MMATAN04

Введем обозначения

y1 = f (x1), y2 = f (x2), y = f (x),

где

x = λx1 + (1 − λ)x2.

Из последнего уравнения имеем

λ =	x2 − x	, 1	−	λ =	x − x1	.	(2.4)
	x2 − x1				x2 − x1

Уравнение прямой, соединяющей точки A1(x1, y1) и A2(x2, y2) имеет вид

y2 − y	=	x2 − x	.
y2 − y1		x2 − x1

Но тогда λ = y2 − y . Откуда получаем y = λy1 + (1 − λ)y2 и y2 − y1

yA = λf (x1) + (1 − λ)f (x2) — ордината точки A, yB = f (λx1 + (1 − λ)x2) — ордината точки B.

Условие выпуклости означает, что yB ≤ yA. Таким образом, выпуклая функция характеризуется тем, что все точки любой дуги ее графика лежат под соответствующей хордой или на ней (рис. 2.2). (В случае вогнутости вместо «под» следовало бы сказать «над»).

y

	A	A2
A1
	B
x1	x	x2 x

Рис. 2.2. Геометрический смысл выпуклости

41

Используя (2.4), неравенство (2.1) можно переписать в другом виде. Пусть x1 < x < x2, x1, x2 [a, b]. Тогда (2.1) запишем в виде

f (x)	x2 − x	f (x ) +	x − x1	f (x )
или	≤ x2 − x1 1		x2 − x1 2

x2f (x) − x1f (x) ≤ x2f (x1) − xf (x1) + xf (x2) − x1f (x2), x2(f (x) − f (x1)) + xf (x1) − xf (x) ≤

≤ x1(f (x) − f (x2)) + xf (x2) − xf (x),

(x2 − x)(f (x) − f (x1)) ≤ (x1 − x)(f (x) − f (x2)).

Откуда получаем эквивалентное определение выпуклости функ-

ции f (x)
f (x) − f (x1)	≤	f (x) − f (x2)	,
x − x1		x − x2
где x1 < x < x2.
y
		C
A
	B

α

β

x1

x

x2

x

Рис. 2.3. Геометрия эквивалентного определения выпуклости функции

Геометрически это означает, что тангенс угла β наклона хорды, соединяющей точки B и C графика выпуклой функции y = f (x) (рис. 2.3), всегда больше (или равен) тангенсу угла α наклона хорды, соединяющей точки A и B:

42

tg	β =	y2 − y	y − y1	=	tg	α.
		x2 − x	≥ x − x1

Теорема 2.8

(Первое условие выпуклости функции). Пусть f : [a, b] → R удовлетворяет

1)f (x) C[a, b];

2)f (x) существует на (a, b).

Для того, чтобы f (x) была выпуклой на [a, b] необходимо и достаточно, чтобы ее первая производная была возрастающей функцией на (a, b) (хотя бы в широком смысле).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция f (x) выпуклая, т.е. для

x1 < x < x2 выполняется
		f (x) − f (x1)		≤	f (x) − f (x2)	.
		x − x1			x − x2
Если x → x1 и x → x2, то соответственно получим
f (x )	≤	f (x1) − f (x2)	,		f (x2) − f (x1)		≤	f (x ).
1		x1 − x2			x2 − x1			2

Откуда f (x1) ≤ f (x2).

Обратно, пусть f (x) возрастает и x1 < x < x2. Запишем для

интервала [x1, x] формулу Лагранжа
f (x) − f (x1) = f (ξ1)(x − x1),					x1 < ξ1 < x.
Аналогично
f (x) − f (x2) = f (ξ2)(x − x2),					x < ξ2 < x2.
Очевидно, что ξ1 < ξ2. Тогда
f (x) − f (x1)	= f (ξ )		≤	f (ξ ) =	f (x) − f (x2)	.
x − x1		1		2	x − x2

43

Теорема 2.9

(Второе условие выпуклости). Пусть для функции f : [a, b] → R

выполняется

1) f (x) C1[a, b];

2) f (x) существует всюду на (a, b).

Тогда f (x) — выпуклая функция на [a, b], если f (x) > 0 на (a, b),

иf (x) — вогнутая функция на [a, b], если f (x) < 0 на (a, b).

До к а з а т е л ь с т в о. Если f (x) > 0 на (a, b), то f (x) возрастает и по предыдущей теореме f (x) — выпуклая функция на сегменте [a, b].

Определение 2.4. Точку M (x0, f (x0)) называют точкой перегиба графика функции f (x), если она отделяет участок графика, где функция f (x) выпуклая, от участка, где эта функция вогнута.

Теорема 2.10

(Необходимое и достаточное условия для точки перегиба). Пусть для функции f : [a, b] → R выполняется

1)f (x) C1[a, b];

2)f (x) существует на (a, b).

Для того чтобы точка x0 была точкой перегиба графика функции

f(x),

a)необходимо, чтобы f (x0) = 0;

b)достаточно (при условии f (x) = 0 в окрестности x0, x = x0), чтобы при переходе через точку x = x0 вторая производная f (x) меняла знак.

Д о к а з а т е л ь с т в о

Необходимость. Пусть (x0 −δ, x0 + δ) [a.b] — окрестность, такая, что на промежутке (x0 − δ, x0] функция f (x) — выпуклая, а на промежутке [x0, x0 + δ) — вогнутая. Тогда f (x) возрастает на (x0 −δ, x0) и убывает на (x0, x0 +δ). Это означает, что f (x) имеет в точке x = x0 локальный максимум. Но тогда необходимо, чтобы f (x0) = 0.

Достаточность. Очевидна.

44

y

y

a x 1

x 2 b

x

a x 1

x 2 b x

Кривая, выпуклая вверх	Кривая, выпуклая вниз

Рис. 2.4. Выпуклые кривые

2.7. Выпуклые и вогнутые кривые

Определение 2.5. Непрерывная кривая y = f (x) называется выпуклой вверх (или выпуклой вниз) на отрезке [a, b], если любая дуга этой кривой, соединяющая точки x1 и x2, такие, что a ≤ x1 < x2 ≤ b, лежит выше (или ниже) стягивающей ее хор-

ды (рис. 2.4).

Из геометрических соображений легко получить известную уже нам теорему.

Теорема 2.11

(Первое условие выпуклости кривой). Гладкая кривая y = f (x)

будет

1)выпуклой вниз на сегменте [a, b], если ее производная f (x) возрастает на (a, b);

2)выпуклой вверх на сегменте [a, b], если ее производная f (x) убывает на (a, b).

Используя геометрический смысл производной видим, что для выпуклой вниз кривой можем записать (рис. 2.5)

x2 > x1 β > α tg β > tg α f (x2) > f (x1).

45

y
α	β
x 1	x 2	x
Рис. 2.5

y

β α

x 1 x 2

x

Рис. 2.6

Аналогично, для выпуклой вверх кривой имеем (рис. 2.6)

x2 > x1 β < α tg β < tg α f (x2) < f (x1).

Наряду с понятием выпуклости кривой используется также понятие вогнутости кривой.

Определение 2.6. Гладкую кривую y = f (x) называют вогнутой вверх на [a, b], если она лежит выше любой касательной, проведенной в точках c абсциссами x (a, b), и — вогнутой вниз, если расположена ниже любой такой касательной (рис. 2.7).

46

y

y

x	x
Кривая, вогнутая вверх	Кривая, вогнутая вниз

Рис. 2.7. Вогнутые кривые

2.8. Асимптоты графика функции

Определение 2.7. Прямая x = a называется вертикальной асимптотой графика функции y = f (x), если хотя бы один из пределов

lim f (x),	f (a	−	0) = lim f (x)
f (a + 0) = x a+0			x a	0
→			→ −

равен +∞ или −∞.

Определение 2.8. Говорят, что прямая y = kx + b является наклонной асимптотой графика функции y = f (x) при x → +∞, если

lim	(f (x)	−	(kx + b)) = 0,	(2.5)
x +
→ ∞

и — наклонной асимптотой при x → −∞, если

x lim (f (x) − (kx + b)) = 0.	(2.6)
→−∞

Теорема 2.12

(Формулы наклонных асимптот). Если график функции y = f (x)

имеет наклонную асимптоту

y = kx + b при x → +∞,

то значения k и b находятся по формулам

	lim	f (x)	и	b =	lim	(f (x) − kx).	(2.7)
		x
	k = x +				x +
	→ ∞				→ ∞

Аналогично находится асимптота и при x → −∞.

47

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть у функции y = f (x) существует наклонная асимптота. Поделив в (2.5) выражение под знаком предела на x, получим

	x→+∞		f (x)	−		b
			x		k + x = 0.
	lim
		f (x)
	Откуда следует k = lim			. Но тогда при уже найденном значе-
	x→+∞		x lim		(f (x) − kx).
	нии k из (2.5) получаем b = x +
			→ ∞

2.9. Схема исследования функции

Приведем, наконец, схему исследования функции.

I.Общие вопросы.

1)О.О.Ф. – область определения функции.

2)Вид функции – четная, нечетная, периодическая, общего вида.

3)Точки пересечения с осями.

4)Интервалы знакопостоянства. II. Исследование с помощью пределов.

1)Поведение на границе области определения.

2)Асимптоты.

III. Исследование с помощью первой производной.

1)Интервалы возрастания и убывания функции.

2)Максимумы и минимумы функции.

IV. Исследование с помощью второй производной.

1)Промежутки выпуклости графика функции (вверх и вниз).

2)Точки перегиба.

48

x3

П р и м е р. Исследовать функцию y = x2 − 1 и построить ее график.

I. Ищем область определения функции X: x2 − 1 = 0, x = ±1. Итак

X ≡ (−∞, −1) (−1, 1) (1, +∞).

(−x)3 x3

Функция нечетная: f (−x) = (−x)2 − 1 = −x2 − 1 = −f (x).

M (0, 0) – единственная точка пересечения с осями x и y.

На рис. 2.8 показаны интервалы знакопостоянства функции.

-	+	-	+
				x
-1	0	1

Рис. 2.8. Знаки функции y

II. Исследуем поведение функции на границе области определения:

y(−∞) = x lim

x3

= −∞,

x2

−

1

→−∞

y(+

∞

) = lim

x3

= +

∞

,

− 1

x→+∞ x2

lim

x3

= −∞,

y(−1 − 0) = x→−1−0 x2 − 1

lim

x3

= +∞,

y(−1 + 0) = x→−1+0 x2 − 1

y(1

−

0) =

lim

x3

=

−∞

,

x→1−0 x2 − 1

y(1 + 0) =

lim

x3

x→1+0 x2 − 1 = +∞.

49

Асимптоты: x = −1 и x = 1 – вертикальные асимптоты. Найдем

наклонные асимптоты

k =

lim

y

= lim

x3

=

lim

1

= 1,

1

x

→±∞ x

x

→±∞ x(x − 1)

x

→±∞ 1

2

−

x2

b =

lim

(y

−

kx) =

lim

x3

x

=

lim

x

= 0.

x→±∞

x→±∞ x2 − 1 −

x→±∞ x2 − 1

Таким образом, y = x — наклонная асимптота на обоих направлениях (при x → −∞ и x → +∞).

III. Исследуем функцию с помощью первой производной:

y =

x3

=

3x2(x2 − 1) − 2x · x3

=

x4 − 3x2

=

x2(x2 − 3)

.

x2 − 1

(x2 − 1)2

(x2 − 1)2

(x2 − 1)2

			+			-		-	-				+
- 3						-1			1			3							x
					Рис. 2.9. Знаки производной y
при x = √											3
		– минимум, ymin = y(√												. В точке x = 0 экстре-
													3
	3								3) =
												2

Функция возрастает на интервалах (−∞, −√3) и (√3, +∞), убы-
вает на интервалах (−√3, −1), (−1, 1) и (1, √3).		√
При x = −√3 функция имеет максимум, ymax = y(−√3) = −3		2 3 ,
√	√3.
Откуда следует, что y = 0 при x = 0, x = −√3, x =
Знаки первой производной указаны на рис. 2.9.

мума нет. При x = 0 график функции касается оси x.

50