MMATAN04

f

(x) = lim

f (x)

− f (1)

=

lim

|x − 1||x − 2|

=

−

1.

x

−

x 1 0

−

1

x 1 0

x

−

1

→ −

→ −

Односторонние производные не равны, f+(1) = f−(1). Следовательно, производная f (1) не существует, и точка x = 1 — критическая. Аналогичные рассуждения проводятся и для точки x = 2.

Сравнивая значения функции в критических точках и на границе сегмента [−10, 10], получаем:

f (1) = 0, f (2) = 0, f	3	=	1	, f (−10) = 132, f (10) = 72,
	2		4

fнаим = f (1) = f (2) = 0, fнаиб = f (−10) = 132.

6. Нижняя и верхняя грани ищутся также, как и наименьшее и наибольшее значения. Только вместо значений функции на границе области рассматриваются предельные значения функции на границе. Имеем

f (x) =

2x(1 + x4) − 4x3(1 + x2)

=

2x

( x4

−

2x2 + 1),

(1 + x4)2

(1 + x4)2

−

x4 + 2x2 − 1 = 0,

x2 = −1 + √

,

x = √

− 1 — критическая,

2

2

1 + √

1

√

√

+ 1

2

2

2

f √2

− 1 =

1 + (√

−1)2

=

√

=

,

2(2

2

2

2)

1 + x2

−

−

1 + x2

lim f (x) =

lim

= 1,

lim f (x) =

lim

= 0,

x→+0

x→+0

1 + x4

x→+∞ √

x→+∞ 1 + x4

inf f (x) = 0,

sup f (x) =

2

+ 1

.

2

7. Для того, чтобы определить наибольший член последовательности

√

xn = n n (n = 1, 2, 3, . . .),

найдем нижнюю и верхнюю грани функции

√

f (x) = x x (1 ≤ x < +∞).

121

Дифференцируя, получаем

1

ln x

1

ln x

1

1

f (x) =

x

=

e

x

= e

x

−x2 ln x + x2

=

x

√x

=

(1 − ln x) = 0, x

= e, 2 < e < 3,

x2

x

f ( e) =

√e

e,

f (1) = 1,

lim

√

x

= 1,

x→+∞

inf f x = 1,

sup f (x) = f ( e) = √e

.

e

Очевидно, что нужно сравнить два значения последовательности

					3
при n = 2 и n = 3, т.е. √2				и
					√3			√9 > 2, 9 > 8.
√3 >				√2,
3								3

√

Наибольший член последовательности равен 3 3.

8. В основе доказательства этого и следующего неравенства лежит тот факт, что все значения непрерывной на замкнутом интервале функции лежат между ее наименьшим и наибольшим значениями:

fнаим ≤ f (x) ≤ fнаиб.

Запишем неравенство
|3x − x3| ≤ 2	при |x| ≤ 2
в виде	при − 2 ≤ x ≤ 2.
−2 ≤ 3x − x3 ≤ 2

Найдем наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = 3x −x3 на сегменте [−2, 2]:

f (x) = 3 − 3x2 = 0, x = ±1,

f (−2) = 2, f (−1) = −2,	f (1) = 2,	f (2) = −2,
fнаим = −2,	fнаиб = 2.

Откуда и следует неравенство −2 ≤ 3x − x3 ≤ 2.

122

9. Найдем наибольшее значение функции f (x) = xm (a − x)n на сегменте [0, a].

f (x) = mxm−1(a − x)n − nxm − nxn(a − x)n−1 = = xm−1(a − x)n−1(m(a − x) − nx) = 0,

ma − (m + n)x = 0,

x =

ma

,

f (0) = f (a) = 0,

m + n

f

ma

ma

m

a −

ma

n

mmnn

=

=

am+n,

m + n

m + n

m + n

(m + n)m+n

fнаиб =

mmnn

am+n.

(m + n)m+n

Таким образом,

f (x) ≤ fнаиб =

mmnn

am+n,

(m + n)m+n

и неравенство

mmnn

xm(a − x)n ≤

am+n

(m + n)m+n

доказано.

Задачи для самостоятельной работы

11.1. В каких точках кривой

y = 2 + x − x2

касательная к ней:

а) параллельна оси 0x,

б) параллельна биссектрисе первого координатного угла?

11.2.Написать уравнения касательной и нормали, проведенных к кривой y = x3 в точке с абсциссой x = 2.

11.3.Под какими углами пересекается гипербола y = x1 с параболой

=x ?

123

11.4. Доказать неравенство
	√				1		при x > 1.
	2 x > 3				−
						x
11.5. Доказать неравенство
	x2
x −		< ln(1 + x) < x при x > 0.
	2

11.6.Найти нижнюю грань (inf f (x)) и верхнюю грань (sup f (x)) следующей функции

f (x) = x e−0,01x на интервале (0, +∞).

11.7. Определить наибольший член последовательности

√n	(n = 1, 2, 3, . . .).
xn = n + 10000

11.8.Доказать неравенство

1 ≤ xp + (1 − x)p ≤ 1, если 0 ≤ x ≤ 1 и p > 1. 2p−1

11.9.Доказать неравенство

2	≤	x2 + 1	≤ 2
3		x2 + x + 1

при −∞ < x < +∞.

Ответы

11.1.	а)		1	,	9	; б) (0, 2). 11.2.			12x − y − 16 = 0; x + 12y − 98 = 0.
			2		4
11.3.	arctg 3. 11.6. 0;						100	. 11.7.	1		.
							e			200
124

Занятие 12. Задачи на максимум и минимум

Задание

1.Из всех прямоугольных треугольников данной площади S определить тот, периметр которого наименьший.

2.Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, если сумма катета и гипотенузы его постоянна.

3.При каких линейных размерах на изготовление закрытой цилиндрической консервной банки данной вместимости V уйдет наименьшее количество металла?

4.Из круглого бревна диаметра d вытесывается балка с прямоугольным поперечным сечением, основание которого равно b и высота

h. При каких размерах балка будет иметь наибольшую прочность, если прочность ее пропорциональна bh2?

5.В шар радиуса R вписать цилиндр наибольшего объема.

6.Найти кратчайшее и наибольшее расстояния от точки A(2, 0) до окружности x2 + y2 = 1.

7.К реке шириной a построен под прямым углом канал шириной b. Какой максимальной длины суда могут входить в этот канал?

Решения

1. Пусть катет CB = x (рис. 3.2). Тогда
AC =			x , AB =
							4x2 + x2
		2S					S2
и периметр треугольника равен
P (x) = x + 2x			+
					x2 + x2		, 0 < x < +∞.
	S				4S2

125

A

C

x

B

Рис. 3.2. К задачам 1 и 2

Дифференцируя функцию P (x), получаем

2S

1

S2

P (x) = 1

−

+

−

8

+ 2x =

x2

x3

2

4S2

2

+ x

x2

2S

x

4S2

= 1

−

+

1 −

= 0,

x2

x4

4S2

2

+ x

2S

x2

√

2

1

−

x2

= 0, x

= 2S, x = 2S.

Поскольку P (+0) = P (+∞) = +∞, то наименьший периметр треугольника будет при x = √2S, т.е. при AC = BC = √2S. Треугольник должен быть равнобедренным.

2. Пусть сумма катета и гипотенузы равна постоянной величине d и CB = x (рис. 3.2). Тогда

AB = d − x,

AC =

(d − x)2 − x2

=

d2 − 2dx.

Площадь треугольника равна

1

S(x) =

x d2 − 2dx.

2

Дифференцируя функцию S(x), получаем

1

−

d

=

S (x) =

d2

− 2dx + x

√

2

d2

2dx

−

126

=		√			1	(d2 − 3xd) = 0, x =	d	, AC =	d	, AB =	2d
												.
							3		3		3
	2		d	2	− 2dx

Ответ: треугольник с углами 30o и 60o.

3. В качестве переменной величины x возьмем радиус основания

банки, r = x. Тогда ее высота равна h =

V

. Вычислим полную

2

поверхность банки:

πx

S(x) = 2πr2 + 2πr · h = 2πx2 +

2V

, 0 < x < +∞.

x

Имеем далее

S (x) = 4πx − x2

= 0, x3 = 2π , x =

2π ,

2V

V

3

V

r =

, h = π

= 2

2π

V 2

2π = 2r.

3

V

V 3 4π2

3

V

Ответ: банка с высотой равной диаметру основания.

4. Рассмотрим перпендикулярное сечение бревна, из которого выте-

√

сывается балка (рис. 3.3). Положим b = x. Тогда h = d2 − x2 и прочность балки равна

P (x) = kbh2 = kx(d2 − x2) = k(xd2 − x3), 0 ≤ x ≤ d,

где k > 0 — постоянный коэффициент пропорциональности.

d	h	2R	h
b=x		2x
Рис. 3.3		Рис. 3.4

127

Найдем наибольшее значение функции P (x). Имеем

P (x) = k(d − 3x2) = 0, x =			d
		√			,
				3
P (0) = P (d) = 0, Pнаиб = P	√3				> 0.
	d

Таким образом, прямоугольная балка имеет наибольшую прочность

при b = √3 и h =			d2	−	3	= d	3	.
d					d2		2

5. Рассмотрим сечение, проходящее через ось цилиндра (рис. 3.4). Пусть радиус основания цилиндра равен r = x. Тогда

x3

2πx

0 ≤ x ≤ R,

h = 2 R2 − x2, V (x) = πr2 h = 2πx2

R2

− x2,

V (x) = 2π 2x R2

− x2 − √R2

x2 = √R2

x2 (2R2 − 3x2) = 0,

x2 =

2

−

−

R

3

,

3 ,

V (0) = V (R) = 0,

Vнаиб = V

R2

2

Vнаиб = 2π 3

= 3√3 .

R2 −

2

3

2R2

R2

4πR3

6. Пусть M — произвольная точка окружности (рис. 3.5). Имеем

y

1M (x, 1-x2 )

		d
		A
-1	1	2 x

-1

Рис. 3.5

128

d(x) =

2

2

= √5

4x,

1

x

1,

(2

− x) + 1

− x

−

2

−

−

≤

≤

d (x) =

√

< 0,

5 − 4x

т.е. функция d(x) = √5 − 4x убывает при −1 ≤ x ≤ 1. Но тогда она принимает наибольшее значение в точке x = −1 и наименьшее — в точке x = 1. Таким образом,

dнаиб = d(−1) = 3, dнаим = d(1) = 1.

Этот же результат легко получается из геометрических соображений.

7. В качестве независимой переменной возьмем угол α, который образует судно ABC с берегом реки (рис. 3.6). Тогда длина d судна будет равна

d(α) =	a		+	b	, 0 < α <	π	.
	sin			cos α		2
		α

	C
B	b

	a
A	α
	Рис. 3.6

Судно максимальной длины может войти в канал, когда функция d(α) принимает наименьшее значение. Найдем наименьшее значение

функции d(α):

d (α) =

a

cos α +

b

sin α =

b sin3 α − a cos3 α

= 0,

−sin2

cos2 α

α

sin2 α cos2 α

b sin α = a cos α, tg α =

b

, d(+0) = d

2 − 0

= +∞.

3

3

3

a

π

129

Следовательно, функция d(α) принимает наименьшее значение, ко-

гда tg α = 3 ab . Применяя формулы

cos α =

1

,

sin α =

tg α

,

получаем

1 + tg 2α

1 + tg 2α

d = tg α

1 + tg 2α + b 1 + tg 2α = 1 + tg 2α

tg α + b

=

a

a

3

= $

1 +

a

3

a 3 b

+ b = a 3 + b

3 .

%

2

a

2

2

2

%

b

&

Задачи для самостоятельной работы

12.1.Из всех прямоугольников данной площади S определить тот, периметр которого наименьший.

12.2.Решеткой длиной 120 м нужно огородить к дому прямоугольную площадку наибольшей площади. Определить размеры прямоугольной площадки.

12.3.Из квадратного листа картона со стороной a вырезают по углам одинаковые квадраты и из оставшейся крестообразной фигуры склеивается прямоугольная коробка. Какова должна быть сторона вырезаемого квадрата, чтобы объем коробки был наибольшим?

12.4.Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом V так, чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество материала.

12.5.Найти наибольший объем конуса с данной образующей l.

12.6.Найти кратчайшее расстояние от точки M (p, p) до параболы y2 = 2px.

130