) (cos u) = − sin u · u

8) ( tg u) = 1 · u cos2 u

	1
9)	( ctg u) = −							· u
		sin2 u
10)	(arcsin u) =			√	1							· u
					1 − u					2
11)	(arccos u) = −				√			1						· u
							1 − u						2
12)	( arctg u) =				1				· u
			1 + u2
13)	( arcctg u) = −							1					· u .
						1 + u2

62

П р и м е р 1. Найти производную функции

y= (x2 − 2x + 3)5.

Ре ш е н и е. Полагая y = u5, где u = x2 −2x + 3, имеем согласно формуле 1)

y = 5u4 · u = 5(x2 − 2x + 3)4(2x − 2).

П р и м е р 2. Найти производную функции

y= sin3 4x.

Ре ш е н и е. Применяем дважды правило дифференцирования сложной функции

y = (sin3 4x) = 3 sin2 4x(sin 4x) = 3 sin2 4x cos 4x(4x) = = 12 sin2 4x cos 4x.

Дифференцирование степенно-показательной функции y = u(x)v(x)

сводится к дифференцированию сложной показательной функции по формуле

y= u(x)v(x) = ev(x) ln u(x).

Пр и м е р 3. Найти производную функции

y= (cos x)sin x.

Ре ш е н и е. Преобразуем функцию, используя определение логарифма и его свойства,

y = (cos x)sin x = e	ln(cos x)sin x
	= esin x ln cos x.
Вычисляем производную

63

2.12. y = x3 cos 3x.

2.14. y = arccos(5x).

2.16. y = (sin x)x .

2.18. y = ln(sin x).

2.10. y =

1 arctg 2x .

√

2.4. y = 4 1 + 3x2.

2.6. y = sin2 x

2.8. y = √2x + 2x

y = (cos x)sin x = esin x ln cos x =
= esin x ln cos x cos x ln cos x + sin x −	sin x	=
	cos x

= (cos x)sin x(cos x ln cos x − sin x tg x).

Задание для практических занятий

Вычислить первую производную следующих функций:

			1			3x	2	3
	2.1.	y =		(1 + 3x − 7x2)20.	2.2. y =		+ 4	.
			20
							5

2.3. y = √1 − 3x + x2.

2.5. y = (2x + 3 cos x)5.

2.7. y = √2 ctg x.

2.9. y = 1 . tg 2x

2.11. y = arcsin ex.

2.13. y = (x2 + 1) e2x. 2.15. y = e15x3 .

2.17. y = (x5 + 2) cos 5x.

64

ln3 x

√

2.19. y = arccos x + 1.

2.21. y = arcctg (3 ln x).

2.23. y = earccos x.

2.25. y = cos 7x . e−5x

e5x

2.27. y = cos 4x .

2.20. y = √3 ln x + 5x2.

2.22. y = (x2 + 1) arctg 2x.

2.24. y = ln(x2 − ctg x).

2.26. y = x + sin 2x .

e15x

2.28. y = sin3 x .

Задачи для самостоятельной работы

2.29. y = sin 2x.

2.31. y = ln(ln x).

2.33. y = 10 e−x.
						1
2.35. y = cos x3 + √x +								.
							x
2.37. y = cos2 x.
1			x
2.39. y =		arctg		.
	2		2

2.41. y = e2x(cos 3x + sin 3x).

2.43. y = √1 − x2 arcsin x − x.

1

2.45. y = x x .

	2.30. y = tg	πx
			.
		3
	2.32. y = ctg ( tg x).
	2.34. y = 83x+5.
				x2	10
	2.36. y = 3 +				.
				1 + 8x
	2.38. y = tg (x2 + 1).
	2.40. y = ln tg x.

2.42. y = ex3 sin x3.

2.44. y = arcctg (x ln x).

		y =	x2	+ 1	2
	2.46.				.
			x2	− 1

65

Ответы

																																				9x							3x2 + 4									2												2x − 3
	(1+3x										7x2)19(3										14x)
2.1.									−										−									. 2.2.								5									5									. 2.3. 2√1											−				3x + x2 .
										3x
2.4.																		.			2.5.									5(2x + 3 cos x)4(2 −																								3 sin x).										2.6. sin 2x.
		4
															2 3
2.7.			2					(1 + 3x1 )																.					2.8.														2 + 2x ln 2											.		2.9.														2 cos x					.
					−sin2 x √											2 ctg x																										2√2x + 2x																								− sin3 x
2.10.		−										2										. 2.11.												√			ex									. 2.12. 3x2(cos 3x − x sin 3x).
					(1 + x2) arctg 3x
																																											2x
																																				1 − e x
2.13.			2 e2x(x2 +x+1).																						2.14.											−				√5					ln 5 x					.						2.15.									−30x e−x2 .
										x		(ln sin x + x ctg x).																															1 − 254																	2				+			2) sin 5x)
2.16. (sin x)																																				2.17. 5(x														cos 5x − (x																2														.
2.18.				ctg x.											2.19.																				1									.					2.20.											10x									+ 3									.
																									−		2√										√																							√
																															x + 1												x															2x														+ 5x2
									−3																				2(x												−											x)											3 ln xarccos x
2.21.																			2.22.																						2x +															2.23.													e
												2					.																	arctg														arctg							.										−√														.
																																																																										2
			x(1 + 9 ln												x)							2			x																																														1 − x
2.24.										2x + 1 + ctg																													2.25.												e5x(5 cos 7x − 7 sin 7x).
																										.
												x2			− ctg					x
																																																			e		5x		(5 cos 4x									+ 4 sin 4x)
2.26.				2 cos 2x − 15(x + sin 2x) + 1																																	.				2.27.																																				.
																	e15x																																									cos2 4x
2.28.				3 sin2 x(x cos x ln x − sin x)																																.			2.29. 2 cos 2x. 2.30.																																	π								.
																																																																									πx
															x ln4 x																																																			3 cos2
									1																																		1																										3
2.31.													.					2.32.													−																					.				2.33.											−10 e−x.
							x ln x																													2											2
																																			sin ( tg x) cos															x
																																											1							1																						1
2.34.			9 · 83x+2 ln 2.																2.35.									− 3x2 +														2√						−					sin x3 + √x +																					.
																																																	x2																								x
																																														x
2.36.		5				4x4 + 97x3 + 3x2 + 3x																														2.37. − sin 2x.																			2.38.														2x											.
																																	.
									1			(1 + 8x)11																																																	cos2(x2 + 1)
2.39.														.						2.40.															2				.						2.41.									e2x(5 cos 3x −sin 3x).
							x2 + 4																									sin 2x
2.42.										3x2 ex3 (sin x3 + cos x3).																																			2.43.										−		√		x										arcsin x.
																																																											1					x2
						ln x + 1																																			1															2				−
2.44.																			2.45.											1 − ln x								x x									2.46. −								8x(x					+ 1)
		−1 + x2 ln2 x .																																									.													(x − 1)3 .
																																	x2
66

Занятие 3. Производная явной функции

Задание

	Найти первую производную следующих функций:
	1.	y =		2x	.		2.	y =		x			.
									2		3
			1 − x2
									(1 − x) (1 + x)
	3.	y =	√	x		.					2
							4.	y =	3 (1 + x2)2						.
											−	√
				a2 − x2
														1 + x2

5.

y = √

1

) .

(x + √

1 + x2

1 + x2

7.

y =

sin2 x

.

sin x2

9.

y = 4 3

+ 3

.

ctg 2x

ctg 8x

11.

y = 2

tg 1

x .

13.

y = xaa + axa + aax .

15.

y = ln(x +

√

2

x + 1).

√

6.y = 3 1 + 3 1 + 3 x.

8. y =		1				.
	cos5	(	√x)
			5

10.y = sin(cos2( tg 3x)).

12.y = ex + e ex + e e ex .

14.	y = ln(ln(ln x)).
16.	y =	1	+	1	ln	x4
							.
		4(1 + x4)		4		1 + x4

Решения

1.y =

2.y =

2x			= 2		x		.
1 − x2				1 − x2
		y = 2			1 · (1 − x2) − (−2x) · x				= 2	1 + x2	.
										(1 − x2)2
			x				(1 − x2)2
						= x(1 − x)−2		(1 + x)−3.
(1	−	x)2(1 + x)3

y = (1 − x)−2(1 + x)−3 + 2x(1 − x)−3(1 + x)−3− −3x(1 − x)−2(1 + x)−4 =

67

	= (1 − x)−3(1 + x)−4[1 − x2 + 2x(1 + x) − 3x(1 − x)] =
															=										4x2 − x + 1													.
						x																	(1 − x)3(1 + x)4
3.	y =	√										.
			a		2		2
							− x																					1
									√																										(−2x)x
													2		2									√
											a			− x −								2																						a2
																										a		2					2
		y				=													√											− x									=							.
																																												3
																							2							2 2
															(						a				− x						)												(a2 − x2) 2
															2																					2								1
																												= (1 + x2) 3										− 2(1 + x2)−2 .
4.	y = 3			(1 + x2)2										− √
																			1 + x2
					y =								3	(1 + x2)−3														+ (1 + x2)−2														(1 + x2) =
													2												1													3
																					2															1
														3 √1 + x2																			(1 + x2)√1 + x2
									= 2x							3														+														.
5.	y =	√											1		√											.
										(x +															)
			1 + x2														1 + x2
															1																						x
	y = −																																			√						(x + 1 + x2)+
								(1 + x2)(x + √																								)2
																								1 + x2													1 + x2

x

+ 1 + x2

1 +

√

=

1 + x2

1

x

= −

√

(x +

1 + x2)+

(1 + x2)(x + √

)2

1 + x2

1 + x2

+(x +

) =

1 + x2

=

1

√

x

+ 1 =

−

(1 + x2)(x + √

)

1 + x2

1 + x2

1

x + √

1

= −

1 + x2

(1 + x2)(x + √

)

·

√

=

−

.

3

1 + x2

1 + x2

(1 + x2) 2

68

√

6.y = 3 1 + 3 1 + 3 x.

	При дифференцировании используем формулу
																																								1
																								(		√x) =																				,
																										n													√ n
																																														1
																																					n		n		x −
																																														3														1
которая в нашем случае принимает вид ( √x) =																																																												√ 2					.
																																																									3			3
																																																															x
			y =																			1																								1																	1					=
									3																								·					3		3										3					2		·			3			√			2
								3 (1 + 1 + √x)2																																(1 +									√x)														3	x
																						3					3
									=						1																							1																							.
														27
																					3
			sin2 x																												√x)2							(1 +							1 +							√x)2
																				x2(1 +
																															3														3							3
7.	y =						.
			sin x2
							y = 2 sin x cos x sin x2 − 2x cos x2 sin2 x =
																															(sin x2)2
									=							2 sin x									(cos x sin x2 − x cos x2 sin x).
														(sin x2)2
8.	y =				1								.
			cos5		( √x)
					5
	При нахождении производной от этой функции воспользуемся
формулами:
													1														n																											1
																					=			−						,							( √x) =																										.
									xn
																								xn+1															n											n √xn−1
																																																				n
Имеем														5																												1														sin(							√x)
																										sin( √x))
		y =								−				5								(																				5				=						5											5								.
						cos6( √														)	· −										5							·		5		√										√												(
																		x																												4									x		4						6			5
																																													x															cos						√x)
	y = 4 3									2x +										3						8																2															8
9.																													= 4( ctg											x) 3 + (										ctg					x) 3					.
				ctg					=													ctg				1x														5																							=
						y												3 ctg						−3 x + 3 ctg 3 x																									−sin2 x
														8																	8																							1
																																																																							69

= −		8		(1 + ctg 2x) = −		8
	2	3			4	3
	3 sin	x √ ctg x			3 sin	x √ ctg x

10. y = sin(cos2( tg 3x)).

y = cos(cos2( tg 3x)) · 2 cos( tg 3x) · (− sin( tg 3x)) · 3 tg 2x ·

	= −3 tg 2x sec2 x sin(2 tg 3x) cos(cos2( tg 3x)).
11. y = 2	tg 1
	x .
		tg	1	1			1
	y = 2		x ln 2 ·				· −		.
				cos2	1			x2
					x

.

1 = cos2 x

12.

ex

e ex

y = ex + e

+ e .

ex

e ex

ex

y = ex + e

· ex + e

· e

· ex =

= ex

1 + e ex

1 + e e ex .

13.

y = xaa + axa + aax .

a aa−1

xa

a

1

ax

a

x

ln a.

y = a x

+ a

ln a

·

ax

−

+ a

ln a

·

14.

y = ln(ln(ln x)).

y

=

1

1

1

·

·

.

√

ln(ln x)

ln x

x

15.

2

y = ln(x + x + 1).

y =

1

1 +

√

x

=

√

1

x + √

.

x2 + 1

x2 + 1

x2 + 1

1

1

x4

1

1

16.

y =

+

ln

=

+ ln |x| −

ln(1 + x4).

4(1 + x4)

4

1 + x4

4(1 + x4)

4

x3

1

x3

y = −

+

−

=

(1 + x4)2

x

1 + x4

70