MMATAN04

Применяя правило Лопиталя, получаем

lim x − 1 = x→1 x ln x

2) Найти предел

0

0

= lim (x − 1) = x→1 (x ln x)

lim ch x − cos x .

x→0 x2

lim	1	= 1.
x→1 ln x + 1

Для отыскания этого предела правило Лопиталя применяется повторно:

lim

x→0

ch x − cos x	=	0			= lim	sh x + sin x		=		0	=
x2		0					2x			0
					x→0
= lim			ch x + cos x				= 1.
	x→0				2

Правило Лопиталя применяется при раскрытии только неопре-

деленностей вида

0

и

∞

, которые назовем основными. Неопреде-

0

∞

0

, 0

0

сводятся к основным путем

ленности вида 0 · ∞, ∞ − ∞,

1∞, ∞

элементарных преобразований.

П р и м е р ы

ln x

1

∞

1) lim x ln x = (0

) =

lim

=

= lim

x

=

1

∞

1

x→+0

· ∞

x→+0

x→+0

2

x

−x

= lim (−x) = 0.

x→+0

2) lim

1

1

= (

) = lim

ex − 1 − x

=

x

− ex − 1

∞ − ∞

x(ex − 1)

x→0

x→0

= lim

ex − 1

=

0

= lim

ex

=

1

.

ex − 1 + x ex

0

2

x→0

x→0 2 ex + x ex

0 =

0

31

1

1

ln x

x

lim

x

= (

0) = lim

x

=

3)

lim √

x

e

x +

x = x +

∞

x +

→ ∞

→ ∞

→ ∞

lim

ln x

= ex→+∞ x

= e0 = 1,

так как

lim

ln x

=

∞

=

lim

1

= 0.

∞

x→+∞ x

x→+∞ x

x ln x

x ln x

lim

4)

lim x

lim

x +0

= 0

0

→

= e

0

= 1.

x→+0 x

= x→+0 e

= e

2.2. Формула Тейлора

Теорема 2.3

(Теорема Тейлора). Допустим, что для функции f : [a, b] → R выполняется

1)f (x) Cn[a, b];

2)f (n+1)(x) существует на (a, b).

Пусть α, β — различные точки сегмента [a, b]. Положим

	n	f (k)(α)
P (x) =			(x − α)k .
	k=0	k!

Тогда существует точка ξ, лежащая между α и β, такая, что

f (n+1)(ξ)

f (β) = P (β) + (n + 1)! (β − α)n+1.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Не ограничивая общности, предположим, что β > α. Другой случай рассматривается аналогично. Распишем

подробнее многочлен P (x)
P (x) = f (α) +			f (α)		(x − α) +			f (α)		(x − α)2	+
			1!					2!
+	f (α)	(x − α)3		+ · · · +		f (n)(α)			(x − α)n.
	3!						n!

Полагая x = α, имеем P (α) = f (α). Дифференцируя P (x), получаем

P (x) = f (α)+ f (α)(x−α)+	f (α)	(x−α)2 + · · ·+	f (n)(α)				(x−α)n−1.
	2!		(n	−	1)!
32

Очевидно, что P (α) = f (α). Дифференцируем P (x)

P (x) = f (α) + f (α)(x − α) + · · · + f (n)(α) (x − α)n−2. (n − 2)!

Откуда следует P (α) = f (α), и т.д. Окончательно получаем

P (k)(α) = f (k)(α), k = 0, 1, 2, . . . , n.

Пусть M — число, определяемое равенством

f (β) = P (β) + M (β − α)n+1.

f (n+1)(ξ)

Мы должны показать, что M = (n + 1)! при некотором ξ, лежащем между α и β.

Рассмотрим функцию

g(x) = f (x) − P (x) − M (x − α)n+1.

Поскольку P (k)(α) = f (k)(α) при k = 0, 1, 2, . . . , n, мы имеем

g(α) = g (α) = g (α) = · · · = g(n)(α) = 0.

Число M выбрано так, что g(β) = 0; поэтому g(x) на сегменте [α, β] удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля, т.е. существует точка ξ1 (α, β), такая, что g (ξ1) = 0, и тогда на сегменте [α, ξ1] всем условиям теоремы Ролля будет уже удовлетворять функция g (x); т.е. существует точка ξ2 (α, ξ1), такая, что g (ξ2) = 0. После n + 1 шагов мы придем к выводу, что существует точка ξ = ξn+1 (α, ξn) (α, β), такая, что

g(n+1)(ξ) = 0.
Но g(n+1)(ξ) = f (n+1)(ξ) − (n + 1)!M . Откуда M =	f (n+1)(ξ)	. Окон-
	(n + 1)!
чательно имеем

f (n+1)(ξ)

f (β) = P (β) + (n + 1)! (β − α)n+1.

33

Теорема доказана.

С л е д с т в и е 1. Из теоремы Тейлора для любых точек α и β из сегмента [a, b] следует

	n	f (k)(α)		f (n+1)(ξ)
f (β) =			(β − α)k +		(β − α)n+1,
	k=0	k!		(n + 1)!

где точка ξ содержится между α и β. Положим x = β и x0 = α. Тогда получим формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

	n	f (k)(x0)		f (n+1)(ξ)
f (x) =			(x − x0)k +		(x − x0)n+1,
	k=0	k!		(n + 1)!

где x и x0 — любые точки сегмента [a, b], ξ — некоторая точка, содер-

f (n+1)(ξ)

жащаяся между x0 и x. Выражение (n + 1)! (x − x0)n+1 называют остаточным членом в форме Лагранжа.

С л е д с т в и е 2. Формула Лагранжа

f (x) − f (x0) = f (ξ)(x − x0)

получается как частный случай формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа при n = 0

f (x) = f (x0) + f (ξ)(x − x0).

С л е д с т в и е 3. Если f (x) Cn+1[a, b], т.е. f (n+1)(x) непре-

рывна на [a, b]. По первой теореме Вейерштрасса она ограничена:f (n+1)(x) ≤ M . Но тогда

f (n+1)(ξ)

(n + 1)! (x − x0)n+1 = o ((x − x0)n) ,

и это выражение называют остаточным членом в форме Пеано, а формула

	n	f (k)(x0)
f (x) =			(x − x0)k + o ((x − x0)n)
	k=0	k!

называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.

34

2.3. Разложение основных функций по формуле Тейлора

Пусть x0 = 0 принадлежит промежутку, где выполняются все условия, при которых справедлива теорема Тейлора. Тогда из формулы Тейлора получается так называемая формула Маклорена

f (x) = f (0) + f (0)x +	f (0)	x2 +	f (0)		x2 + · · · +	f (n)(0)		xn + o(xn).
	2!		3!			n!

Разложение основных функций по этой формуле имеет вид (предлагается установить самостоятельно)

x2

x3

xn

ex = 1 + x +

+

+ · · · +

+ o(xn),

2!

3!

n!

sin x = x −

x3

x5

x2n+1

+

− · · · + (−1)n

+ o(x2n+2 ),

3!

5!

(2n + 1)!

x2

x4

x2n

cos x = 1 −

+

− · · · + (−1)n

+ o(x2n+1),

2!

4!

(2n)!

ln(1 + x) = x

x2

+

x3

x4

+

+ (

1)n−1

xn

+ o(xn),

−

2

3 −

4

· · ·

−

n

(1 + x)α =

= 1 + αx +

α(α − 1)

x2 +

· · ·

+

α(α − 1) · · · (α − n + 1)

xn

+ o(xn).

2!

n!

Как частный случай последнего разложения получаем часто применяемые формулы

1= 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn + o(xn),

1 − x

1= 1 − x + x2 − x3 + · · · + (−1)nxn + o(xn).

1 + x

35

2.4. Условия монотонности функции

Теорема 2.4

(Условия монотонности функции). Пусть функция f : (a, b) → R

дифференцируема на интервале (a, b).

a)Если f (x) > 0 на (a, b), то f (x) возрастает на (a, b).

b)Если f (x) < 0 на (a, b), то f (x) убывает на (a, b).

c)Если f (x) ≡ 0 на (a, b), то f (x) — постоянная функция.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x1 и x2 — любые две точки интервала (a, b), такие, что x2 > x1. На сегменте [x1, x2] функция f (x) непрерывна и дифференцируема. Следовательно, по теореме Лагранжа существует точка ξ (x1, x2), такая, что

f (x2) − f (x1) = f (ξ)(x2 − x1).

a)Если f (x) > 0, то f (ξ)(x2 − x1) > 0, и f (x2) > f (x1).

b)Если f (x) < 0, то f (ξ)(x2 − x1) < 0, и f (x2) < f (x1).

c)Если f (x) ≡ 0, то f (ξ)(x2 − x1) = 0, и f (x2) = f (x1).

2.5.Экстремумы функции

Определение 2.1. Пусть f : (E R) → R

a) Будем говорить, что f (x) имеет локальный максимум в точке x0 E, если

( δ > 0)( x E, x0 − δ < x < x0 + δ) : f (x) ≤ f (x0).

b) Будем говорить, что f (x) имеет локальный минимум в точке x0 E, если

( δ > 0)( x E, x0 − δ < x < x0 + δ) : f (x) ≥ f (x0).

Локальный максимум и локальный минимум объединяются под общим названием экстремум.

36

Определение 2.2. Пусть f : (E R) → R.

Если в точке x0 E выполняется условие f (x0) = 0, то точка x0 называется стационарной точкой.

Если в точке x0 производная f (x0) обращается в нуль или не существует, то такая точка называется критической точкой.

Теорема 2.5

(Необходимое условие экстремума). Пусть f : (a, b) → R. Если f (x) имеет в точке x0 (a, b) локальный максимум или локальный минимум, то x0 критическая точка.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Пусть в точке x0 (a, b) существует производная f (x0). Предположим для определенности, что f (x) в точке x0 (a, b) имеет локальный максимум, т.е.

( δ > 0)( x, a < x0 − δ < x < x0 + δ < b) : f (x) ≤ f (x0).

Если x0 − δ < x < x0, то f (x) − f (x0) ≥ 0 и x − x0

lim	f (x) − f (x0)	= f (x ) = f (x )		≥	0.
x→x0−0	x − x0	− 0	0

Если x0 < x < x0 + δ, то f (x) − f (x0) ≤ 0 и x − x0

	lim	f (x) − f (x0)	= f (x ) = f (x )		≤	0.
		x − x0
	x→x0+0		+ 0	0

Поскольку равенства f (x0) ≥ 0 и f (x0) ≤ 0 выполняются одновре-

менно, то

f (x0) = 0.

Аналогичные рассуждения можно провести и для локального минимума.

2) Рассмотрим в качестве примера две функции f (x) = |x| и f (x) = 1 − |x|. Первая функция имеет в точке x = 0 локальный минимум, а вторая — локальный максимум (рис. 2.1). В обоих случаях производная f (0) не существует. Значит точка x = 0 — критическая точка.

37

y			y
	y=|x|			y=1-|x|
			1
		x			x
0			0

Рис. 2.1. Точки экстремума, в которых производная не существует

Теорема 2.6

(Первое достаточное условие экстремума). Пусть f : (a, b) → R

удовлетворяет следующим условиям:

1)f (x) C(a, b);

2)f (x) существует на (a, b) за исключением, быть может, точки x0.

Тогда

a)Если f (x) < 0 при x < x0 и f (x) > 0 при x > x0, то x0 — точка минимума.

b)Если f (x) > 0 при x < x0 и f (x) < 0 при x > x0, то x0 — точка минимума.

До к а з а т е л ь с т в о. На сегментах [x, x0] и [x0, x] из интервала (a, b) функция f (x) удовлетворяет всем условиям формулы

Лагранжа. Следовательно, существуют точки ξ1 (x, x0 ) и ξ2(x0, x), такие, что

f (x) − f (x0) = f (ξ1)(x − x0), если x < x0, f (x) − f (x0) = f (ξ2)(x − x0), если x > x0.

a) Пусть f (x) < 0 при x < x0, тогда f (ξ1) < 0 и f (x) − f (x0) = f (ξ1)(x − x0) > 0,

т. е. f (x) > f (x0).

38

Если f (x) > 0 при x > x0, тогда f (ξ2) > 0 и

f (x) − f (x0) = f (ξ2)(x − x0) > 0,

т. е. f (x) > f (x0). Значит f (x) имеет в точке x0 локальный минимум. Второе утверждение доказывается аналогично.

Теорема 2.7

(Второе достаточное условие экстремума). Пусть f : [a, b] → R

удовлетворяет условиям

1)f (x) C∞[a, b];

2)В точке x0 (a, b) выполняется

f (x ) = f (x ) =		· · ·	= f (n−1)(x ) = 0, f (n)(x ) = 0.
0	0		0	0

Тогда

a)Если n = 2k + 1, f (2k+1)(x0) = 0, то в точке x0 функция f (x) не имеет экстремума.

b)Если n = 2k, f (2k) = 0, то функция f (x) имеет в точке x0 локальный максимум, если f (2k)(x0) < 0; или локальный минимум, если

f (2k)(x0) > 0.

До к а з а т е л ь с т в о. По формуле Тейлора имеем

f (x) = f (x0) + f (x0)(x − x0) + f (x0) (x − x0)2 + · · · + 2!

+ f (n)(x0) (x − x0)n + o((x − x0)n). n!

Учитывая условия теоремы, эту формулу перепишем в виде

f (x) − f (x0) = f (n)(x0) (x − x0)n + o((x − x0)n). n!

Величину o((x − x0)n) можно представить в виде

α

o((x − x0)n) = n! (x − x0)n,

где α → 0 при x → x0. Тогда

f (x) − f (x0) = f (n)(x0) + α (x − x0)n. n!

39

Поскольку α → 0 при x → x0, то существует δ > 0, такое, что для x (x0 − δ, x0 + δ) знаки f (n)(x0) + α и f (n)(x0) будут совпадать, а значит знак f (x) −f (x0) будет совпадать со знаком f (n)(x0)(x −x0)n.

Возможны случаи:

a)n = 2k + 1, f (2k+1)(x0) = 0 и f (2k+1)(x0)(x − x0)2k+1 при про-

хождении x через точку x0 меняет знак и экстремума нет.

b)n = 2k, тогда f (2k)(x0)(x − x0)2k в окрестности (x0 − δ, x0 + δ)

принимает знак f (2k)(x0) и

f (x) > f (x0), если f (2k)(x0) > 0;

f (x) < f (x0), если f (2k)(x0) < 0.

2.6. Выпуклые и вогнутые функции

Определение 2.3. Функция f : [a, b] → R непрерывная на сегменте [a, b] называется выпуклой на сегменте [a, b], если для любых x1, x2 [a, b] и любых λ, 0 < λ < 1, выполняется неравенство

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2),

(2.1)

и вогнутой на сегменте [a, b], если для любых x1, x2 [a, b] и любых λ, 0 < λ < 1, выполняется неравенство

f (λx1 + (1 − λ)x2) ≥ λf (x1) + (1 − λ)f (x2),

(2.2)

Очевидно, что если f (x) — вогнутая функция, то −f (x) — функция выпуклая. Поэтому достаточно изучить выпуклые функции.

Приведенное определение выпуклой функции имеет простой геометрический смысл. Прежде всего отметим, что значение

		x = λx1 + (1 − λ)x2	(x1 < x2)	(2.3)
содержится между x1 и x2 при 0 < λ < 1. Действительно,
	dx	= x1 − x2 < 0, x λ=0	= x2 x λ=1 = x1,
	dλ

и x убывает от x2 до x1.

40