MMATAN04

Занятие 16. Исследование функций в параметрической форме

Задание

Исследовать функцию, заданную параметрически, и построить ее график

t2 t

x = t − 1 , y = t2 − 1 .

Решение

Выделим ветви однозначности функции y = y(x). С этой целью найдем интервалы знакопостоянства производной xt:

x =	2t(t − 1) − t2	=	t2 − 2t	.
	(t − 1)2
t			(t − 1)2

Нужно рассмотреть 4 интервала монотонности xt

−∞ < t < 0, 0 < t < 1, 1 < t < 2, 2 < t < +∞.

+ + t

0 1 2

Рис. 3.41. Знаки производной xt

Точка t = 1 делит интервал (0, 2) на два, так как в ней не определена xt и сама функция x(t). Каждому интервалу соответствует ветвь однозначности. Проведем исследование для каждой ветви однозначности. Для удобства построим график функции x = x(t).

171

t→−1−0

lim

x

t

	Рис. 3.42. График функции x =	t2
		t − 1

1 ветвь

x

> 0,

−∞

< t

≤

0,

−∞

< x

≤

0,

t

x = 0 t = 0

y = 0

y(0) = 0,

y(−∞) = x lim

y(x) = t lim

t

= 0.

t2

−

1

→−∞

→−∞

y = 0 — горизонтальная асимптота.

tlim1 y(t) = t lim1

t

= ∞,

tlim1 x(t) = tlim1

t2

= −

1

.

t2

−

1

t

−

1

2

→−

→−

→−

→−

x = −	1	— вертикальная асимптота.
	2
	−		1	−			x→−2	−0
			2
y					0	=	lim	y(x) =
							1

t

(t − 1)(t + 1) = −∞,

172

−

2

x→−2

+0

→−

(t − 1)(t + 1)

∞

y

1

+ 0

=

lim

y(x) =

lim

t

= +

.

1

t

1+0

Вычисляем первую производную yx

x

=

t2 − 2t

, y

=

−

1 + t2

,

(t − 1)2

(t2 − 1)2

t

t

y

1 + t2

yx

=

t

=

.

(t + 1)2(2t − t2)

xt

		+		+				t
0			1		2

Рис. 3.43. Знаки производной yx(t)

При −∞ < t < 0 производная yx < 0. Следовательно, для первой ветви функция y(x) убывает.

Найдем вторую производную yxx

yx = (t2 + 1)(t + 1)−2(2t − t2)−1,

(yx)t = 2t(t + 1)−2(2t − t2)−1 − 2(t2 + 1)(t + 1)−3(2t − t2)−1− −(t2 + 1)(t + 1)−2(2t − t2)−2(2 − 2t) =

=

1

2t(t + 1)(2t

t2

t2 + 1)(2t

t2)

(t + 1)3

(2t − t2)2 !

−

) − 2(3

−

−

−

(t2

+ 1)(t + 1)(2

−

2t)

=

2(t − 1)(t

+ 3t + 1)

,

−

"

3(t

3

t2)2

+ 1)3(2t

yxx =

(y )

=

2(t

−

1)

(t + 3t + 1)

x t

.

xt

(t + 1)3t3(t − 2)3

Вторая производная обращается в нуль, если t3 + 3t + 1 = 0. Это уравнение имеет один корень t0, так как функция f (t) = t3 + +3t + 1 имеет положительную производную f (t) = 3t2 + 3 > 0 и,

173

	+		+			+	t
1	t		0	1		2
		0
Рис. 3.44. Знаки второй производной yxx(t)
следовательно, монотонно возрастает. Легко видеть, что этот корень
находится в интервале −			1
			3 , 0 , t0 ≈ −0, 32, x0 = x(t0) ≈ −0, 08.
1	, x(0) = 0, x(t0) = x0. Поэтому график функ-
Имеем x(−1) = −2
							1
ции y = y(x) выпуклый вверх на интервалах −∞, −2 , (x0, 0) и
выпуклый вниз на интервале −				1	, x0	, x0 — точка перегиба. На
				2
рис. 3.45 изображен график первой ветви однозначности.
							y
							x
Рис. 3.45. График первой ветви однозначности

174

2 ветвь

x

< 0, 0

≤

t < 1,

−∞

< x

≤

0,

t

t

y( ) =

lim

y(x) =

lim

=

−∞

.

−∞

x→−∞

t→1−0 t2 − 1

Наклонные асимптоты:

k = lim

y

= lim

t(t − 1)

=

1

,

(t2 − 1)t2

2

x→−∞ x

t→1

x→−∞(y − kx) = t→1

t2

t

−

t2

− 1

2(t − 1)

b = lim

lim

3

= lim

−t(t + 2)

=

−

.

4

t 1

2(t + 1)

→

=

1 3

Итак, y = 2 x − 4 — наклонная асимптота. Функция y = y(x) возрас-

тает (рис. 3.43), график функции выпуклый вниз (рис. 3.44). График второй ветви однозначности изображен на рис. 3.46.

y

x

Рис. 3.46. График второй ветви однозначности

175

3 ветвь

x < 0,

1 < t

≤

2, 4

≤

x < +

∞

,

y(4) =

2

,

3

t

y(+

∞

) = lim

lim

t

= +

∞

.

x→+∞ y(x) = t→1+0 t2 − 1

Аналогично второй

ветви

находится

наклонная асимптота

1

3

y =

x −

. Функция y = y(x) возрастает (рис. 3.43), график функ-

2

4

ции выпуклый вверх (рис. 3.44). График третьей ветви однозначности изображен на рис. 3.47.

y

x

Рис. 3.47. График третьей ветви однозначности

4 ветвь

x

> 0, 2

≤

t < +

∞

,

4

≤

x < +

∞

,

y(4) =

2

,

3

t

y(+

∞

) = lim

lim

t

= 0.

x→+∞ y(x) = t→+∞ t2 − 1

176

Следовательно, y = 0 — горизонтальная асимптота. Функция y(x) убывает (рис. 3.43), график функции выпуклый вниз (рис. 3.44). График четвертой ветви однозначности изображен на рис. 3.48.

y

x

Рис. 3.48. График четвертой ветви однозначности

Совместив графики всех ветвей однозначности на одном рисунке, получим график функции, заданной параметрически (рис. 3.49).

y

x

Рис. 3.49. График функции, заданной параметрически

177

x→−0

x→−∞

lim

Задачи для самостоятельной работы

Исследовать параметрически заданные функции и построить их

графики.
16.1. x =	(t + 1)2		,	y =		(t − 1)2		.
	4					4
16.2. x =	t			y =		t2
		,					.
	t2 − 1				t − 1

Ответы:

16.1. Две ветви однозначности.

1 ветвь:

x < 0

; −∞

< t

1

,

0

≤

x < +

∞, функция

y(x)

t

≤ −

возрастает, график функции выпуклый вверх.

2 ветвь:

x > 0

; −

1

≤

t < +

∞,

0

≤

x < +

∞, функция

y(x)

t

убывает при 0 < x < 1 и возрастает при 1 < x < +∞, ymin = 0 при

x = 1 (t = 1), график функции выпуклый вниз.

16.2. Три ветви однозначности.

Производные:

y

=

(2t − t2)(t + 1)2

,

y

=

(t2 − 1)3(t3 + 3t + 1)

.

x

t2 + 1

xx

(t2 + 1)3

1 ветвь: xt < 0; −∞ < t < −1, −∞ < x < 0, y(x) = −12 ,

1

lim y(x) = −∞; y = −2 — горизонтальная асимптота, x = 0 — вертикальная асимптота; функция убывает, график выпуклый вверх.

2

ветвь:

x

< 0

; −

1 < t < 1

; −∞

< x < +

∞;

lim

y(x) =

−∞,

t

1

1

x→−∞

lim

3

y(x) = −2

; y = −2

— горизонтальная асимптота, y = 2x + 2

x +

→ ∞

— наклонная асимптота; функция y(x) возрастает при −∞ < x < 0 и убывает при 0 < x < +∞; x = 0 — точка максимума ymax = 0;

178

при

t0 ≈ −0, 32

имеется точка перегиба x0 ≈ 0, 36;

график вы-

пуклый вверх на интервале

(−∞, x0) и выпуклый вниз на интер-

вале (x0, +∞).

x < 0

;

1 < t < +

∞,

0 < x < +

∞,

lim

y(x) = +

∞,

3 ветвь: t

x +

3

→ ∞

lim

— наклонная асимптота, x = 0 — вер-

x +0 y(x) = +∞; y = 2x − 2

→

2

тикальная асимптота; функция убывает при 0 < x <

и возрастает

3

2

2

при

< x < +∞; x =

— точка минимума, ymin

= 4; график

3

3

выпуклый вниз.

179

Графики функций задач для самостоятельной работы (занятия 13-16)

y

x

Рис. 3.50. y = x2 + 8

x + 1

y

						x
Рис. 3.52.		1			3x2
		y =		+
			x − 1		(x − 1)2

y

x

Рис. 3.51. y =	(x + 1)2
	x2 + 2x
y
	x
Рис. 3.53. y = x2 − 2x − 3
	x + 4

180